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10. 如图, 四边形 ABCD 内接于$\odot O$, AB 是$\odot O$的直径, C 为$\overset{\frown}{BD}$的中点, 延长 AD, BC 交于点 P, 连接 AC.
(1)求证:$AB=AP$;
(2)当$AB=10,DP=2$时,求线段 PC 的长.
(1)求证:$AB=AP$;
(2)当$AB=10,DP=2$时,求线段 PC 的长.
答案
10. (1)$\because \ \ C$ 为 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，
$\therefore \ \ ∠ BAC= ∠ CAP.$
$\because \ \ AB$ 是$\odot O$ 的直径，
$\therefore \ \ ∠ ACB=90°.$
$\therefore \ \ ∠ ABC+ ∠ BAC=90°.$
$\because \ ∠ ACB+ ∠ ACP=180°,$
$\therefore \ \ ∠ ACP=180°- ∠ ACB=90°.$
$\therefore \ \ ∠ P+ ∠ CAP=90°,$
$\therefore \ \ ∠ ABC= ∠ P.$
$\therefore \ \ AB=AP.$
(2)如图,连接 BD.
$\because \ \ AB$ 是$\odot O$ 的直径，
$\therefore \ \ ∠ ADB=90°.$
$\because \ ∠ ADB+ ∠ BDP=180°,$
$\therefore \ \ ∠ BDP=180°- ∠ ADB=90°.$
$\because \ \ AB=AP,AB=10,$
$\therefore \ \ AP=10.$
$\because \ \ DP=2,$
$\therefore \ \ AD=10-2=8.$
$\therefore \ \ BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6.$
$\therefore \ \ PB=\sqrt{BD^2+PD^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}.$
$\because \ ∠ ACB=90°,$
$\therefore \ \ AC ⊥ BP.$
$\because \ \ AB=AP,$
$\therefore \ \ BC=PC=\frac{1}{2}PB=\sqrt{10}.$
$\therefore \ \ PC=\sqrt{10}.$
解析
【分析】
(1) 要证明$AB=AP$，可通过证明两条边对应的底角$∠ ABC=∠ P$实现。首先根据弧中点的性质可得$∠ BAC=∠ CAP$，再结合AB是$\odot O$的直径，可推出$∠ ACB=∠ ACP=90°$，利用等角的余角相等即可得到$∠ ABC=∠ P$，进而证得$AB=AP$。
(2) 要求PC的长，由(1)的结论可知$AB=AP$且$AC⊥ BP$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$PC=\frac{1}{2}PB$，因此只需计算出PB的长度即可。连接BD后，利用直径所对圆周角为直角得到$∠ BDP=90°$，先结合已知条件求出AD的长，再用勾股定理依次计算BD、PB的长度，即可得到PC的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because \ \ C$ 为 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，
$\therefore \ \ ∠ BAC= ∠ CAP$.
$\because \ \ AB$ 是$\odot O$ 的直径，
$\therefore \ \ ∠ ACB=90°$.
$\therefore \ \ ∠ ABC+ ∠ BAC=90°$.
$\because \ ∠ ACB+ ∠ ACP=180°,$
$\therefore \ \ ∠ ACP=180°- ∠ ACB=90°$.
$\therefore \ \ ∠ P+ ∠ CAP=90°,$
$\therefore \ \ ∠ ABC= ∠ P$.
$\therefore \ \ AB=AP$.
(2) 解：如图，连接BD.
$\because \ \ AB$ 是$\odot O$ 的直径，
$\therefore \ \ ∠ ADB=90°$.
$\because \ ∠ ADB+ ∠ BDP=180°,$
$\therefore \ \ ∠ BDP=180°- ∠ ADB=90°$.
$\because \ \ AB=AP,AB=10,$
$\therefore \ \ AP=10$.
$\because \ \ DP=2,$
$\therefore \ \ AD=10-2=8$.
$\therefore \ \ BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
$\therefore \ \ PB=\sqrt{BD^2+PD^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$.
$\because \ ∠ ACB=90°,$
$\therefore \ \ AC ⊥ BP$.
$\because \ \ AB=AP,$
$\therefore \ \ BC=PC=\frac{1}{2}PB=\sqrt{10}$.
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $PC=\sqrt{10}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题核心是灵活运用圆的性质构造直角三角形，结合等腰三角形的性质简化计算，既考查几何逻辑推理能力，也考查基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AB=AP$，可通过证明两条边对应的底角$∠ ABC=∠ P$实现。首先根据弧中点的性质可得$∠ BAC=∠ CAP$，再结合AB是$\odot O$的直径，可推出$∠ ACB=∠ ACP=90°$，利用等角的余角相等即可得到$∠ ABC=∠ P$，进而证得$AB=AP$。
(2) 要求PC的长，由(1)的结论可知$AB=AP$且$AC⊥ BP$，根据等腰三角形三线合一的性质可得$PC=\frac{1}{2}PB$，因此只需计算出PB的长度即可。连接BD后，利用直径所对圆周角为直角得到$∠ BDP=90°$，先结合已知条件求出AD的长，再用勾股定理依次计算BD、PB的长度，即可得到PC的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because \ \ C$ 为 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，
$\therefore \ \ ∠ BAC= ∠ CAP$.
$\because \ \ AB$ 是$\odot O$ 的直径，
$\therefore \ \ ∠ ACB=90°$.
$\therefore \ \ ∠ ABC+ ∠ BAC=90°$.
$\because \ ∠ ACB+ ∠ ACP=180°,$
$\therefore \ \ ∠ ACP=180°- ∠ ACB=90°$.
$\therefore \ \ ∠ P+ ∠ CAP=90°,$
$\therefore \ \ ∠ ABC= ∠ P$.
$\therefore \ \ AB=AP$.
(2) 解：如图，连接BD.
$\because \ \ AB$ 是$\odot O$ 的直径，
$\therefore \ \ ∠ ADB=90°$.
$\because \ ∠ ADB+ ∠ BDP=180°,$
$\therefore \ \ ∠ BDP=180°- ∠ ADB=90°$.
$\because \ \ AB=AP,AB=10,$
$\therefore \ \ AP=10$.
$\because \ \ DP=2,$
$\therefore \ \ AD=10-2=8$.
$\therefore \ \ BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
$\therefore \ \ PB=\sqrt{BD^2+PD^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$.
$\because \ ∠ ACB=90°,$
$\therefore \ \ AC ⊥ BP$.
$\because \ \ AB=AP,$
$\therefore \ \ BC=PC=\frac{1}{2}PB=\sqrt{10}$.
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $PC=\sqrt{10}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题核心是灵活运用圆的性质构造直角三角形，结合等腰三角形的性质简化计算，既考查几何逻辑推理能力，也考查基础运算能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,四边形ABCD内接于圆,连接AC,BD.
(1)若∠DAB=60°,∠ACB=70°,求∠ABD的度数;
(2)若AC为直径,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点,请探究∠DAB与∠ACB之间的关系.
(1)若∠DAB=60°,∠ACB=70°,求∠ABD的度数;
(2)若AC为直径,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点,请探究∠DAB与∠ACB之间的关系.
答案
11. (1)$\because \ ∠ ACB=70°,$
$\therefore \ \ ∠ ADB= ∠ ACB=70°.$
$\because \ ∠ DAB=60°,$
$\therefore \ \ ∠ ABD = 180°- ∠ ADB- ∠ DAB = 180°-70°-60°=50°.$
(2)$\because \ \ C$ 为 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，
$\therefore \ \ ∠ CAB= ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ DAB.$
$\because \ \ AC$ 为直径，
$\therefore \ \ ∠ ABC=90°.$
$\therefore \ \ ∠ CAB+ ∠ ACB=90°.$
$\therefore \ \ \frac{1}{2}∠ DAB+ ∠ ACB=90°.$
$\therefore \ \ ∠ ADB= ∠ ACB=70°.$
$\because \ ∠ DAB=60°,$
$\therefore \ \ ∠ ABD = 180°- ∠ ADB- ∠ DAB = 180°-70°-60°=50°.$
(2)$\because \ \ C$ 为 $\overset{\frown}{BD}$ 的中点，
$\therefore \ \ ∠ CAB= ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ DAB.$
$\because \ \ AC$ 为直径，
$\therefore \ \ ∠ ABC=90°.$
$\therefore \ \ ∠ CAB+ ∠ ACB=90°.$
$\therefore \ \ \frac{1}{2}∠ DAB+ ∠ ACB=90°.$
解析
【分析】
(1) 求解∠ABD的度数，首先观察到∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠ACB，已知∠ACB的度数即可得到∠ADB的度数；再在△ABD中，已知∠DAB和∠ADB的度数，利用三角形内角和为180°就能求出∠ABD的度数。
(2) 探究∠DAB和∠ACB的关系，首先由C是弧BD的中点，可得弧BC=弧CD，根据等弧所对的圆周角相等，可知AC平分∠DAB，即∠CAB=$\frac{1}{2}$∠DAB；再由AC是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，两个锐角互余，即∠CAB+∠ACB=90°，将∠CAB替换为$\frac{1}{2}$∠DAB即可得到两个角的数量关系。
【解析】
(1) $\because$ 同弧$AB$所对的圆周角相等，$∠ ACB=70°$
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=70°$
在$△ ABD$中，$∠ DAB=60°$，根据三角形内角和为$180°$
$\therefore ∠ ABD=180°-∠ ADB-∠ DAB=180°-70°-60°=50°$
(2) $\because C$为$\overset{\frown}{BD}$的中点
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，等弧所对的圆周角相等，故$∠ CAB=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ DAB$
$\because AC$为直径，直径所对的圆周角为直角
$\therefore ∠ ABC=90°$
在$Rt△ ABC$中，两个锐角互余
$\therefore ∠ CAB+∠ ACB=90°$
将$∠ CAB$替换为$\frac{1}{2}∠ DAB$，可得：$\frac{1}{2}∠ DAB+∠ ACB=90°$
【答案】
(1) $\boxed{50°}$
(2) $\boxed{\frac{1}{2}∠ DAB + ∠ ACB=90°}$（或$\boxed{∠ DAB+2∠ ACB=180°}$）
【知识点】
圆周角定理、三角形内角和定理、直径的性质
【点评】
本题主要考查圆的基础性质的综合应用，解题时需结合已知条件准确对应圆周角、弧、直径的相关性质，再结合三角形的角度规律即可求解，是圆性质应用的常规基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 求解∠ABD的度数，首先观察到∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠ACB，已知∠ACB的度数即可得到∠ADB的度数；再在△ABD中，已知∠DAB和∠ADB的度数，利用三角形内角和为180°就能求出∠ABD的度数。
(2) 探究∠DAB和∠ACB的关系，首先由C是弧BD的中点，可得弧BC=弧CD，根据等弧所对的圆周角相等，可知AC平分∠DAB，即∠CAB=$\frac{1}{2}$∠DAB；再由AC是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，两个锐角互余，即∠CAB+∠ACB=90°，将∠CAB替换为$\frac{1}{2}$∠DAB即可得到两个角的数量关系。
【解析】
(1) $\because$ 同弧$AB$所对的圆周角相等，$∠ ACB=70°$
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=70°$
在$△ ABD$中，$∠ DAB=60°$，根据三角形内角和为$180°$
$\therefore ∠ ABD=180°-∠ ADB-∠ DAB=180°-70°-60°=50°$
(2) $\because C$为$\overset{\frown}{BD}$的中点
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，等弧所对的圆周角相等，故$∠ CAB=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ DAB$
$\because AC$为直径，直径所对的圆周角为直角
$\therefore ∠ ABC=90°$
在$Rt△ ABC$中，两个锐角互余
$\therefore ∠ CAB+∠ ACB=90°$
将$∠ CAB$替换为$\frac{1}{2}∠ DAB$，可得：$\frac{1}{2}∠ DAB+∠ ACB=90°$
【答案】
(1) $\boxed{50°}$
(2) $\boxed{\frac{1}{2}∠ DAB + ∠ ACB=90°}$（或$\boxed{∠ DAB+2∠ ACB=180°}$）
【知识点】
圆周角定理、三角形内角和定理、直径的性质
【点评】
本题主要考查圆的基础性质的综合应用，解题时需结合已知条件准确对应圆周角、弧、直径的相关性质，再结合三角形的角度规律即可求解，是圆性质应用的常规基础题型。
【难度系数】
0.75
