例 圆锥的母线长为4,底面半径为2,则此圆锥的全面积是 ()

A.$6π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$16π$
分析:∵ 圆锥的母线长为4,底面半径为2,
∴ 圆锥的侧面积为$π rl=4×2×π=8π$,圆锥的底面积为$π r^2=4π$,
∴ 此圆锥的全面积为$8π+4π=12π$.
答案:C
方法点拨 本题考查了圆锥的全面积计算,熟练掌握圆锥的全面积计算公式是解题的关键.

C

【分析】
要计算圆锥的全面积，首先明确圆锥全面积的构成：全面积=侧面积+底面积。首先回忆两个面积对应的计算公式：圆锥侧面积公式为$S_{侧}=πrl$（其中$r$是底面半径，$l$是母线长），底面积就是底面圆的面积，公式为$S_{底}=πr^2$。题目已经直接给出母线长$l=4$、底面半径$r=2$，我们只需要分别代入公式算出侧面积和底面积，再相加就能得到全面积。
【解析】
已知圆锥母线长$l=4$，底面半径$r=2$：
1. 计算圆锥侧面积：
$S_{侧}=πrl=π×2×4=8π$
2. 计算圆锥底面积：
$S_{底}=πr^2=π×2^2=4π$
3. 计算圆锥全面积：
$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=8π+4π=12π$
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题属于圆锥面积计算的基础题型，解题的关键是牢记圆锥全面积的构成以及对应的计算公式，计算时注意不要遗漏底面积，直接代入已知数值即可得到结果。
【难度系数】
0.8

“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动.如图是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径$AB=8\ \mathrm{cm}$,圆柱体部分的高$BC=6\ \mathrm{cm}$,圆锥体部分的高$CD=3\ \mathrm{cm}$,求这个陀螺的表面积.(结果保留$π$)

这个陀螺的表面积为 84π cm².

【分析】
解题时首先要明确陀螺的表面积组成：由于圆柱下底面与圆锥上底面重合，属于内部接触面，不计入表面积，因此总表面积=圆柱侧面积+圆柱上底面积+圆锥侧面积。第一步先根据已知直径求出底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后分别代入对应面积公式计算后求和即可。
【解析】
解：由题意得，底面圆的半径$r = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\ \mathrm{cm}$
①求圆锥的母线长$l$：
圆锥的高为$CD=3\ \mathrm{cm}$，底面半径为$4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$l = \sqrt{r^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \mathrm{cm}$
②分别计算各部分面积：
圆柱侧面积：$S_{\mathrm{圆柱侧}} = 2π r · BC = 2π × 4 × 6 = 48π\ \mathrm{cm^2}$
圆柱上底面积：$S_{\mathrm{圆柱底}} = π r^2 = π × 4^2 = 16π\ \mathrm{cm^2}$
圆锥侧面积：$S_{\mathrm{圆锥侧}} = π r l = π × 4 × 5 = 20π\ \mathrm{cm^2}$
③总表面积：
$S_{\mathrm{总}} = 48π + 16π + 20π = 84π\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
这个陀螺的表面积为$84π\ \mathrm{cm^2}$。
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆柱侧面积计算、勾股定理
【点评】
本题结合生活中的陀螺实物考查立体图形表面积的计算，解题的核心是准确判断表面积包含的面，避免多算重合的接触面，同时需要熟练掌握圆柱、圆锥的相关面积公式，能正确计算圆锥的母线长。
【难度系数】
0.7