3. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,5)$、$B(1,2)$、$C(4,2)$、$D(4,4)$、$E(2,4)$、$F(2,5)$,若点$P(m,2m-1)$在六边形$ABCDEF$内部(含边界),则$m$的取值范围为______.

$1.5\leq m\leq2.5$

4. 如图,已知点$A_1$的坐标是$(1,2)$,线段$OA_1$在第一象限内按如下规律变换:$A_1A_2 ⊥ OA_1$,$A_1A_2 = OA_1$;$A_2A_3 ⊥ A_1A_2$,$A_2A_3 = A_1A_2$;$A_3A_4 ⊥ A_2A_3$,$A_3A_4 = A_2A_3$;$···$则点$A_{2025}$的坐标是______.

(3037,1014)

5. 在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且$OB=OA=3$。
(1)求点A、B的坐标。
(2)若点$C(-2,2)$，求$△ BOC$的面积。
(3)P是第一、三象限角平分线上一点，若$S_{△ ABP}=\frac{33}{2}$，求点P的坐标。

解：(1)∵​$A$​、​$B$​两点分别在​$x$​轴、​$y$​轴的正半轴上，​$OB = OA = 3$​，∴​$A(3，0)$​、​$B(0，3)$​。(2)​$S_{\triangle BOC}=\frac {1}{2}OB·|x_{C}|=\frac {1}{2}×3×2 = 3$​。(3)∵点​$P$​在第一、三象限的角平分线上，∴设​$P(a，a)$​。∵​$S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}OA·OB=\frac {9}{2}<\frac {33}{2}$​，∴点​$P$​在第一象限​$AB$​的上方或在第三象限。如图，当点​$P_{1}$​在第一象限​$AB$​的上方时，​$S_{\triangle ABP_{1}}=S_{\triangle P_{1}AO}+S_{\triangle P_{1}BO}-S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}OA·y_{P_{1}}+\frac {1}{2}OB·x_{P_{1}}-\frac {1}{2}OA·OB$​，即​$\frac {1}{2}·3a+\frac {1}{2}·3a-\frac {1}{2}×3×3=\frac {33}{2}$​，解得​$a = 7$​，∴点​$P_{1}(7，7)$​；当点​$P_{2}$​在第三象限时，​$S_{\triangle ABP_{2}}=S_{\triangle P_{2}AO}+S_{\triangle P_{2}BO}+S_{\triangle AOB}=\frac {1}{2}OA·|y_{P_{2}}|+\frac {1}{2}OB·|x_{P_{2}}|+\frac {1}{2}OA·OB$​，即​$\frac {1}{2}·(-3a)+\frac {1}{2}·(-3a)+\frac {1}{2}×3×3=\frac {33}{2}$​，解得​$a = - 4$​，∴点​$P_{2}(-4，-4)$​。综上所述，点​$P$​的坐标为​$(7，7)$​或​$(-4，-4)$​。 ;

1. (2024·扬州)在平面直角坐标系$xOy$中,点$P(1,2)$关于坐标原点的对称点$P'$的坐标为 ( )
A. $(-1,-2)$
B. $(-1,2)$
C. $(1,-2)$
D. $(1,2)$

A

2. (2024·湖北)如图,点 A 的坐标是$(-4,6)$,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转$90°$,点 A 的对应点的坐标是
( )

A. $(4,6)$
B. $(6,4)$
C. $(-6,-4)$
D. $(-4,-6)$

B