学习任务一 正多边形和圆
1.正多边形的概念
各边、各角也的多边形是正多边形.
2.正多边形与圆的关系
把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多边形的；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多边形的.

1.相等 相等
2.内接 外接圆 外切 内切圆

【分析】
本题属于基础识记类题目，考查正多边形的定义以及正多边形和圆的对应关系。解题时只需回忆课本中相关的基础概念，将概念内容和空缺位置一一对应即可完成作答。
【解析】
1. 根据正多边形的定义：正多边形需要同时满足两个特征，一是各边长度相等，二是各个内角相等，因此前两个空依次填相等、相等。
2. 根据正多边形和圆的位置关系定义：把圆分成等长的弧后，顺次连接各分点得到的多边形是这个圆的内接正多边形，对应的圆叫做该正多边形的外接圆；如果过各分点作圆的切线，相邻切线的交点为顶点组成的多边形是这个圆的外切正多边形，对应的圆叫做该正多边形的内切圆，因此后四个空依次填内接、外接圆、外切、内切圆。
【答案】
1.相等 相等
2.内接 外接圆 外切 内切圆
【知识点】
正多边形的定义；正多边形与圆的位置关系
【点评】
本题考查的是正多边形相关的基础概念，是后续学习正多边形周长、面积、边长、角度计算等内容的基础，需要准确记忆相关定义，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

学习任务二 正多边形的有关概念和计算
1.正多边形的有关概念
| 名称 | 定义 | 图示 |
| --- | --- | --- |
| 正多边形的中心 | 正多边形的外接圆的 | |
| 正多边形的半径 | 外接圆的半径 | |
| 正多边形的中心角 | 正多边形所对的角 | |
| 正多边形的边心距 | 中心到正多边形的一边的距离 | |
2.正多边形的有关计算
(1)内角:正n边形每一个内角都相等,每一个内角为.
(2)中心角:正n边形有个中心角,所有中心角的和是,因此,每一个中心角是.
(3)外角:正n边形的外角和是,因此,每一个外角是.正多边形的中心角与外角.

1.圆心 每一边 圆心
2.(1)$\dfrac{(n-2)· 180°}{n}$
(2)$n$ $360°$ $\dfrac{360°}{n}$
(3)$360°$ $\dfrac{360°}{n}$ 相等

【分析】
这道题考查正多边形与圆的相关基础概念及计算，解题时结合教材基础定义、多边形内角和与外角和定理逐一推导即可：①首先回忆正多边形中心的定义，它就是正多边形外接圆的圆心；②中心角是正多边形每条边所对的外接圆的圆心角；③内角计算用多边形总内角和除以边数即可；④正n边形有n条边，对应n个中心角，所有中心角的和为周角360°，除以边数就能得到单个中心角的度数；⑤任意多边形的外角和固定为360°，除以边数得到单个外角度数，对比即可发现中心角和外角大小相等。
【解析】
1. 正多边形的相关概念：
正多边形的中心是其外接圆的圆心；正多边形的中心角是正多边形每一边所对的圆心角。
2. 正多边形的有关计算：
(1) 多边形内角和公式为$(n-2)·180°$，正n边形所有内角大小相等，因此每一个内角为总内角和除以边数，即$\dfrac{(n-2)·180°}{n}$。
(2) 正n边形有n条边，对应n个中心角，所有中心角拼合为一个周角，总和是$360°$，因此每一个中心角为$\dfrac{360°}{n}$。
(3) 任意多边形的外角和都为$360°$，因此正n边形每一个外角为$\dfrac{360°}{n}$，对比中心角的公式可知，正多边形的中心角与外角相等。
【答案】
1.圆心 每一边 圆心
2.(1)$\dfrac{(n-2)· 180°}{n}$
(2)$n$ $360°$ $\dfrac{360°}{n}$
(3)$360°$ $\dfrac{360°}{n}$ 相等
【知识点】
正多边形概念，多边形内角和，多边形外角和
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查正多边形与圆相关的定义、基础公式的掌握情况，牢记教材中的基础概念和定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9

学习任务三 正n边形的作法
以正六边形为例,画一个边长为R的正六边形.
(1)量角器作法:边长为R的正六边形的半径是,中心角是,因此以为半径作一个圆,用量角器画一个的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧的弧,就得到圆的6个等分点,再顺次连接各分点,即可得到正六边形.利用这种方法,可以画出任意的正n边形.
(2)尺规作法:边长为R的正六边形的半径是,因此,在半径为的圆上,从某一点开始,依次以为半径画弧,就可以将圆六等分,顺次连接各分点,即可得到正六边形.

(1)$R$ $60°$ $R$ $60°$ 相等
(2)$R$ $R$ $R$

【分析】
解题时先回忆正多边形与圆的相关性质：①正多边形的半径等于其外接圆的半径；②正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$；③正六边形的边长与外接圆半径相等。
针对量角器作法：要画正六边形，需先作它的外接圆，再通过等分圆心角的方式等分圆周，结合上述性质就能确定外接圆半径、中心角的大小，后续截等长的弧即可得到六等分点。
针对尺规作法：利用正六边形边长等于外接圆半径的特殊性质，无需量角器，直接用半径长作为弦长在圆上截弧，就能快速六等分圆周。
【解析】
(1) 正多边形的半径是它的外接圆半径，正六边形的边长等于外接圆半径，因此边长为R的正六边形的半径是R；正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。作正六边形时，先以R为半径作圆，再用量角器画出60°的圆心角，对应得到一段弧，之后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就能得到圆的6个等分点，顺次连接即得正六边形。
(2) 由正六边形边长等于外接圆半径的性质可知，边长为R的正六边形半径是R，因此先作半径为R的圆，从圆上某点开始，依次以R为半径画弧，就可以将圆六等分，顺次连接各分点即得正六边形。
【答案】
(1)$R$；$60°$；$R$；$60°$；相等
(2)$R$；$R$；$R$
【知识点】
正多边形与圆的关系；正六边形的性质；正多边形的画法
【点评】
本题考查正六边形的两种基本画法，解题关键是牢记正六边形边长等于外接圆半径、中心角为60°的特殊性质，是正多边形作图相关的基础题型，熟练掌握后可推广到其他正多边形的作图中。
【难度系数】
0.8