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埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”。他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼（点A）和亚历山大（点B）是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约800 km，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12时太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角α约为7.2°，据此可以估算地球的周长约为
埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”。他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼（点A）和亚历山大（点B）是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约800 km，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12时太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角α约为7.2°，据此可以估算地球的周长约为
40000
km。答案
40000
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为几何模型：把地球近似看作圆，同一条经线上的A、B两地是圆上的两点，两地距离就是弧AB的长度。接下来推导圆心角：因为太阳光线是平行光线，塞伊尼的太阳光沿半径OA直射井底，亚历山大的太阳光与沿半径OB方向的木棍夹角为7.2°，根据平行线的内错角相等，可得弧AB对应的圆心角就是7.2°。最后利用“弧长占圆周长的比等于对应圆心角占周角的比”的关系，就可以求出地球的周长。
【解析】
设地球的周长为$ C $，弧AB的长度$ l=800\ \mathrm{km} $，弧AB对应的圆心角$ n=7.2° $。
根据弧长与周长的比例关系：
$\frac{\mathrm{弧长}}{\mathrm{周长}} = \frac{\mathrm{弧对应的圆心角}}{360°}$
代入已知数值：
$\frac{800}{C} = \frac{7.2°}{360°}$
化简得$ \frac{800}{C} = \frac{1}{50} $，解得$ C = 800 × 50 = 40000\ \mathrm{km} $。
【答案】
40000
【知识点】
弧长计算，圆的周长，平行线的性质
【点评】
本题结合历史上的实际测量场景，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，需要准确找到实际量对应的几何元素，再结合比例关系求解，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际问题转化为几何模型：把地球近似看作圆，同一条经线上的A、B两地是圆上的两点，两地距离就是弧AB的长度。接下来推导圆心角：因为太阳光线是平行光线，塞伊尼的太阳光沿半径OA直射井底，亚历山大的太阳光与沿半径OB方向的木棍夹角为7.2°，根据平行线的内错角相等，可得弧AB对应的圆心角就是7.2°。最后利用“弧长占圆周长的比等于对应圆心角占周角的比”的关系，就可以求出地球的周长。
【解析】
设地球的周长为$ C $，弧AB的长度$ l=800\ \mathrm{km} $，弧AB对应的圆心角$ n=7.2° $。
根据弧长与周长的比例关系：
$\frac{\mathrm{弧长}}{\mathrm{周长}} = \frac{\mathrm{弧对应的圆心角}}{360°}$
代入已知数值：
$\frac{800}{C} = \frac{7.2°}{360°}$
化简得$ \frac{800}{C} = \frac{1}{50} $，解得$ C = 800 × 50 = 40000\ \mathrm{km} $。
【答案】
40000
【知识点】
弧长计算，圆的周长，平行线的性质
【点评】
本题结合历史上的实际测量场景，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，需要准确找到实际量对应的几何元素，再结合比例关系求解，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
1. 一个扇形的半径是3，弧长为$4π$，那么这个扇形的圆心角是（
A.$260°$
B.$240°$
C.$140°$
D.$120°$
B
）A.$260°$
B.$240°$
C.$140°$
D.$120°$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算扇形的圆心角，首先回忆弧长计算公式：弧长$l$和圆心角度数$n$、半径$r$的关系为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数）。题目已经给出弧长$l=4π$、半径$r=3$，我们可以将已知量代入公式，通过解方程求出圆心角$n$的数值，再对应选项选择即可。
【解析】
设扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=4π$，$r=3$代入公式得：
$4π=\frac{nπ×3}{180}$
两边同时约去$π$，得：
$4=\frac{3n}{180}$
化简得$4=\frac{n}{60}$，解得$n=4×60=240$
即扇形的圆心角是$240°$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，解题的关键是牢记弧长公式，代入数值计算时可以先约去$π$简化运算，减少计算失误。
【难度系数】
0.85
要计算扇形的圆心角，首先回忆弧长计算公式：弧长$l$和圆心角度数$n$、半径$r$的关系为$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数）。题目已经给出弧长$l=4π$、半径$r=3$，我们可以将已知量代入公式，通过解方程求出圆心角$n$的数值，再对应选项选择即可。
【解析】
设扇形的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=4π$，$r=3$代入公式得：
$4π=\frac{nπ×3}{180}$
两边同时约去$π$，得：
$4=\frac{3n}{180}$
化简得$4=\frac{n}{60}$，解得$n=4×60=240$
即扇形的圆心角是$240°$。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，解题的关键是牢记弧长公式，代入数值计算时可以先约去$π$简化运算，减少计算失误。
【难度系数】
0.85
2. 如图,点A,B,C在半径为3的$\odot O$上, $∠ ACB=30°$,则$\overset{\frown}{AB}$的长为 (
A.3
B.$\frac{π}{2}$
C.$π$
D.$\frac{3π}{2}$
第2题图 第3题图
C
)A.3
B.$\frac{π}{2}$
C.$π$
D.$\frac{3π}{2}$
第2题图 第3题图
答案
2.C
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的长，需要先得到$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数和圆的半径，已知圆的半径为3，因此优先求圆心角：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角$∠ ACB=30°$，可算出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB$的度数，再代入弧长公式即可求出弧长。
【解析】
解：
∵$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB$
∵$∠ ACB=30°$
∴$∠ AOB=2×30°=60°$
已知$\odot O$的半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧对应的圆心角度数），可得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{60×π×3}{180}=π$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握圆周角定理和弧长公式，先通过圆周角求出对应圆心角的度数，再代入公式计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AB}$的长，需要先得到$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数和圆的半径，已知圆的半径为3，因此优先求圆心角：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合已知的圆周角$∠ ACB=30°$，可算出$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB$的度数，再代入弧长公式即可求出弧长。
【解析】
解：
∵$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB$
∵$∠ ACB=30°$
∴$∠ AOB=2×30°=60°$
已知$\odot O$的半径$r=3$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧对应的圆心角度数），可得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{60×π×3}{180}=π$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握圆周角定理和弧长公式，先通过圆周角求出对应圆心角的度数，再代入公式计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2$,$AD=4$,以点$A$为圆心,$AD$长为半径的弧交$BC$于点$D'$,则图中阴影部分的面积是（
A.$\frac{4π}{3}$
B.$\frac{π}{2}$
C.$\frac{π}{3}$
D.$π$
A
）A.$\frac{4π}{3}$
B.$\frac{π}{2}$
C.$\frac{π}{3}$
D.$π$
答案
3.A
解析
【分析】
首先观察图形，阴影部分是圆心为点A的扇形，要求扇形面积需先确定扇形的半径和圆心角：第一步，由题意可知扇形半径等于AD的长度，即4；第二步，结合矩形的性质可得∠B=90°，AD//BC，且AD'=AD=4，在Rt△ABD'中，AB=2是斜边AD'的一半，可推出∠AD'B=30°，再根据平行线内错角相等，即可得到扇形的圆心角∠DAD'=30°；最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90°，AD//BC，AD=4
∵以A为圆心，AD长为半径的弧交BC于点D'
∴AD'=AD=4
在Rt△ABD'中，AB=2，AD'=4
∴$AB=\frac{1}{2}AD'$
∴∠AD'B=30°
∵AD//BC
∴∠DAD'=∠AD'B=30°（两直线平行，内错角相等）
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入n=30，r=4得：
$S_{阴影}=\frac{30×π×4^2}{360}=\frac{4π}{3}$
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，直角三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题解题的核心是结合矩形和直角三角形的性质求出扇形的圆心角，只要熟练掌握相关几何性质和扇形面积公式，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，阴影部分是圆心为点A的扇形，要求扇形面积需先确定扇形的半径和圆心角：第一步，由题意可知扇形半径等于AD的长度，即4；第二步，结合矩形的性质可得∠B=90°，AD//BC，且AD'=AD=4，在Rt△ABD'中，AB=2是斜边AD'的一半，可推出∠AD'B=30°，再根据平行线内错角相等，即可得到扇形的圆心角∠DAD'=30°；最后代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90°，AD//BC，AD=4
∵以A为圆心，AD长为半径的弧交BC于点D'
∴AD'=AD=4
在Rt△ABD'中，AB=2，AD'=4
∴$AB=\frac{1}{2}AD'$
∴∠AD'B=30°
∵AD//BC
∴∠DAD'=∠AD'B=30°（两直线平行，内错角相等）
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入n=30，r=4得：
$S_{阴影}=\frac{30×π×4^2}{360}=\frac{4π}{3}$
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，直角三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题解题的核心是结合矩形和直角三角形的性质求出扇形的圆心角，只要熟练掌握相关几何性质和扇形面积公式，就能快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图,网格中每个小正方形的边长都是1,则以点O为圆心,OA长为半径的$\overset{\frown}{AB}$和弦AB所围成的弓形的面积为
2π-4
.答案
4.$2π-4$
解析
【分析】
要求弓形的面积，根据弓形面积的计算方法，弓形面积=对应扇形的面积减去弦和两条半径围成的三角形的面积。首先结合网格确定扇形OAB的半径OA的长度、圆心角∠AOB的度数，再分别计算扇形OAB的面积和△OAB的面积，最后作差即可得到弓形面积。
【解析】
解：
∵网格中每个小正方形的边长为1，
∴$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，同理$OB=2\sqrt{2}$，$AB=4$，
∵$OA^2+OB^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16=4^2=AB^2$，
∴$∠ AOB=90°$，
∴扇形OAB的面积为：$\frac{90°}{360°} × π × (2\sqrt{2})^2=\frac{1}{4} × π × 8=2π$，
△OAB的面积为：$\frac{1}{2} × AB × 高=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$（点O到AB的距离为2），
∴弓形面积=扇形OAB的面积 - △OAB的面积=$2π - 4$。
【答案】
$2π-4$
【知识点】
扇形面积计算，弓形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是掌握弓形面积的计算逻辑，结合网格特征确定扇形的圆心角、半径以及三角形的底和高是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求弓形的面积，根据弓形面积的计算方法，弓形面积=对应扇形的面积减去弦和两条半径围成的三角形的面积。首先结合网格确定扇形OAB的半径OA的长度、圆心角∠AOB的度数，再分别计算扇形OAB的面积和△OAB的面积，最后作差即可得到弓形面积。
【解析】
解：
∵网格中每个小正方形的边长为1，
∴$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，同理$OB=2\sqrt{2}$，$AB=4$，
∵$OA^2+OB^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16=4^2=AB^2$，
∴$∠ AOB=90°$，
∴扇形OAB的面积为：$\frac{90°}{360°} × π × (2\sqrt{2})^2=\frac{1}{4} × π × 8=2π$，
△OAB的面积为：$\frac{1}{2} × AB × 高=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$（点O到AB的距离为2），
∴弓形面积=扇形OAB的面积 - △OAB的面积=$2π - 4$。
【答案】
$2π-4$
【知识点】
扇形面积计算，弓形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是掌握弓形面积的计算逻辑，结合网格特征确定扇形的圆心角、半径以及三角形的底和高是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$∠ B=70°$,$BC=4$,以$AD$为直径的$\odot O$交$CD$于点$E$,则$\overset{\frown}{DE}$的长是 (
A.$\frac{1}{3}π$
B.$\frac{2}{3}π$
C.$\frac{7}{6}π$
D.$\frac{4}{9}π$
D
)A.$\frac{1}{3}π$
B.$\frac{2}{3}π$
C.$\frac{7}{6}π$
D.$\frac{4}{9}π$
答案
5.D
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长度，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径），因此解题思路为：首先利用平行四边形的性质求出圆的直径和∠ADC的度数，再结合等腰三角形的性质求出弧$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$OE$。
1. 由平行四边形的性质可知：$AD=BC=4$，$∠ ADC=∠ B=70°$。
2. 因为$AD$是$\odot O$的直径，所以$\odot O$的半径$r=OD=OE=\frac{1}{2}AD=2$。
3. 因为$OD=OE$，所以$△ ODE$为等腰三角形，$∠ OED=∠ ODE=70°$，因此$∠ DOE=180° - 70° × 2=40°$。
4. 代入弧长公式计算$\overset{\frown}{DE}$的长度：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{40×π×2}{180}=\frac{4}{9}π$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，弧长计算，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查多个基础知识点的结合运用，解题的核心是先确定弧长公式需要的两个未知量：圆心角和半径，再依次求解即可。
【难度系数】
0.7
要求弧$\overset{\frown}{DE}$的长度，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对的圆心角度数，$r$为圆的半径），因此解题思路为：首先利用平行四边形的性质求出圆的直径和∠ADC的度数，再结合等腰三角形的性质求出弧$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角∠DOE的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$OE$。
1. 由平行四边形的性质可知：$AD=BC=4$，$∠ ADC=∠ B=70°$。
2. 因为$AD$是$\odot O$的直径，所以$\odot O$的半径$r=OD=OE=\frac{1}{2}AD=2$。
3. 因为$OD=OE$，所以$△ ODE$为等腰三角形，$∠ OED=∠ ODE=70°$，因此$∠ DOE=180° - 70° × 2=40°$。
4. 代入弧长公式计算$\overset{\frown}{DE}$的长度：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{40×π×2}{180}=\frac{4}{9}π$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，弧长计算，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，主要考查多个基础知识点的结合运用，解题的核心是先确定弧长公式需要的两个未知量：圆心角和半径，再依次求解即可。
【难度系数】
0.7
6. 如图是某同学自制的一个乒乓球拍,正面是半径为8 cm的$\odot O$,劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长为$4π$ cm,阴影部分需要粘贴胶皮,则这一面胶皮的面积为 (
A.$(32+48π)\ \mathrm{cm}^2$
B.$(16π-32)\ \mathrm{cm}^2$
C.$64π\ \mathrm{cm}^2$
D.$(48π-32)\ \mathrm{cm}^2$
A
)A.$(32+48π)\ \mathrm{cm}^2$
B.$(16π-32)\ \mathrm{cm}^2$
C.$64π\ \mathrm{cm}^2$
D.$(48π-32)\ \mathrm{cm}^2$
答案
6.A
解析
【分析】
要求阴影部分粘贴胶皮的面积，观察图形可知阴影面积等于圆的总面积减去劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的空白弓形面积。解题思路如下：第一步，利用弧长公式，结合已知的劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长度和圆的半径，求出圆心角$∠ AOB$的度数；第二步，分别计算劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的扇形$OAB$的面积和$△ OAB$的面积，二者作差得到空白弓形的面积；第三步，用整个圆的面积减去空白弓形的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=8\ \mathrm{cm}$，劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长$l=4π\ \mathrm{cm}$。
1. 求圆心角$∠ AOB$的度数
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数据得：
$4π=\frac{nπ×8}{180}$
约去$π$后解得$n=\frac{4×180}{8}=90°$，即$∠ AOB=90°$。
2. 计算空白弓形的面积
扇形$OAB$的面积：$S_{扇形OAB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{90π×8^2}{360}=16π\ \mathrm{cm}^2$
$△ OAB$是直角三角形，两条直角边均为圆的半径，因此：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×8×8=32\ \mathrm{cm}^2$
空白弓形面积：$S_{弓形}=S_{扇形OAB}-S_{△ OAB}=16π-32\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算阴影部分面积
$\odot O$的总面积：$S_{圆}=π r^2=π×8^2=64π\ \mathrm{cm}^2$
阴影面积：$S_{阴影}=S_{圆}-S_{弓形}=64π-(16π-32)=(32+48π)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于弧长和扇形面积的综合应用题，解题核心是通过弧长求出圆心角，再用割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差进行计算，熟练掌握基础公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分粘贴胶皮的面积，观察图形可知阴影面积等于圆的总面积减去劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的空白弓形面积。解题思路如下：第一步，利用弧长公式，结合已知的劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长度和圆的半径，求出圆心角$∠ AOB$的度数；第二步，分别计算劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的扇形$OAB$的面积和$△ OAB$的面积，二者作差得到空白弓形的面积；第三步，用整个圆的面积减去空白弓形的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=8\ \mathrm{cm}$，劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长$l=4π\ \mathrm{cm}$。
1. 求圆心角$∠ AOB$的度数
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入数据得：
$4π=\frac{nπ×8}{180}$
约去$π$后解得$n=\frac{4×180}{8}=90°$，即$∠ AOB=90°$。
2. 计算空白弓形的面积
扇形$OAB$的面积：$S_{扇形OAB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{90π×8^2}{360}=16π\ \mathrm{cm}^2$
$△ OAB$是直角三角形，两条直角边均为圆的半径，因此：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}×8×8=32\ \mathrm{cm}^2$
空白弓形面积：$S_{弓形}=S_{扇形OAB}-S_{△ OAB}=16π-32\ \mathrm{cm}^2$
3. 计算阴影部分面积
$\odot O$的总面积：$S_{圆}=π r^2=π×8^2=64π\ \mathrm{cm}^2$
阴影面积：$S_{阴影}=S_{圆}-S_{弓形}=64π-(16π-32)=(32+48π)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，扇形面积计算，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于弧长和扇形面积的综合应用题，解题核心是通过弧长求出圆心角，再用割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差进行计算，熟练掌握基础公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
