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8. 如图所示,已知$ A(-4,n) $,$ B(2,-4) $是一次函数$ y=kx+b $和反比例函数$ y=\frac{m}{x} $的图象的两个交点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)观察图象,直接写出方程$ kx+b-\frac{m}{x}=0 $的解.
(3)求$ △ AOB $的面积.
(4)观察图象,直接写出不等式$ kx+b-\frac{m}{x}＜0 $的解集.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式.
(2)观察图象,直接写出方程$ kx+b-\frac{m}{x}=0 $的解.
(3)求$ △ AOB $的面积.
(4)观察图象,直接写出不等式$ kx+b-\frac{m}{x}＜0 $的解集.
答案
8. (1)$\because$ 点$ B(2,-4) $在反比例函数$ y=\dfrac{m}{x} $的图象上,
$\therefore\quad -4=\dfrac{m}{2}.$ 解得 $m=-8.$
$\therefore\quad$ 反比例函数的解析式为 $y=-\dfrac{8}{x}.$
$\because\quad$ 点$ A(-4,n) $在反比例函数$ y=-\dfrac{8}{x} $的图象上,
$\therefore\quad n=-\dfrac{8}{-4}=2.$
$\therefore\quad$ 点$ A $的坐标为$ (-4,2).$
$\because\quad$ 一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点$A(-4,2),B(2,-4)$,
$\therefore\quad \begin{cases}-4k+b=2,\\2k+b=-4.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2.\end{cases}$
$\therefore\quad$ 一次函数的解析式为 $y=-x-2.$
(2)方程 $kx+b-\dfrac{m}{x}=0$ 的解是 $x_1=-4,x_2=2.$
(3)$\because\quad$ 直线 $y=-x-2$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,可得点 $C$ 的坐标为$(0,-2)$,
$\therefore\quad OC=2.$
$\therefore\quad S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\dfrac{1}{2}×2×4+\dfrac{1}{2}×2×2$
$=6.$
(4)不等式 $kx+b-\dfrac{m}{x}＜0$ 的解集为 $-4＜x＜0$ 或 $x＞2.$
$\therefore\quad -4=\dfrac{m}{2}.$ 解得 $m=-8.$
$\therefore\quad$ 反比例函数的解析式为 $y=-\dfrac{8}{x}.$
$\because\quad$ 点$ A(-4,n) $在反比例函数$ y=-\dfrac{8}{x} $的图象上,
$\therefore\quad n=-\dfrac{8}{-4}=2.$
$\therefore\quad$ 点$ A $的坐标为$ (-4,2).$
$\because\quad$ 一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点$A(-4,2),B(2,-4)$,
$\therefore\quad \begin{cases}-4k+b=2,\\2k+b=-4.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2.\end{cases}$
$\therefore\quad$ 一次函数的解析式为 $y=-x-2.$
(2)方程 $kx+b-\dfrac{m}{x}=0$ 的解是 $x_1=-4,x_2=2.$
(3)$\because\quad$ 直线 $y=-x-2$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,可得点 $C$ 的坐标为$(0,-2)$,
$\therefore\quad OC=2.$
$\therefore\quad S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\dfrac{1}{2}×2×4+\dfrac{1}{2}×2×2$
$=6.$
(4)不等式 $kx+b-\dfrac{m}{x}＜0$ 的解集为 $-4＜x＜0$ 或 $x＞2.$
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式时，先利用已知点B的坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数解析式；再将点A的横坐标代入反比例函数求出n，得到点A的完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数k和b。
(2) 方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$等价于$kx+b=\frac{m}{x}$，其解就是两个函数图象交点的横坐标，直接读取A、B两点的横坐标即可。
(3) 求$△ AOB$的面积时，由于O在原点，A、B不在坐标轴上，可先找到一次函数与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，分别计算两个三角形的面积再求和，OC为公共底，A、B两点横坐标的绝对值分别为两个三角形的高。
(4) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$等价于$kx+b＜\frac{m}{x}$，即一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合图象分象限观察即可得到解集，注意x不能为0。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式：
$\because$ 点$B(2,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
$\therefore$ 将$x=2,y=-4$代入得：$-4=\frac{m}{2}$，解得$m=-8$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
求点A的坐标：
$\because$ 点$A(-4,n)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
$\therefore$ 将$x=-4$代入得：$n=-\frac{8}{-4}=2$，即$A(-4,2)$。
求一次函数解析式：
$\because$ 一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,2)$、$B(2,-4)$两点，
$\therefore$ 代入得方程组$\begin{cases}-4k+b=2\\2k+b=-4\end{cases}$，
两式相减消去b得$-6k=6$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$2k+b=-4$得：$-2+b=-4$，解得$b=-2$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x-2$。
(2) 方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解对应一次函数与反比例函数图象交点的横坐标，两个交点的横坐标为$x=-4$和$x=2$，因此方程的解为$x_1=-4,x_2=2$。
(3) 求一次函数与y轴的交点C：
对于$y=-x-2$，令$x=0$，得$y=-2$，即$C(0,-2)$，$\therefore OC=2$。
$△ AOB$的面积可拆分为$△ AOC$和$△ BOC$的面积和：
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}× OC× |x_A| + \frac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\frac{1}{2}×2×4 + \frac{1}{2}×2×2$
$=4+2=6$。
(4) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$即一次函数值小于反比例函数值，观察图象可得：当$-4＜x＜0$或$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，因此不等式的解集为$-4＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\dfrac{8}{x}$，一次函数解析式为$y=-x-2$；
(2) $x_1=-4,x_2=2$；
(3) $6$；
(4) $-4＜x＜0$或$x＞2$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数与方程不等式的关系
3. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数综合的典型基础题，考查了待定系数法求函数解析式、函数与方程不等式的转化，以及割补法计算坐标系中三角形面积，解题时要熟练运用数形结合思想，从图象中提取有效信息解决问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数解析式时，先利用已知点B的坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数解析式；再将点A的横坐标代入反比例函数求出n，得到点A的完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数k和b。
(2) 方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$等价于$kx+b=\frac{m}{x}$，其解就是两个函数图象交点的横坐标，直接读取A、B两点的横坐标即可。
(3) 求$△ AOB$的面积时，由于O在原点，A、B不在坐标轴上，可先找到一次函数与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，分别计算两个三角形的面积再求和，OC为公共底，A、B两点横坐标的绝对值分别为两个三角形的高。
(4) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$等价于$kx+b＜\frac{m}{x}$，即一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合图象分象限观察即可得到解集，注意x不能为0。
【解析】
(1) 求反比例函数解析式：
$\because$ 点$B(2,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
$\therefore$ 将$x=2,y=-4$代入得：$-4=\frac{m}{2}$，解得$m=-8$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
求点A的坐标：
$\because$ 点$A(-4,n)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
$\therefore$ 将$x=-4$代入得：$n=-\frac{8}{-4}=2$，即$A(-4,2)$。
求一次函数解析式：
$\because$ 一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,2)$、$B(2,-4)$两点，
$\therefore$ 代入得方程组$\begin{cases}-4k+b=2\\2k+b=-4\end{cases}$，
两式相减消去b得$-6k=6$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$2k+b=-4$得：$-2+b=-4$，解得$b=-2$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x-2$。
(2) 方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解对应一次函数与反比例函数图象交点的横坐标，两个交点的横坐标为$x=-4$和$x=2$，因此方程的解为$x_1=-4,x_2=2$。
(3) 求一次函数与y轴的交点C：
对于$y=-x-2$，令$x=0$，得$y=-2$，即$C(0,-2)$，$\therefore OC=2$。
$△ AOB$的面积可拆分为$△ AOC$和$△ BOC$的面积和：
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}× OC× |x_A| + \frac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\frac{1}{2}×2×4 + \frac{1}{2}×2×2$
$=4+2=6$。
(4) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$即一次函数值小于反比例函数值，观察图象可得：当$-4＜x＜0$或$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，因此不等式的解集为$-4＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$y=-\dfrac{8}{x}$，一次函数解析式为$y=-x-2$；
(2) $x_1=-4,x_2=2$；
(3) $6$；
(4) $-4＜x＜0$或$x＞2$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数与方程不等式的关系
3. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数综合的典型基础题，考查了待定系数法求函数解析式、函数与方程不等式的转化，以及割补法计算坐标系中三角形面积，解题时要熟练运用数形结合思想，从图象中提取有效信息解决问题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于$A(1,4),B(4,n)$两点.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求一次函数的解析式.
(3)若$P$是$x$轴上的一动点,试确定点$P$并求出它的坐标,使$PA+PB$最小.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求一次函数的解析式.
(3)若$P$是$x$轴上的一动点,试确定点$P$并求出它的坐标,使$PA+PB$最小.
答案
9. (1)把$A(1,4)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$m=4$,
$\therefore\quad$ 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}.$
(2)把$B(4,n)$代入$y=\dfrac{4}{x}$,得$n=1$,
$\therefore\quad B(4,1).$
把$A(1,4),B(4,1)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}4=k+b,\\1=4k+b.\end{cases}$
$\therefore\quad \begin{cases}k=-1,\\b=5.\end{cases}$
$\therefore\quad$ 一次函数的解析式为 $y=-x+5.$
(3)如图,作点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'$,连接 $AB'$交 $x$ 轴于点 $P$,则 $AB'$的长度就是 $PA+PB$ 的最小值,由作图知,$B'(4,-1)$,
$\therefore\quad$ 直线 $AB'$对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{17}{3}.$
当 $y=0$ 时,$x=\dfrac{17}{5}$,
$\therefore\quad P(\dfrac{17}{5},0).$
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式时，由于反比例函数仅含一个未知参数m，已知其图象过点A(1,4)，直接将A点坐标代入表达式即可求出m，得到反比例函数解析式。
(2) 求一次函数解析式需要两个点的坐标，已知A点坐标，先将B点横坐标代入已求出的反比例函数解析式，算出B点纵坐标n，得到完整的B点坐标；再将A、B两点坐标代入一次函数表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b，得到一次函数解析式。
(3) 该问属于“将军饮马”最短路径问题：根据轴对称性质，作B关于x轴的对称点B'，则x轴上任意点P都满足PB=PB'，因此PA+PB可转化为PA+PB'；根据两点之间线段最短，当A、P、B'三点共线时，PA+PB'最小，即PA+PB最小。后续求出直线AB'的解析式，令y=0即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 把$A(1,4)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$m=1×4=4$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$。
(2) 把$B(4,n)$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$n=\dfrac{4}{4}=1$，
$\therefore B(4,1)$。
把$A(1,4),B(4,1)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}4=k+b,\\1=4k+b.\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$，代入$k+b=4$得$b=5$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=-x+5$。
(3) 作点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'$，连接 $AB'$交 $x$ 轴于点 $P$，此时$PA+PB$最小，由对称性质得$B'(4,-1)$。
设直线$AB'$的解析式为$y=ax+c$，代入$A(1,4)$、$B'(4,-1)$得
$\begin{cases}a+c=4,\\4a+c=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{5}{3},\\c=\dfrac{17}{3},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB'$对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{17}{3}$。
当 $y=0$ 时，$-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{17}{3}=0$，解得$x=\dfrac{17}{5}$，
$\therefore P(\dfrac{17}{5},0)$。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$。
(2) 一次函数的解析式为 $y=-x+5$。
(3) 点$P$坐标为$(\dfrac{17}{5},0)$，作图如下：
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，最短路径问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，前两问侧重基础的待定系数法应用，第三问结合轴对称性质考查经典的最短路径模型，既检验基础知识点的掌握情况，也考查几何模型的迁移应用能力，属于函数模块的常规考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数解析式时，由于反比例函数仅含一个未知参数m，已知其图象过点A(1,4)，直接将A点坐标代入表达式即可求出m，得到反比例函数解析式。
(2) 求一次函数解析式需要两个点的坐标，已知A点坐标，先将B点横坐标代入已求出的反比例函数解析式，算出B点纵坐标n，得到完整的B点坐标；再将A、B两点坐标代入一次函数表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b，得到一次函数解析式。
(3) 该问属于“将军饮马”最短路径问题：根据轴对称性质，作B关于x轴的对称点B'，则x轴上任意点P都满足PB=PB'，因此PA+PB可转化为PA+PB'；根据两点之间线段最短，当A、P、B'三点共线时，PA+PB'最小，即PA+PB最小。后续求出直线AB'的解析式，令y=0即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 把$A(1,4)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$m=1×4=4$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$。
(2) 把$B(4,n)$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$n=\dfrac{4}{4}=1$，
$\therefore B(4,1)$。
把$A(1,4),B(4,1)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}4=k+b,\\1=4k+b.\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$3k=-3$，解得$k=-1$，代入$k+b=4$得$b=5$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为 $y=-x+5$。
(3) 作点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'$，连接 $AB'$交 $x$ 轴于点 $P$，此时$PA+PB$最小，由对称性质得$B'(4,-1)$。
设直线$AB'$的解析式为$y=ax+c$，代入$A(1,4)$、$B'(4,-1)$得
$\begin{cases}a+c=4,\\4a+c=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{5}{3},\\c=\dfrac{17}{3},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB'$对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{17}{3}$。
当 $y=0$ 时，$-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{17}{3}=0$，解得$x=\dfrac{17}{5}$，
$\therefore P(\dfrac{17}{5},0)$。
【答案】
(1) 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$。
(2) 一次函数的解析式为 $y=-x+5$。
(3) 点$P$坐标为$(\dfrac{17}{5},0)$，作图如下：
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，最短路径问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，前两问侧重基础的待定系数法应用，第三问结合轴对称性质考查经典的最短路径模型，既检验基础知识点的掌握情况，也考查几何模型的迁移应用能力，属于函数模块的常规考法。
【难度系数】
0.7
