1.(2024·山西)如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为 （ ）
A. $30°$
B. $40°$
C. $45°$
D. $50°$

第1题图

第2题图

第3题图

第4题图

D

2. 如图,在△POM中,点M在⊙O上,点P在⊙O外,OP交⊙O于点N,以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是
( )
A. ∠O+∠P=90°
B. ∠O+∠P=∠OMP
C. OM²+PM²=OP²
D. N是OP的中点

D

3.(2024·建邺区二模)如图,AB是$\odot O$的直径,点D在AB的延长线上,DC切$\odot O$于点C,若$∠ D=34°$,则$∠ A$的度数为________.

$28^{\circ}$

4.如图,两圆圆心相同,大圆的弦AB与小圆相切,AB=8,则图中阴影部分的面积是________.(结果保留π)

$16\pi$

5.(2024·张家港模拟)如图,AB为$\odot O$的直径,D,T是圆上的两点,且AT平分$∠ BAD$,过点T作AD延长线的垂线PQ,垂足为C.
(1)求证:PQ是$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为$2,TC=\sqrt{3}$,求弦AD的长.

第5题图

证明：(1)连接$OT。$ 因为$OT = OA，$所以$∠ATO=∠OAT。$ 因为$AT$平分$∠BAD，$所以$∠TAC=∠BAT，$ 所以$∠ATO=∠TAC，$所以$OT// AC。$ 因为$AC\perp PQ，$所以$OT\perp PQ，$ 所以$PQ$是$\odot O$的切线。 (2)解：过点$O$作$OM\perp AC$于点$M，$则$AM = MD。$ 因为$∠OTC=∠ACT=∠OMC = 90°，$ 所以四边形$OTCM$为矩形，所以$OM = TC=\sqrt{3}，$ 在$Rt\triangle AOM$中， $AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}} = 1，$ 所以$AD = 2AM = 2。$ ;