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【例1】如图，五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，$∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = ∠ E$.求证：五边形$ABCDE$是正五边形.
证明:
【规律方法】
正多边形的判定的两种方法
(1)定义判定:证明多边形的各边相等,各角相等.
(2)利用正多边形与圆的关系判定:当多边形为圆内接多边形时,证明该多边形的顶点将圆等分即可.
证明:
【规律方法】
正多边形的判定的两种方法
(1)定义判定:证明多边形的各边相等,各角相等.
(2)利用正多边形与圆的关系判定:当多边形为圆内接多边形时,证明该多边形的顶点将圆等分即可.
答案
证明:因为$∠ A = ∠ B$,$∠ A$对的弧是$\overset{\frown}{BDE}$,$∠ B$对的弧是$\overset{\frown}{CDA}$,所以$\overset{\frown}{BDE}=\overset{\frown}{CDA}$.
所以$\overset{\frown}{BDE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CDA}-\overset{\frown}{CE}$,即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$.
所以$BC=AE$.同理可证其余各边都相等.
所以五边形$ABCDE$是正五边形.
所以$\overset{\frown}{BDE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CDA}-\overset{\frown}{CE}$,即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$.
所以$BC=AE$.同理可证其余各边都相等.
所以五边形$ABCDE$是正五边形.
解析
【分析】
要证明圆内接五边形ABCDE是正五边形，已知五个内角相等，只需再证明各边相等即可。结合圆的性质，相等的圆周角所对的弧相等，我们可以先通过等角推导出等弧，再通过弧的和差关系得到对应边所对的弧相等，等弧对等弦即可得到边相等，最终结合已知等角条件完成判定。
【解析】
证明：
∵ $∠A = ∠B$，圆周角$∠A$所对的弧是$\overset{\frown}{BDE}$，圆周角$∠B$所对的弧是$\overset{\frown}{CDA}$，
∴ 相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BDE}=\overset{\frown}{CDA}$，
给等式两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{CE}$，可得$\overset{\frown}{BDE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CDA}-\overset{\frown}{CE}$，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$，
∵ 同圆内等弧对等弦，
∴ $BC=AE$，
同理可证其余各边都相等，结合已知五个内角相等，即可判定五边形ABCDE是正五边形。
【答案】
证明:因为$∠ A = ∠ B$,$∠ A$对的弧是$\overset{\frown}{BDE}$,$∠ B$对的弧是$\overset{\frown}{CDA}$,所以$\overset{\frown}{BDE}=\overset{\frown}{CDA}$.
所以$\overset{\frown}{BDE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CDA}-\overset{\frown}{CE}$,即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$.
所以$BC=AE$.同理可证其余各边都相等.
所以五边形$ABCDE$是正五边形.
【知识点】
1. 圆周角与弧的关系
2. 弧弦对等关系
3. 正多边形的判定
【点评】
本题是正多边形与圆相关性质的基础应用，解题核心是掌握圆中圆周角、弧、弦的等量转换规律，结合已知条件完成正多边形的判定，有助于巩固圆与正多边形的关联知识。
【难度系数】
0.7
要证明圆内接五边形ABCDE是正五边形，已知五个内角相等，只需再证明各边相等即可。结合圆的性质，相等的圆周角所对的弧相等，我们可以先通过等角推导出等弧，再通过弧的和差关系得到对应边所对的弧相等，等弧对等弦即可得到边相等，最终结合已知等角条件完成判定。
【解析】
证明：
∵ $∠A = ∠B$，圆周角$∠A$所对的弧是$\overset{\frown}{BDE}$，圆周角$∠B$所对的弧是$\overset{\frown}{CDA}$，
∴ 相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BDE}=\overset{\frown}{CDA}$，
给等式两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{CE}$，可得$\overset{\frown}{BDE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CDA}-\overset{\frown}{CE}$，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$，
∵ 同圆内等弧对等弦，
∴ $BC=AE$，
同理可证其余各边都相等，结合已知五个内角相等，即可判定五边形ABCDE是正五边形。
【答案】
证明:因为$∠ A = ∠ B$,$∠ A$对的弧是$\overset{\frown}{BDE}$,$∠ B$对的弧是$\overset{\frown}{CDA}$,所以$\overset{\frown}{BDE}=\overset{\frown}{CDA}$.
所以$\overset{\frown}{BDE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CDA}-\overset{\frown}{CE}$,即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}$.
所以$BC=AE$.同理可证其余各边都相等.
所以五边形$ABCDE$是正五边形.
【知识点】
1. 圆周角与弧的关系
2. 弧弦对等关系
3. 正多边形的判定
【点评】
本题是正多边形与圆相关性质的基础应用，解题核心是掌握圆中圆周角、弧、弦的等量转换规律，结合已知条件完成正多边形的判定，有助于巩固圆与正多边形的关联知识。
【难度系数】
0.7
变式训练
1.如图,在$\odot O$的内接三角形$ABC$中,$AB=AC$,弦$BD$,$CE$分别为$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线,且$BE=BC$.求证:五边形$AEBCD$是正五边形.
1.如图,在$\odot O$的内接三角形$ABC$中,$AB=AC$,弦$BD$,$CE$分别为$∠ ABC$,$∠ ACB$的平分线,且$BE=BC$.求证:五边形$AEBCD$是正五边形.
答案
1.证明:因为$AB=AC$,
所以$∠ ABC=∠ ACB$.
因为弦$BD$,$CE$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,
所以$∠ ABD=∠ DBC=∠ ECB=∠ ACE$.
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$.
因为$BE=BC$,所以$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BE}$,
所以五边形$AEBCD$是正五边形.
所以$∠ ABC=∠ ACB$.
因为弦$BD$,$CE$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,
所以$∠ ABD=∠ DBC=∠ ECB=∠ ACE$.
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$.
因为$BE=BC$,所以$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BE}$,
所以五边形$AEBCD$是正五边形.
解析
【分析】
要证明圆内接五边形AEBCD是正五边形，根据圆内接正多边形的判定规则，只需证明该五边形的五个顶点将圆五等分，也就是五边形各边对应的弧全部相等。首先利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到多个相等的圆周角，由同圆中相等的圆周角所对的弧相等推出几组弧相等，再结合BE=BC得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，最终证得五条弧全部相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$AB=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB$。
∵弦$BD$、$CE$分别平分$∠ABC$、$∠ACB$，
∴$∠ABD=∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ECB=∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB$，
∴$∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE$。
∵同圆中相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$。
又
∵$BE=BC$，同圆中相等的弦所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，即A、E、B、C、D把$\odot O$五等分，
∴五边形$AEBCD$是正五边形。
【答案】
证明:因为$AB=AC$,
所以$∠ ABC=∠ ACB$.
因为弦$BD$,$CE$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,
所以$∠ ABD=∠ DBC=∠ ECB=∠ ACE$.
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$.
因为$BE=BC$,所以$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BE}$,
所以五边形$AEBCD$是正五边形.
【知识点】
等腰三角形性质，弧弦圆周角关系，正多边形判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是将正五边形的证明转化为证明圆周被五等分的问题，需要熟练掌握等腰三角形、角平分线以及圆中弧、弦、圆周角的对应关系，对知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要证明圆内接五边形AEBCD是正五边形，根据圆内接正多边形的判定规则，只需证明该五边形的五个顶点将圆五等分，也就是五边形各边对应的弧全部相等。首先利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABC=∠ACB，再结合角平分线的定义得到多个相等的圆周角，由同圆中相等的圆周角所对的弧相等推出几组弧相等，再结合BE=BC得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，最终证得五条弧全部相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$AB=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB$。
∵弦$BD$、$CE$分别平分$∠ABC$、$∠ACB$，
∴$∠ABD=∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ECB=∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB$，
∴$∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE$。
∵同圆中相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$。
又
∵$BE=BC$，同圆中相等的弦所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，即A、E、B、C、D把$\odot O$五等分，
∴五边形$AEBCD$是正五边形。
【答案】
证明:因为$AB=AC$,
所以$∠ ABC=∠ ACB$.
因为弦$BD$,$CE$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,
所以$∠ ABD=∠ DBC=∠ ECB=∠ ACE$.
所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{AE}$.
因为$BE=BC$,所以$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$,
所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BE}$,
所以五边形$AEBCD$是正五边形.
【知识点】
等腰三角形性质，弧弦圆周角关系，正多边形判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是将正五边形的证明转化为证明圆周被五等分的问题，需要熟练掌握等腰三角形、角平分线以及圆中弧、弦、圆周角的对应关系，对知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
【例2】如图,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,$\odot O$的半径为10,则图中阴影部分的面积为
【规律方法】
化正多边形为直角三角形解决问题
正$n$边形的半径和边心距把正$n$边形分成$2n$个全等的直角三角形,我们可以把正$n$边形的计算问题归结为直角三角形的计算问题.
(1)正多边形的半径$R$、边心距$r$、边长$a$的关系:$(\dfrac{a}{2})^2 + r^2 = R^2$.
(2)正$n$边形周长$l$与边长$a$,面积$S$与边长$a$、边心距$r$的关系:$l = na$;$S = \dfrac{1}{2}arn$.
54.4
.(精确到0.1)【规律方法】
化正多边形为直角三角形解决问题
正$n$边形的半径和边心距把正$n$边形分成$2n$个全等的直角三角形,我们可以把正$n$边形的计算问题归结为直角三角形的计算问题.
(1)正多边形的半径$R$、边心距$r$、边长$a$的关系:$(\dfrac{a}{2})^2 + r^2 = R^2$.
(2)正$n$边形周长$l$与边长$a$,面积$S$与边长$a$、边心距$r$的关系:$l = na$;$S = \dfrac{1}{2}arn$.
答案
54.4
解析
【分析】
观察图形可知，阴影部分是圆减去内部正六边形后剩余的部分，因此阴影面积可通过“⊙O的面积 - 正六边形ABCDEF的面积”计算。首先根据圆的半径计算圆的面积；再利用正六边形内接于圆时边长等于外接圆半径的性质，将正六边形分割为6个全等的等边三角形，计算出正六边形的面积；最后将两者作差，结果保留1位小数即可。
【解析】
1. 计算⊙O的面积：
已知⊙O的半径$r=10$，根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，得
$S_{圆}=π × 10^2=100π \approx 314.16$
2. 计算正六边形ABCDEF的面积：
正六边形内接于⊙O，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即边长$a=10$。
正六边形可分割为6个边长为10的全等等边三角形，单个等边三角形的面积为$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此正六边形的面积为：
$S_{正六边形}=6× \frac{\sqrt{3}}{4}× 10^2=150\sqrt{3}\approx 259.81$
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{圆}-S_{正六边形}\approx 314.16 - 259.81 \approx 54.4$
【答案】
54.4
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆的面积计算，正多边形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心方法是割补法，将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积差，解题关键是掌握正六边形与外接圆的边长关系，计算时注意按要求保留精度。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，阴影部分是圆减去内部正六边形后剩余的部分，因此阴影面积可通过“⊙O的面积 - 正六边形ABCDEF的面积”计算。首先根据圆的半径计算圆的面积；再利用正六边形内接于圆时边长等于外接圆半径的性质，将正六边形分割为6个全等的等边三角形，计算出正六边形的面积；最后将两者作差，结果保留1位小数即可。
【解析】
1. 计算⊙O的面积：
已知⊙O的半径$r=10$，根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，得
$S_{圆}=π × 10^2=100π \approx 314.16$
2. 计算正六边形ABCDEF的面积：
正六边形内接于⊙O，因此正六边形的边长等于外接圆半径，即边长$a=10$。
正六边形可分割为6个边长为10的全等等边三角形，单个等边三角形的面积为$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此正六边形的面积为：
$S_{正六边形}=6× \frac{\sqrt{3}}{4}× 10^2=150\sqrt{3}\approx 259.81$
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{圆}-S_{正六边形}\approx 314.16 - 259.81 \approx 54.4$
【答案】
54.4
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆的面积计算，正多边形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心方法是割补法，将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积差，解题关键是掌握正六边形与外接圆的边长关系，计算时注意按要求保留精度。
【难度系数】
0.7
2.如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，点P在$\overset{\frown}{AB}$上，则$∠ BPC$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先从正方形内接于圆的性质入手，正方形的四条边相等，因此它的四个顶点将圆周四等分，可先求出劣弧$\overset{\frown}{BC}$的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出$∠ BPC$的度数。
【解析】
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 正方形的四条边相等，对应的四条劣弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DA}$度数相等，
∵ 圆周的总度数为$360°$，
∴ 劣弧$\overset{\frown}{BC}$的度数为$360°÷4=90°$，
又
∵ $∠ BPC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，
∴ $∠ BPC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，正方形性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确正多边形内接于圆时各边对应的劣弧度数相等，结合圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从正方形内接于圆的性质入手，正方形的四条边相等，因此它的四个顶点将圆周四等分，可先求出劣弧$\overset{\frown}{BC}$的度数；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出$∠ BPC$的度数。
【解析】
∵ 正方形ABCD内接于$\odot O$，
∴ 正方形的四条边相等，对应的四条劣弧$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{DA}$度数相等，
∵ 圆周的总度数为$360°$，
∴ 劣弧$\overset{\frown}{BC}$的度数为$360°÷4=90°$，
又
∵ $∠ BPC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，
∴ $∠ BPC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，正方形性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确正多边形内接于圆时各边对应的劣弧度数相等，结合圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，若$\odot O$的周长是$6π$，则正六边形的边长是（
A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$6$
D.$2\sqrt{3}$
B
）A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$6$
D.$2\sqrt{3}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件是外接圆的周长，要求正六边形的边长，首先回忆正六边形和外接圆的性质关系：正六边形的边长等于其外接圆的半径，因此解题核心是先求出外接圆的半径。第一步先根据圆的周长公式计算圆的半径，第二步结合正六边形的性质直接得到边长等于半径，即可得出结果。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，
已知$\odot O$的周长是$6π$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=6π$，
解得$r=3$。
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的每条边与对应两条半径构成等边三角形，所以正六边形的边长等于外接圆的半径，即正六边形的边长为$3$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆的周长计算；正六边形的性质；正多边形与圆的关系
【点评】
本题是正多边形与圆板块的典型基础题，解题关键是牢记正六边形边长与其外接圆半径相等的性质，结合圆周长公式即可快速求解，得分难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件是外接圆的周长，要求正六边形的边长，首先回忆正六边形和外接圆的性质关系：正六边形的边长等于其外接圆的半径，因此解题核心是先求出外接圆的半径。第一步先根据圆的周长公式计算圆的半径，第二步结合正六边形的性质直接得到边长等于半径，即可得出结果。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，
已知$\odot O$的周长是$6π$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=6π$，
解得$r=3$。
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的每条边与对应两条半径构成等边三角形，所以正六边形的边长等于外接圆的半径，即正六边形的边长为$3$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
圆的周长计算；正六边形的性质；正多边形与圆的关系
【点评】
本题是正多边形与圆板块的典型基础题，解题关键是牢记正六边形边长与其外接圆半径相等的性质，结合圆周长公式即可快速求解，得分难度较低。
【难度系数】
0.8
