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7. 如图, 北京市某处 A 位于北纬 $40°$ (即 $∠ AOC=40°$ ), 东经 $116°$, 三沙市海域某处 B位于北纬 $15°$ (即 $∠ BOC=15°$ ), 东经 $116°$. 设地球的半径约为 $R \mathrm{~km}$, 则在东经 $116°$ 所在经线圈上的点 A 和点 B 之间的劣弧长约为（
A.$\frac{5}{72}π R \mathrm{~km}$
B.$\frac{1}{12}π R \mathrm{~km}$
C.$\frac{5}{36}π R \mathrm{~km}$
D.$\frac{2}{9}π R \mathrm{~km}$
C
）A.$\frac{5}{72}π R \mathrm{~km}$
B.$\frac{1}{12}π R \mathrm{~km}$
C.$\frac{5}{36}π R \mathrm{~km}$
D.$\frac{2}{9}π R \mathrm{~km}$
答案
7.C
解析
【分析】
要计算同经线圈上A、B两点的劣弧长，首先需明确经线圈是过地心的大圆，其半径等于地球半径R；接下来求A、B两点对应的圆心角：因为A、B同处东经116°，北纬分别为40°和15°，所以两点的圆心角为两个纬度的差值；最后将圆心角和半径代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
首先计算A、B两点对应的圆心角：
∵ A位于北纬40°，B位于北纬15°，且两地经度相同，
∴ 圆心角$ ∠ AOB = 40° - 15° = 25° $。
根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中n为圆心角度数，R为圆的半径），将$ n=25 $，半径为R代入得：
$ l=\frac{25π R}{180}=\frac{5π R}{36} \mathrm{km} $。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆心角求解
【点评】
本题结合经纬度背景考查弧长公式的应用，解题的关键是正确求出两点对应的圆心角，再代入公式化简即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
要计算同经线圈上A、B两点的劣弧长，首先需明确经线圈是过地心的大圆，其半径等于地球半径R；接下来求A、B两点对应的圆心角：因为A、B同处东经116°，北纬分别为40°和15°，所以两点的圆心角为两个纬度的差值；最后将圆心角和半径代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
首先计算A、B两点对应的圆心角：
∵ A位于北纬40°，B位于北纬15°，且两地经度相同，
∴ 圆心角$ ∠ AOB = 40° - 15° = 25° $。
根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $（其中n为圆心角度数，R为圆的半径），将$ n=25 $，半径为R代入得：
$ l=\frac{25π R}{180}=\frac{5π R}{36} \mathrm{km} $。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆心角求解
【点评】
本题结合经纬度背景考查弧长公式的应用，解题的关键是正确求出两点对应的圆心角，再代入公式化简即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在矩形ABCD中,$AD=1$,$AC=2$.以点A为圆心,AC长为半径画弧分别交AB,AD的延长线于点E,F,则图中阴影部分的面积是
第8题图 第9题图
π-√3
.第8题图 第9题图
答案
8.$π-\sqrt{3}$
解析
【分析】
计算不规则阴影部分面积可采用割补法转化为规则图形面积的差。观察图形可知，阴影部分面积等于以A为圆心、AC为半径的90°扇形AEF的面积减去矩形ABCD的面积。解题步骤如下：第一步先利用矩形性质和直角三角形相关知识求出矩形的边长，计算矩形面积；第二步根据扇形面积公式计算扇形AEF的面积；第三步用扇形面积减去矩形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD=1
在Rt△ABC中，AC=2，BC=1
∴$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴$S_{矩形ABCD}=AB· AD=\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$
∵扇形AEF的圆心角∠FAE=90°，半径$r=AC=2$
∴$S_{扇形AEF}=\frac{90°}{360°}×π× r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
结合图形可得：$S_{阴影}=S_{扇形AEF}-S_{矩形ABCD}=π-\sqrt{3}$
【答案】
$π-\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题核心是通过割补法将不规则面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，需要熟练掌握扇形面积公式和矩形、直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.65
计算不规则阴影部分面积可采用割补法转化为规则图形面积的差。观察图形可知，阴影部分面积等于以A为圆心、AC为半径的90°扇形AEF的面积减去矩形ABCD的面积。解题步骤如下：第一步先利用矩形性质和直角三角形相关知识求出矩形的边长，计算矩形面积；第二步根据扇形面积公式计算扇形AEF的面积；第三步用扇形面积减去矩形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°，BC=AD=1
在Rt△ABC中，AC=2，BC=1
∴$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴$S_{矩形ABCD}=AB· AD=\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$
∵扇形AEF的圆心角∠FAE=90°，半径$r=AC=2$
∴$S_{扇形AEF}=\frac{90°}{360°}×π× r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$
结合图形可得：$S_{阴影}=S_{扇形AEF}-S_{矩形ABCD}=π-\sqrt{3}$
【答案】
$π-\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题核心是通过割补法将不规则面积转化为熟悉的规则图形面积的和差，需要熟练掌握扇形面积公式和矩形、直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.65
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ ABC=30°$,$AB=2$. 将$△ ABC$绕直角顶点$C$逆时针旋转$60°$得$△ A'B'C$,则点$B$转过的路径长为
$\frac{\sqrt{3}π}{3}$
.答案
9.$\frac{\sqrt{3}π}{3}$
解析
【分析】
要求点B转过的路径长，首先明确旋转过程中点B的运动路径是一段圆弧：圆心为旋转中心C，半径为CB的长度，圆心角等于旋转角60°。因此解题步骤为：①先在Rt△ABC中利用直角三角形的边角关系求出BC的长度；②确定路径对应的圆心角；③代入弧长公式计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，
∴ $BC=AB·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵ △ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A'B'C，
∴ 点B的旋转角为$∠ BCB'=60°$，点B转过的路径是半径为$BC=\sqrt{3}$、圆心角为60°的弧$BB'$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入得：
路径长$l=\frac{60π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}π}{3}$
【知识点】
旋转的性质、弧长计算、解直角三角形
【点评】
本题是几何旋转与弧长计算结合的基础题，解题的核心是准确判断动点的运动路径，确定弧长公式需要的半径、圆心角两个关键量，再结合直角三角形的边角关系求出半径即可求解。
【难度系数】
0.7
要求点B转过的路径长，首先明确旋转过程中点B的运动路径是一段圆弧：圆心为旋转中心C，半径为CB的长度，圆心角等于旋转角60°。因此解题步骤为：①先在Rt△ABC中利用直角三角形的边角关系求出BC的长度；②确定路径对应的圆心角；③代入弧长公式计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，
∴ $BC=AB·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
∵ △ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A'B'C，
∴ 点B的旋转角为$∠ BCB'=60°$，点B转过的路径是半径为$BC=\sqrt{3}$、圆心角为60°的弧$BB'$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入得：
路径长$l=\frac{60π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}π}{3}$
【知识点】
旋转的性质、弧长计算、解直角三角形
【点评】
本题是几何旋转与弧长计算结合的基础题，解题的核心是准确判断动点的运动路径，确定弧长公式需要的半径、圆心角两个关键量，再结合直角三角形的边角关系求出半径即可求解。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=1,以点A为圆心,AD长为半径画弧交BC于点E,则图中阴影部分的面积为
$2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$
.答案
10.$2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$
解析
【分析】
求解不规则阴影部分的面积，通常采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差运算。首先根据题意可得AE=AD=2，先在Rt△ABE中利用直角三角形的性质求出BE的长度和∠DAE的度数，再分别计算矩形、三角形ABE、扇形ADE的面积，最后用矩形面积减去三角形和扇形的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，AD=BC=2，AB=CD=1，
∵以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，
∴AE=AD=2。
在Rt△ABE中，AB=1，AE=2，
∴$\cos∠ BAE=\frac{AB}{AE}=\frac{1}{2}$，即$∠ BAE=60°$，
∴$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=90°-60°=30°$，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
分别计算各规则图形面积：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× AD=1×2=2$，
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$S_{\mathrm{扇形}ADE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30π×2^2}{360}=\frac{π}{3}$。
因此阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{\mathrm{扇形}ADE}=2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$。
【答案】
$2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积的典型计算题，解题核心是将不规则阴影面积转化为常见规则图形的面积和差，需要熟练掌握直角三角形、矩形、扇形的相关性质及面积计算公式。
【难度系数】
0.65
求解不规则阴影部分的面积，通常采用割补法，将其转化为规则图形面积的和差运算。首先根据题意可得AE=AD=2，先在Rt△ABE中利用直角三角形的性质求出BE的长度和∠DAE的度数，再分别计算矩形、三角形ABE、扇形ADE的面积，最后用矩形面积减去三角形和扇形的面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，AD=BC=2，AB=CD=1，
∵以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，
∴AE=AD=2。
在Rt△ABE中，AB=1，AE=2，
∴$\cos∠ BAE=\frac{AB}{AE}=\frac{1}{2}$，即$∠ BAE=60°$，
∴$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=90°-60°=30°$，
由勾股定理得：$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
分别计算各规则图形面积：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× AD=1×2=2$，
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× BE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$S_{\mathrm{扇形}ADE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{30π×2^2}{360}=\frac{π}{3}$。
因此阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{\mathrm{扇形}ADE}=2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$。
【答案】
$2-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{3}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积的典型计算题，解题核心是将不规则阴影面积转化为常见规则图形的面积和差，需要熟练掌握直角三角形、矩形、扇形的相关性质及面积计算公式。
【难度系数】
0.65
11.如图,$\odot O$的半径为1,A,B,C是$\odot O$上的三个点.若四边形OABC为平行四边形,连接AC,则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{6}$
.答案
11.$\frac{π}{6}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：⊙O半径为1，故OA=OB=OC=1；四边形OABC是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质可得AB=OC=1，因此△OAB三边均等于半径，可判定为等边三角形，推出∠AOB=60°。接下来处理阴影部分面积：因为平行四边形对边平行，AB//OC，所以△ABC和△OAB同底AB、高相等（平行线间距离处处相等），二者面积相等，因此阴影部分面积可转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 连接OB：
∵ 四边形OABC是平行四边形，⊙O半径为1，
∴ AB=OC=1，OA=1，
又
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB=1，
∴ OA=OB=AB=1，即△OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
2. 等积转化：
∵ 四边形OABC是平行四边形，
∴ AB//OC，点C和点O到AB的距离相等，
∴ △ABC与△OAB同底等高，$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$。
3. 计算阴影面积：
阴影部分面积 = $S_{△ ABC} + S_{弓形AB}$ = $S_{△ OAB} + S_{弓形AB}$ = $S_{扇形OAB}$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的计算，核心是利用等积变形将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，体现了转化思想在几何计算中的应用，解题关键是找到平行条件下的等面积三角形，再结合等边三角形的性质得到扇形圆心角。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：⊙O半径为1，故OA=OB=OC=1；四边形OABC是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质可得AB=OC=1，因此△OAB三边均等于半径，可判定为等边三角形，推出∠AOB=60°。接下来处理阴影部分面积：因为平行四边形对边平行，AB//OC，所以△ABC和△OAB同底AB、高相等（平行线间距离处处相等），二者面积相等，因此阴影部分面积可转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 连接OB：
∵ 四边形OABC是平行四边形，⊙O半径为1，
∴ AB=OC=1，OA=1，
又
∵ OA、OB都是⊙O的半径，
∴ OA=OB=1，
∴ OA=OB=AB=1，即△OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
2. 等积转化：
∵ 四边形OABC是平行四边形，
∴ AB//OC，点C和点O到AB的距离相等，
∴ △ABC与△OAB同底等高，$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}$。
3. 计算阴影面积：
阴影部分面积 = $S_{△ ABC} + S_{弓形AB}$ = $S_{△ OAB} + S_{弓形AB}$ = $S_{扇形OAB}$。
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，等边三角形的判定，扇形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的计算，核心是利用等积变形将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，体现了转化思想在几何计算中的应用，解题关键是找到平行条件下的等面积三角形，再结合等边三角形的性质得到扇形圆心角。
【难度系数】
0.6
12. 如图,以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆,交BC于点D,交AC于点E,AB=6.
(1)求$\overset{\frown}{AD}$的长；
(2)求图中阴影部分的面积.
(1)求$\overset{\frown}{AD}$的长；
(2)求图中阴影部分的面积.
答案
12. (1)如图,连接 OD.
∵ 以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径作半圆,AB=6,
∴ ∠ABD=60°,OA=OB=OD=3.
∴ △OBD 是等边三角形.
∴ ∠BOD=60°.
∵ ∠BOD+∠AOD=180°,
∴ ∠AOD=180°-∠BOD=120°.
∴ $\overset{\frown}{AD}$ 的长为$\frac{120×3π}{180}=2π$.
(2)如图,过点 O 作 $OF⊥BD$ 于点 F.
由(1)知 $∠BOD = 60°$, $△OBD$ 是等边三角形.
∴ $BD=OB=3$.
∵ $OF⊥BD$,
∴ $BF=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$.
∴ $OF=\sqrt{BO^2-BF^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
∴ $S_{阴影}=S_{扇形OBD}-S_{△OBD}=\frac{60}{360}π×3^2-\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
∴ 图中阴影部分的面积为$\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求弧长需要明确两个条件：弧所对的圆心角度数、弧所在圆的半径。已知半圆直径AB=6，可得半径为3；接下来求$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角：连接OD，由等边△ABC得∠B=60°，结合OB=OD可判定△OBD是等边三角形，得∠BOD=60°，进而算出∠AOD=120°，代入弧长公式即可求解。
(2) 阴影部分是不规则图形，采用割补法转化为规则图形面积差计算：阴影面积等于扇形OBD的面积减去△OBD的面积。由(1)可知△OBD是边长为3的等边三角形，过O作OF⊥BD求出三角形的高，分别计算扇形面积和三角形面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 连接OD。
∵ 以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆，AB=6，
∴ ∠ABD=60°，OA=OB=OD=3。
∴ △OBD是等边三角形，
∴ ∠BOD=60°。
∵ ∠BOD+∠AOD=180°，
∴ ∠AOD=180°-∠BOD=120°。
∴ $\overset{\frown}{AD}$ 的长为$\frac{120×3π}{180}=2π$。
(2) 过点O作 $OF⊥BD$ 于点F。
由(1)知 $∠BOD = 60°$, $△OBD$ 是等边三角形，
∴ $BD=OB=3$。
∵ $OF⊥BD$，
∴ $BF=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$。
∴ $OF=\sqrt{BO^2-BF^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
∴ $S_{阴影}=S_{扇形OBD}-S_{△OBD}=\frac{60}{360}π×3^2-\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AD}$的长为$2π$；
(2) 图中阴影部分的面积为$\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【知识点】
弧长的计算，扇形面积的计算，等边三角形的性质
【点评】
本题是弧长与扇形面积计算的典型题型，核心是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差求解，解题的关键是合理添加辅助线确定圆心角，需要熟练掌握弧长、扇形面积公式以及等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
(1) 求弧长需要明确两个条件：弧所对的圆心角度数、弧所在圆的半径。已知半圆直径AB=6，可得半径为3；接下来求$\overset{\frown}{AD}$对应的圆心角：连接OD，由等边△ABC得∠B=60°，结合OB=OD可判定△OBD是等边三角形，得∠BOD=60°，进而算出∠AOD=120°，代入弧长公式即可求解。
(2) 阴影部分是不规则图形，采用割补法转化为规则图形面积差计算：阴影面积等于扇形OBD的面积减去△OBD的面积。由(1)可知△OBD是边长为3的等边三角形，过O作OF⊥BD求出三角形的高，分别计算扇形面积和三角形面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 连接OD。
∵ 以等边三角形ABC的边AB为直径作半圆，AB=6，
∴ ∠ABD=60°，OA=OB=OD=3。
∴ △OBD是等边三角形，
∴ ∠BOD=60°。
∵ ∠BOD+∠AOD=180°，
∴ ∠AOD=180°-∠BOD=120°。
∴ $\overset{\frown}{AD}$ 的长为$\frac{120×3π}{180}=2π$。
(2) 过点O作 $OF⊥BD$ 于点F。
由(1)知 $∠BOD = 60°$, $△OBD$ 是等边三角形，
∴ $BD=OB=3$。
∵ $OF⊥BD$，
∴ $BF=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$。
∴ $OF=\sqrt{BO^2-BF^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
∴ $S_{阴影}=S_{扇形OBD}-S_{△OBD}=\frac{60}{360}π×3^2-\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AD}$的长为$2π$；
(2) 图中阴影部分的面积为$\frac{3}{2}π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【知识点】
弧长的计算，扇形面积的计算，等边三角形的性质
【点评】
本题是弧长与扇形面积计算的典型题型，核心是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差求解，解题的关键是合理添加辅助线确定圆心角，需要熟练掌握弧长、扇形面积公式以及等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7
