登录
例 某校组织八年级学生去狮脑山进行祭扫活动,从学校出发到山脚全程约为120 km.
(1)汽车匀速行驶的速度$v$(单位:km/h)与时间$t$(单位:h)有怎样的函数关系?
(2)原计划8点出发,11点到,但为了提前一小时到达目的地,车速应比原来快多少?
解:(1)$v=\dfrac{120}{t}$.
(2)当$t=3$时,$v=40$.
当$t=2$时,$v=60$.
$\therefore \quad 60-40=20$.
答:车速应比原来快20 km/h.
方法点拨 找到相等关系建立数学模型是解决本题的关键.
(1)汽车匀速行驶的速度$v$(单位:km/h)与时间$t$(单位:h)有怎样的函数关系?
(2)原计划8点出发,11点到,但为了提前一小时到达目的地,车速应比原来快多少?
解:(1)$v=\dfrac{120}{t}$.
(2)当$t=3$时,$v=40$.
当$t=2$时,$v=60$.
$\therefore \quad 60-40=20$.
答:车速应比原来快20 km/h.
方法点拨 找到相等关系建立数学模型是解决本题的关键.
答案
解：
(1) 根据路程、速度、时间的关系 $s=vt$，已知全程为120 km，代入得 $vt=120$，
整理得 $v=\frac{120}{t}\ (t＞0)$，因此$v$是$t$的反比例函数。
(2) 原计划行驶时间为 $11-8=3\ \mathrm{h}$，将$t=3$代入$v=\frac{120}{t}$，得原计划车速 $v_1=\frac{120}{3}=40\ \mathrm{km/h}$。
提前1小时到达时，行驶时间为 $3-1=2\ \mathrm{h}$，将$t=2$代入$v=\frac{120}{t}$，得实际需要车速 $v_2=\frac{120}{2}=60\ \mathrm{km/h}$。
车速差值为 $60-40=20\ \mathrm{km/h}$。
答：车速应比原来快$20\ \mathrm{km/h}$。
(1) 根据路程、速度、时间的关系 $s=vt$，已知全程为120 km，代入得 $vt=120$，
整理得 $v=\frac{120}{t}\ (t＞0)$，因此$v$是$t$的反比例函数。
(2) 原计划行驶时间为 $11-8=3\ \mathrm{h}$，将$t=3$代入$v=\frac{120}{t}$，得原计划车速 $v_1=\frac{120}{3}=40\ \mathrm{km/h}$。
提前1小时到达时，行驶时间为 $3-1=2\ \mathrm{h}$，将$t=2$代入$v=\frac{120}{t}$，得实际需要车速 $v_2=\frac{120}{2}=60\ \mathrm{km/h}$。
车速差值为 $60-40=20\ \mathrm{km/h}$。
答：车速应比原来快$20\ \mathrm{km/h}$。
解析
【分析】
解题时先从行程问题基本等量关系入手：(1) 已知路程固定为120km，根据“路程=速度×时间”的公式，代入已知路程后变形即可得到v与t的函数关系，注意实际问题中时间t需大于0；(2) 先计算原计划的行驶时长，代入函数式求出原计划车速，再计算提前1小时后的行驶时长，代入求出所需新车速，二者作差即可得到车速需要提升的量。
【解析】
(1) 根据路程、速度、时间的关系 $s=vt$，已知全程为120 km，代入得 $vt=120$，整理得 $v=\frac{120}{t}\ (t＞0)$，因此$v$是$t$的反比例函数。
(2) 原计划行驶时间为 $11-8=3\ \mathrm{h}$，将$t=3$代入$v=\frac{120}{t}$，得原计划车速 $v_1=\frac{120}{3}=40\ \mathrm{km/h}$。
提前1小时到达时，行驶时间为 $3-1=2\ \mathrm{h}$，将$t=2$代入$v=\frac{120}{t}$，得实际需要车速 $v_2=\frac{120}{2}=60\ \mathrm{km/h}$。
车速差值为 $60-40=20\ \mathrm{km/h}$。
答：车速应比原来快$20\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
(1) $v=\dfrac{120}{t}\ (t＞0)$，$v$是$t$的反比例函数；
(2) 车速应比原来快$20\ \mathrm{km/h}$。
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是反比例函数结合行程问题的基础应用题，核心是抓住“路程不变”的等量关系建立函数模型，再代入对应自变量的值求解函数值，计算难度较低，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围不能忽略。
【难度系数】
0.8
解题时先从行程问题基本等量关系入手：(1) 已知路程固定为120km，根据“路程=速度×时间”的公式，代入已知路程后变形即可得到v与t的函数关系，注意实际问题中时间t需大于0；(2) 先计算原计划的行驶时长，代入函数式求出原计划车速，再计算提前1小时后的行驶时长，代入求出所需新车速，二者作差即可得到车速需要提升的量。
【解析】
(1) 根据路程、速度、时间的关系 $s=vt$，已知全程为120 km，代入得 $vt=120$，整理得 $v=\frac{120}{t}\ (t＞0)$，因此$v$是$t$的反比例函数。
(2) 原计划行驶时间为 $11-8=3\ \mathrm{h}$，将$t=3$代入$v=\frac{120}{t}$，得原计划车速 $v_1=\frac{120}{3}=40\ \mathrm{km/h}$。
提前1小时到达时，行驶时间为 $3-1=2\ \mathrm{h}$，将$t=2$代入$v=\frac{120}{t}$，得实际需要车速 $v_2=\frac{120}{2}=60\ \mathrm{km/h}$。
车速差值为 $60-40=20\ \mathrm{km/h}$。
答：车速应比原来快$20\ \mathrm{km/h}$。
【答案】
(1) $v=\dfrac{120}{t}\ (t＞0)$，$v$是$t$的反比例函数；
(2) 车速应比原来快$20\ \mathrm{km/h}$。
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是反比例函数结合行程问题的基础应用题，核心是抓住“路程不变”的等量关系建立函数模型，再代入对应自变量的值求解函数值，计算难度较低，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围不能忽略。
【难度系数】
0.8
一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用了4 h到达乙地，当他沿原路匀速返回时，汽车的速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)满足的函数解析式是 (
A.$v=320t$
B.$v=\dfrac{320}{t}$
C.$v=20t$
D.$v=\dfrac{20}{t}$
B
)A.$v=320t$
B.$v=\dfrac{320}{t}$
C.$v=20t$
D.$v=\dfrac{20}{t}$
答案
B
解析
【分析】
解决这道题首先要抓住题中的不变量：往返甲乙两地的总路程是固定的。解题思路分为两步：第一步先根据去程的速度和时间，利用行程问题的基本公式算出甲乙两地的总路程；第二步再结合返程时路程不变的条件，对“路程=速度×时间”的公式进行变形，即可推导出速度v和时间t的函数解析式。
【解析】
1. 计算甲乙两地的总路程：
根据行程公式$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，代入去程的速度和时间可得：
$s=80\mathrm{km/h}×4\mathrm{h}=320\mathrm{km}$
2. 推导返程时v与t的函数关系：
返程时路程不变，因此满足等量关系$v· t=320$，将式子变形为用$t$表示$v$的形式，可得$v=\dfrac{320}{t}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数建模
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是反比例函数实际应用的基础题型，解题核心是抓住往返路程不变的隐含条件，结合行程问题的等量关系即可推导解析式，解题时注意区分正比例和反比例的表达形式，避免公式变形出错。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要抓住题中的不变量：往返甲乙两地的总路程是固定的。解题思路分为两步：第一步先根据去程的速度和时间，利用行程问题的基本公式算出甲乙两地的总路程；第二步再结合返程时路程不变的条件，对“路程=速度×时间”的公式进行变形，即可推导出速度v和时间t的函数解析式。
【解析】
1. 计算甲乙两地的总路程：
根据行程公式$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，代入去程的速度和时间可得：
$s=80\mathrm{km/h}×4\mathrm{h}=320\mathrm{km}$
2. 推导返程时v与t的函数关系：
返程时路程不变，因此满足等量关系$v· t=320$，将式子变形为用$t$表示$v$的形式，可得$v=\dfrac{320}{t}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数建模
2. 行程问题基本公式
【点评】
本题是反比例函数实际应用的基础题型，解题核心是抓住往返路程不变的隐含条件，结合行程问题的等量关系即可推导解析式，解题时注意区分正比例和反比例的表达形式，避免公式变形出错。
【难度系数】
0.85
