11. 定义新运算“⊕”如下:当 $ a ≥ b $ 时，$ a \oplus b = 4a^2 - b^2 $;当 $ a ＜ b $ 时，$ a \oplus b = 4b^2 - a^2 $.若 $ (2x - 1) \oplus (x + 2) = 0 $，则 $ x = \underline{\hspace{5em}} $.

$-\frac{3}{4}$

12. (2024·泰安中考)如图所示,是用图形“$\circ$”和“$●$”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去,第________个“小屋子”中图形“$\circ$”的个数是图形“$●$”个数的3倍.

12

13. 新趋势 过程性学习（2025·南阳期中）利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程.
例如:形如$x+\sqrt{x-1}=3$这种根号内含有未知数的方程,我们称之为无理方程.
解法如下:
移项,得$\sqrt{x-1}=3-x$.
两边同时平方,得$x-1=9-6x+x^2$,即$x^2-7x+10=0$,解这个一元二次方程,得$x_1=2,x_2=5$.
【任务】
(1)小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解;小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程,还应考虑$\sqrt{x-1}$的双重非负性.请写出你所认为的材料中无理方程正确的解;
(2)解下列方程:①$x^3 - 4x = 0$;②$1 - \sqrt{3x^2+1}=3x$.

解​$：(1)$​对于​$\sqrt {x - 1}$​而言，有​$\sqrt {x - 1}\geq 0$​且​$x - 1\geq 0，$​即​$x\geq 1。$​又∵​$\sqrt {x - 1}=3 - x，$​∴​$3 - x\geq 0，$​∴​$x\leq 3，$​∴​$1\leq x\leq 3，$​只有​$x_{1} = 2$​符合条件，​$x_{2} = 5$​不符合条件，故这个方程的解为​$x = 2。$​​$ (2)①x^3-4x = 0，$​​$x(x^2 - 4)=0，$​​$x(x + 2)(x - 2)=0，$​∴​$x = 0$​或​$x + 2 = 0$​或​$x - 2 = 0，$​∴​$x_{1} = 0，x_{2}=-2，x_{3} = 2。$​​$ ②1-\sqrt {3x^2 + 1}=3x，$​移项，得​$1 - 3x=\sqrt {3x^2 + 1}，$​两边平方，得​$(1 - 3x)^2 = 3x^2+1，$​整理后，得​$x^2 - x = 0，$​解这个一元二次方程，得​$x_{1} = 0，x_{2} = 1，$​将​$x = 0$​代入​$1-\sqrt {3x^2 + 1}=3x，$​可得左边​$=1-\sqrt {0 + 1}=0，$​左边​$=$​右边，方程成立，符合题意；将​$x = 1$​代入​$1-\sqrt {3x^2 + 1}=3x，$​可得左边​$=1-\sqrt {3 + 1}=-1，$​右边​$=3，$​左边​$\neq {右边}，$​不符合题意，舍去。综上，​$x = 0。$​

14. 利用多项式的乘法法则,可以得到$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$,反过来,则有$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$.小丽受到启发,运用该方法解出了方程$x^2+5x+6=0$的解,小丽的解法如下:
$\because (x+2)(x+3)=x^2+5x+6$,且$x^2+5x+6=0$,
$\therefore (x+2)(x+3)=0,\therefore x+2=0$或$x+3=0$,
$\therefore x=-2$或$x=-3$,
$\therefore$原方程的解为$x_1=-2,x_2=-3$.
应用上面小丽的方法解决下列问题:
(1)解关于$x$的方程:$x+\frac{ab}{x}=a+b$($a、b$是常数,且都不为零);
(2)若关于$x$的方程$x-\frac{2k^2+5k+3}{x-4}=k+6$的两个解分别为$x_1、x_2$(其中$k＞0,x_1＞x_2$),请求$\frac{x_1-7}{x_2-3}$的值;
(3)已知$2x^2+8mx-7x+8m^2+6-14m=0$,$m$为常数,求$x$的值.

解​$： (1)x+\frac {ab}{x}=a + b，$​方程两边同乘​$x，$​得​$x^2+ab=(a + b)x，$​∴​$x^2-(a + b)x+ab = 0，$​∵​$(x - a)(x - b)=x^2-(a + b)x+ab，$​∴​$(x - a)(x - b)=0，$​∴​$x - a = 0$​或​$x - b = 0，$​∴​$x = a$​或​$x = b，$​检验：∵​$a、$​​$b$​是常数，且都不为零，∴当​$x = a$​或​$x = b$​时，​$x\neq 0，$​∴原方程的解为​$x_{1} = a，x_{2} = b。$​​$ (2)x-\frac {2k^2+5k + 3}{x - 4}=k + 6，$​方程两边同乘​$(x - 4)，$​得​$x(x - 4)-(2k^2+5k + 3)=(k + 6)(x - 4)，$​∴​$x^2-(10 + k)x-(2k^2+k - 21)=0，$​∵​$[x-(3 - k)][x-(2k + 7)]$​​$=x^2-(10 + k)x-(2k^2+k - 21)，$​∴​$[x-(3 - k)][x-(2k + 7)]=0，$​∴​$x-(3 - k)=0$​或​$x-(2k + 7)=0，$​∴​$x = 3 - k$​或​$x = 2k + 7，$​检验：当​$x = 3 - k$​或​$x = 2k + 7$​时，​$x - 4\neq 0，$​∵​$k>0，$​∴​$2k + 7>3 - k，$​∴原方程的解为​$x_{1} = 2k + 7，x_{2} = 3 - k，$​∴​$\frac {x_{1} - 7}{x_{2} - 3}=\frac {2k+7 - 7}{3 - k - 3}=\frac {2k}{-k}=-2。$​​$ (3)2x^2+8mx-7x+8\ \mathrm {m^2}+6 - 14m$​​$=2(x^2+4mx + 4\ \mathrm {m^2})-7x-14m + 6$​​$=2(x + 2m)^2-7(x + 2m)+6$​​$=[2(x + 2m)-3][x + 2m - 2]$​​$=(2x + 4m - 3)(x + 2m - 2)，$​则​$(2x + 4m - 3)(x + 2m - 2)=0，$​解得​$x=\frac {3}{2}-2m_{或}x = 2 - 2m。$​