【例3】如图，用量角器和圆规等分圆周的方法，画$\odot O$的内接正十二边形。

【规律方法】
等分圆画正多边形的方法及优缺点
等分圆画正多边形的方法有用量角器等分圆周和用尺规等分圆周两种。用量角器等分圆周作法简单，易操作，但当边数较多时，容易有较大的误差；用尺规等分圆周的方法较准确，但不能将圆周任意等分，局限性较大，只限于一些特殊的正多边形，例如：正三角形、正方形、正六边形、正八边形等。

解:画法:(1)如图,作半径$OA$;
(2)以点$O$为顶点,$OA$为一边,作$∠ AOB=30°$,交$\odot O$于点$B$,连接$AB$;
(3)以点$B$为圆心,$AB$为半径画弧,交$\odot O$于点$C$;以点$C$为圆心,$AB$为半径画弧,交$\odot O$于点$D$;顺次画弧,得到分点$E$,$F$,$G$,$H$,$I$,$J$,$K$,$L$;
(4)顺次连接各分点,得到正十二边形$ABCDEFGHIJKL$.
十二边形$ABCDEFGHIJKL$就是所求的正十二边形.

【分析】
要绘制⊙O的内接正十二边形，首先根据正多边形的性质，正n边形的中心角为$360°÷ n$，因此正十二边形的每个中心角为$360°÷12=30°$。我们可以先用量角器画出第一个$30°$的圆心角，得到正十二边形的第一条边；再利用同圆中相等的弦对应相等的弧的性质，用圆规以第一条边的长度为半径，依次在圆周上截取等弧，得到12个等分点，最后顺次连接所有等分点即可得到所求的正十二边形。
【解析】
具体作图步骤如下：
1. 任意作⊙O的一条半径$OA$；
2. 以点$O$为顶点，$OA$为一边，用量角器作$∠ AOB=30°$，角的另一边与⊙O交于点$B$，连接$AB$，得到正十二边形的第一条边；
3. 以点$B$为圆心，$AB$的长度为半径画弧，交⊙O于点$C$；再以点$C$为圆心，$AB$的长度为半径画弧，交⊙O于点$D$，重复该操作，依次得到分点$E、F、G、H、I、J、K、L$，完成圆周的十二等分；
4. 顺次连接$A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L$这12个分点，所得多边形就是⊙O的内接正十二边形。
【答案】
解:画法:(1)如图,作半径$OA$;
(2)以点$O$为顶点,$OA$为一边,作$∠ AOB=30°$,交$\odot O$于点$B$,连接$AB$;
(3)以点$B$为圆心,$AB$为半径画弧,交$\odot O$于点$C$;以点$C$为圆心,$AB$为半径画弧,交$\odot O$于点$D$;顺次画弧,得到分点$E$,$F$,$G$,$H$,$I$,$J$,$K$,$L$;
(4)顺次连接各分点,得到正十二边形$ABCDEFGHIJKL$.
十二边形$ABCDEFGHIJKL$就是所求的正十二边形.

【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 圆心角计算
3. 尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，考查利用等分圆周绘制正多边形的方法，解题的关键是掌握正多边形中心角的计算方法，理解同圆中弦与弧的对应关系，掌握作图的基本操作步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

4.已知$\odot O$和$\odot O$上一点A，如图，作$\odot O$的内接正八边形.(保留作图痕迹，不写作法)

4.解:如图所示,正八边形$ALMCNKHI$即为所求.

【分析】
要作圆的内接正八边形，核心是将圆周八等分，正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，因此可以先作互相垂直的两条直径将圆四等分，得到4个$90°$的圆心角，再分别平分每个$90°$的圆心角，即可得到8个$45°$的圆心角，对应圆周上的8个等分点，顺次连接各等分点即可得到所求正八边形。
【解析】
1. 过点A、圆心O作直径AN；
2. 过点O作AN的垂线，交$\odot O$于H、M两点，此时$\odot O$被分为四等份，每份对应圆心角为$90°$；
3. 分别作$∠ AOH$、$∠ HON$、$∠ NOM$、$∠ MOA$的角平分线，依次交$\odot O$于I、K、C、L四点，得到圆周上的8个等分点；
4. 顺次连接A、L、M、C、N、K、H、I八个点，即得到$\odot O$的内接正八边形。
【答案】
如图所示，正八边形$ALMCNKHI$即为所求。

【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、角平分线的作法
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查正多边形和圆的关系的应用，解题关键是理解正n边形的作图本质是将圆周n等分，通过分步等分圆心角的方式降低作图难度，同时也考查学生的动手操作能力。
【难度系数】
0.7

【例4】蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，如图所示，若边心距OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ mm，求这个正六边形的边长.

解：

解:这个正六边形的边长是$3\ \mathrm{mm}$.

【分析】
要计算正六边形的边长，首先回忆正六边形的性质：正六边形的外接圆半径等于它的边长，相邻两条半径和对应边构成等边三角形，中心角为60°。边心距OM是中心O到边BC的垂线，也就是该等边三角形的高，利用等边三角形边长和高的数量关系，代入已知的边心距数值，就能求出边长。
【解析】
连接OB、OC，
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ 中心角$∠ BOC=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ OB、OC都是外接圆半径，即$OB=OC$，
∴ $△ OBC$是等边三角形，正六边形的边长等于外接圆半径，设边长为$a$ mm。
∵ $OM⊥ BC$，OM是等边$△ OBC$的高，
∴ 等边三角形的高$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
将$OM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ mm代入得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
解得$a=3$。
【答案】
$3\ \mathrm{mm}$
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形性质，解直角三角形
【点评】
本题是正多边形与圆板块的基础典型题，解题核心是掌握正六边形的特殊性质：边长等于外接圆半径，相邻半径与对应边构成等边三角形，结合边心距的定义即可快速求解，这类题型是正多边形计算的常考内容，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.7