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1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$2(x+1)^2=72$；
(2)$4y^2-8y+1=0$；
(3)$2x^2-\sqrt{3}x-2=0$；
(4)$2(x-3)^2=x^2-9$；
(5)$9(x-1)^2=(2x+3)^2$.
(1)$2(x+1)^2=72$；
(2)$4y^2-8y+1=0$；
(3)$2x^2-\sqrt{3}x-2=0$；
(4)$2(x-3)^2=x^2-9$；
(5)$9(x-1)^2=(2x+3)^2$.
答案
解： $\begin{aligned}2(x + 1)^2&=72\\(x + 1)^2&=36\\x + 1&=\pm6\end{aligned}$ 当$x + 1 = 6$时，$x = 5；$
当$x + 1 = -6$时，$x = -7。$
所以$x_1 = 5，$$x_2 = -7。$ ; 解：对于方程$4y^2 - 8y + 1 = 0，$其中$a = 4，$$b = -8，$$c = 1。$$ $根据求根公式$y=\frac {-b\pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}，$先计算$∆=b^2 - 4ac=(-8)^2 - 4×4×1$$=64 - 16 = 48。$$ $则$y=\frac {8\pm \sqrt {48}}{2×4}=\frac {8\pm 4\sqrt {3}}{8}=\frac {2\pm \sqrt {3}}{2}。$$ $所以$y_{1}=\frac {2 + \sqrt {3}}{2}，$$y_{2}=\frac {2 - \sqrt {3}}{2}。$ ; 解：对于方程$2x^2-\sqrt {3}x - 2 = 0，$其中$a = 2，$$b = -\sqrt {3}，$$c = -2。$$ $根据求根公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}，$先计算$∆=b^2 - 4ac$$=(-\sqrt {3})^2 - 4×2×(-2)$$=3 + 16 = 19。$$ $则$x=\frac {\sqrt {3}\pm \sqrt {19}}{2×2}=\frac {\sqrt {3}\pm \sqrt {19}}{4}。$$ $所以$x_{1}=\frac {\sqrt {3}+\sqrt {19}}{4}，$$x_{2}=\frac {\sqrt {3}-\sqrt {19}}{4}。$ ; 解： $\begin{aligned}2(x - 3)^2&=x^2 - 9\\2(x - 3)^2&=(x + 3)(x - 3)\\2(x - 3)^2-(x + 3)(x - 3)&=0\\(x - 3)[2(x - 3)-(x + 3)]&=0\\(x - 3)(2x - 6 - x - 3)&=0\\(x - 3)(x - 9)&=0\end{aligned}$ 则$x - 3 = 0$或$x - 9 = 0，$
解得$x_1 = 3，$$x_2 = 9。$ ; 解：$9(x-1)^2-(2x+3)^2=0$$[3(x-1)+(2x+3)][3(x-1)-(2x+3)]=0$$5x(x-6)=0$$x_{1}=0 ，$$x_{2}=6$
当$x + 1 = -6$时，$x = -7。$
所以$x_1 = 5，$$x_2 = -7。$ ; 解：对于方程$4y^2 - 8y + 1 = 0，$其中$a = 4，$$b = -8，$$c = 1。$$ $根据求根公式$y=\frac {-b\pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}，$先计算$∆=b^2 - 4ac=(-8)^2 - 4×4×1$$=64 - 16 = 48。$$ $则$y=\frac {8\pm \sqrt {48}}{2×4}=\frac {8\pm 4\sqrt {3}}{8}=\frac {2\pm \sqrt {3}}{2}。$$ $所以$y_{1}=\frac {2 + \sqrt {3}}{2}，$$y_{2}=\frac {2 - \sqrt {3}}{2}。$ ; 解：对于方程$2x^2-\sqrt {3}x - 2 = 0，$其中$a = 2，$$b = -\sqrt {3}，$$c = -2。$$ $根据求根公式$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}，$先计算$∆=b^2 - 4ac$$=(-\sqrt {3})^2 - 4×2×(-2)$$=3 + 16 = 19。$$ $则$x=\frac {\sqrt {3}\pm \sqrt {19}}{2×2}=\frac {\sqrt {3}\pm \sqrt {19}}{4}。$$ $所以$x_{1}=\frac {\sqrt {3}+\sqrt {19}}{4}，$$x_{2}=\frac {\sqrt {3}-\sqrt {19}}{4}。$ ; 解： $\begin{aligned}2(x - 3)^2&=x^2 - 9\\2(x - 3)^2&=(x + 3)(x - 3)\\2(x - 3)^2-(x + 3)(x - 3)&=0\\(x - 3)[2(x - 3)-(x + 3)]&=0\\(x - 3)(2x - 6 - x - 3)&=0\\(x - 3)(x - 9)&=0\end{aligned}$ 则$x - 3 = 0$或$x - 9 = 0，$
解得$x_1 = 3，$$x_2 = 9。$ ; 解：$9(x-1)^2-(2x+3)^2=0$$[3(x-1)+(2x+3)][3(x-1)-(2x+3)]=0$$5x(x-6)=0$$x_{1}=0 ，$$x_{2}=6$
2. 阅读下列材料:为解方程$x^4 - x^2 - 6 = 0$可将方程变形为$(x^2)^2 - x^2 - 6 = 0$然后设$x^2 = y$,则$(x^2)^2 = y^2$,原方程化为$y^2 - y - 6 = 0$ ①,解①得$y_1 = -2,y_2 = 3$.当$y_1 = -2$时,$x^2 = -2$无意义,舍去;当$y_2 = 3$时,$x^2 = 3$,解得$x = \pm\sqrt{3}$,$\therefore$原方程的解为$x_1 = \sqrt{3},x_2 = -\sqrt{3}$.
上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题转化成简单的问题.
利用以上学习到的方法解下列方程:
(1)$81x^2 - 9x - 1 = 0$;
(2)$(x^2 - 2x)^2 - 5x^2 + 10x + 6 = 0$;
(3)$3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2$.
上面这种方法称为“换元法”,把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题转化成简单的问题.
利用以上学习到的方法解下列方程:
(1)$81x^2 - 9x - 1 = 0$;
(2)$(x^2 - 2x)^2 - 5x^2 + 10x + 6 = 0$;
(3)$3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2$.
答案
解：$(1)$设$y=9x，$则方程可变为$y^2-y-1=0$解得$y_{1}=\frac {1+\sqrt 5}2，$$y_{2}=\frac {1-\sqrt 5}2$∴$x_{1}=\frac {1+\sqrt 5}{18}，$$x_{2}=\frac {1-\sqrt 5}{18}$$(2)$设$y=x^2-2x，$则方程可变为$y^2-5y+6=0$$y_{1}=2，$$y_{2}=3$当$y_{1}=2$时，$x^2-2x=2$解得$x_{1}=1+\sqrt 3，$$x_{2}=1-\sqrt 3$当$y_{2}=3$时，$x^2-2x=3$解得$x_{3}=3，$$x_{4}=-1$∴原方程的解为$x_{1}=1+\sqrt 3，$$x_{2}=1-\sqrt 3，$$x_{3}=3，$$x_{4}=-1$$(3)$设$y=\sqrt {x^2+5x+1}$则方程可变为$3y^2+2y-3=2$$3y^2+2y-5=0$$y_{1}=-\frac {5}{3}，$$y_{2}=1$当$y_{1}=-\frac {5}{3}$时，$\sqrt {x^2+5x+1}=-\frac {5}{3}，$无解当$y_{2}=1$时，$\sqrt {x^2+5x+1}=1$∴$x^2+5x+1=1$解得$x_{1}=0，$$x_{2}=-5$经检验，是方程的解∴原方程的解为$x_{1}=0，$$x_{2}=-5$
3. 若四个连续正整数的积为 360,则这四个数中的最小数为多少?
答案
解：设最小数为$x，$
则$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)=360，$
即$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)=360。$ 设$x^2 + 3x = y，$
则$y^2 + 2y - 360 = 0。$ 因式分解得$(y + 20)(y - 18)=0，$
则$y + 20 = 0$或$y - 18 = 0，$
解得$y_1 = 18，$$y_2 = -20。$ 因为$x$为正整数，所以$y = x^2 + 3x = 18，$
即$x^2 + 3x - 18 = 0，$
因式分解得$(x + 6)(x - 3)=0，$
解得$x_1 = 3，$$x_2 = -6$（舍去）。 所以这四个整数为$3,4,5,6，$最小数为$3。$
则$x(x + 1)(x + 2)(x + 3)=360，$
即$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)=360。$ 设$x^2 + 3x = y，$
则$y^2 + 2y - 360 = 0。$ 因式分解得$(y + 20)(y - 18)=0，$
则$y + 20 = 0$或$y - 18 = 0，$
解得$y_1 = 18，$$y_2 = -20。$ 因为$x$为正整数，所以$y = x^2 + 3x = 18，$
即$x^2 + 3x - 18 = 0，$
因式分解得$(x + 6)(x - 3)=0，$
解得$x_1 = 3，$$x_2 = -6$（舍去）。 所以这四个整数为$3,4,5,6，$最小数为$3。$
