例 中国扇文化有着深厚的文化底蕴,是民族文化的一个组成部分,中国被誉为制扇王国.小旭制作了一把扇形纸扇,如图,$OA=20\ \mathrm{cm},OB=5\ \mathrm{cm}$,纸扇完全打开后,外侧两竹条(竹条宽度忽略不计)的夹角$∠AOC=120°$,现需在扇面一侧绘制水墨画,则水墨画所在纸面的面积为 $(\ )$


A.$\frac{400}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
B.$125π\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{75}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
D.$150π\ \mathrm{cm}^2$
分析:由题知,
$S_{\mathrm{扇形}OAC}=\frac{120·π·20^2}{360}=\frac{400}{3}π(\mathrm{cm}^2)$,
$S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{120·π·5^2}{360}=\frac{25}{3}π(\mathrm{cm}^2)$,
所以水墨画所在纸面的面积为
$\frac{400}{3}π-\frac{25}{3}π=125π(\mathrm{cm}^2)$.
答案:B
方法点拨 本题主要考查了扇形面积的计

B

【分析】
要计算水墨画所在扇面的面积，首先观察扇面的形状：它是圆心角相同的两个扇形（大扇形OAC和小扇形OBD）的面积差，也就是扇环的面积。解题思路为：先回忆扇形面积计算公式，分别求出大、小两个扇形的面积，再用大扇形面积减去小扇形面积即可得到扇面面积。
【解析】
扇面面积 = 大扇形$OAC$的面积 - 小扇形$OBD$的面积，扇形面积公式为$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为扇形圆心角度数，$R$为扇形半径）。
1. 计算大扇形$OAC$的面积：
已知$∠ AOC=120°$，半径$OA=20\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$S_{\mathrm{扇形}OAC}=\frac{120× π× 20^2}{360}=\frac{400}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
2. 计算小扇形$OBD$的面积：
小扇形与大扇形圆心角相同，半径$OB=5\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{120× π× 5^2}{360}=\frac{25}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算扇面面积：
$S_{\mathrm{扇面}}=\frac{400}{3}π-\frac{25}{3}π=125π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活中的折扇场景命题，考查扇形面积公式的实际应用，解题的核心是明确扇面为两个同圆心角扇形的面积差，熟记公式即可快速计算，贴合生活实际，能很好地考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.7