7. 用方程描述下列问题中的数量关系.
(1)要组织一次篮球比赛,参赛的每两个队伍之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队伍参赛?设应邀请$x$个队伍参赛,则可列方程为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$.
(2)一块长方形铁皮的长为4 dm,宽为3 dm,在四个角各截去一个边长相等的正方形,做成一个无盖的盒子,使盒子的底面积是原来铁皮面积的一半.设盒子的高为$x$ dm,则可列方程为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$.

$\frac{1}{2}x(x - 1)=7\times4$ ; $(4 - 2x)(3 - 2x)=4\times3\times\frac{1}{2}$

8. 已知关于$ x $的一元二次方程$(a-1)x^2 - 2x + a^2 - 1 = 0$有一个根为$ x = 0 $，则$ a $的值为 （ ）
A. 0
B. $\pm1$
C. 1
D. $-1$

D

9. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密. 书中有这样一个问题：“今有垣高一丈. 倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地. 问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈. 将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上. 如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上. 问木杆长多少尺？”(说明：1丈=10尺)设木杆长x尺，根据题意可列方程为 （ ）
A. $x^2=(x-1)^2+1^2$
B. $(x+1)^2=x^2+10^2$
C. $x^2=(x-1)^2+10^2$
D. $(x+1)^2=x^2+1^2$

C

10. 若$ x=m $是一元二次方程$ x^2 + x - 1 = 0 $的一个根，则$ 2024 - m^2 - m = \_\_\_\_\_\_ $．

2023

11. 已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，若 $4a - 2b + c = 0$，则该方程必有一个根是 ______。

$x = - 2$

12. 已知关于 $ x $ 的方程 $(m-1)x^{m^2+1} + (m-2)x - 1 = 0$。
(1)若方程是一元二次方程，求 $ m $ 的值。
(2)若方程是一元一次方程，则 $ m $ 是否存在？若存在，请直接写出 $ m $ 的值，并把方程解出来；若不存在，请说明理由。

解：​$(1)$​∵方程​$(m - 1)x^{\mathrm {m^2}+1}+(m - 2)x - 1 = 0$​是一元二次方程∴​$\mathrm {m^2}+1 = 2$​且​$m - 1\neq 0$​​$ $​由​$\mathrm {m^2}+1 = 2，$​得​$\mathrm {m^2}=1，$​解得​$m=\pm 1$​ 又∵​$m - 1\neq 0，$​即​$m\neq 1，$​∴​$m = - 1$​​$ (2)$​分情况讨论：​$ ①$​当​$\mathrm {m^2}+1 = 1$​且​$m - 1+m - 2\neq 0$​时​$ $​由​$\mathrm {m^2}+1 = 1，$​得​$\mathrm {m^2}=0，$​解得​$m = 0$​​$ $​此时原方程变为​$-3x - 1 = 0$​​$ $​移项得​$-3x=1，$​解得​$x = -\frac 13$​​$ ②$​当​$m = 1$​时，原方程变为​$-x - 1 = 0，$​解得​$x = - 1$​ 综上所述，​$m $​存在，当​$m = 0$​时，方程的解为​$x = -\frac 13；$​当​$m = 1$​时，方程的解为​$x = - 1$​

13. 定义:已知关于 $ x $ 的方程 $ a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0(a_1 ≠ 0,a_1、b_1、c_1 $ 是常数)与 $ a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0 $
$ (a_2 ≠ 0,a_2、b_2、c_2 $ 是常数),若两个方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 $ a_1 + $
$ a_2 = 0,b_1 = b_2,c_1 + c_2 = 0 $,则这两个方程互为“对称方程”.例如:求方程 $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的
“对称方程”,可以这样思考:由方程 $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $ 可知,$ a_1 = 2,b_1 = -3,c_1 = 1 $,根据 $ a_1 + $
$ a_2 = 0,b_1 = b_2,c_1 + c_2 = 0 $ 分别求出 $ a_2、b_2、c_2 $,从而确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下列问题:
(1)方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的“对称方程”是 ______.
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ 5x^2 + (m-1)x - n = 0 $ 与 $ -5x^2 - x = 1 $ 互为“对称方程”,求 $ (m+n)^2 $ 的值.

$-x^{2}-4x - 3 = 0$ ; 解：​$(2)$​将​$-5²-x=1$​移项，得​$-5x²-x-1=0$​∵方程​$5x²+(m-1)x-n=0$​与​$-5x²-x-1=0$​互为​$“$​对称方程​$”$​∴​$m-1=-1，$​​$-n+(-1)=0$​解得​$m=0，$​​$n=-1$​∴​$(m+n)²=(0-1)²=1$​