登录
1. 方程$2x + y = 9$在正整数范围内的解有(
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
D
).A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
1. D
解析
【分析】
要求二元一次方程在正整数范围内的解，首先明确正整数是大于0的整数。我们可以先将方程变形，用含x的代数式表示y，再根据y是正整数得到关于x的不等式，求出x的取值范围，最后在范围内列举x的正整数值，验证对应的y是否为正整数，统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：将方程$2x + y = 9$变形，得$y = 9 - 2x$。
∵x、y都是正整数，
∴$\begin{cases}x≥1 \\ 9-2x≥1 \end{cases}$
解不等式组得$1≤ x≤4$，且x为正整数。
逐一代入x的取值计算y：
当x=1时，$y=9-2×1=7$，符合要求；
当x=2时，$y=9-2×2=5$，符合要求；
当x=3时，$y=9-2×3=3$，符合要求；
当x=4时，$y=9-2×4=1$，符合要求。
综上，符合条件的解共有4组。
【答案】
D
【知识点】
1.二元一次方程的解 2.正整数的定义
【点评】
本题是二元一次方程限定范围求解的基础题型，核心方法是用一个未知数表示另一个未知数，结合取值范围缩小枚举范围，再逐一验证即可得到正确结果，解题时注意不要漏算符合条件的取值。
【难度系数】
0.8
要求二元一次方程在正整数范围内的解，首先明确正整数是大于0的整数。我们可以先将方程变形，用含x的代数式表示y，再根据y是正整数得到关于x的不等式，求出x的取值范围，最后在范围内列举x的正整数值，验证对应的y是否为正整数，统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：将方程$2x + y = 9$变形，得$y = 9 - 2x$。
∵x、y都是正整数，
∴$\begin{cases}x≥1 \\ 9-2x≥1 \end{cases}$
解不等式组得$1≤ x≤4$，且x为正整数。
逐一代入x的取值计算y：
当x=1时，$y=9-2×1=7$，符合要求；
当x=2时，$y=9-2×2=5$，符合要求；
当x=3时，$y=9-2×3=3$，符合要求；
当x=4时，$y=9-2×4=1$，符合要求。
综上，符合条件的解共有4组。
【答案】
D
【知识点】
1.二元一次方程的解 2.正整数的定义
【点评】
本题是二元一次方程限定范围求解的基础题型，核心方法是用一个未知数表示另一个未知数，结合取值范围缩小枚举范围，再逐一验证即可得到正确结果，解题时注意不要漏算符合条件的取值。
【难度系数】
0.8
2. 若$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$1 - ay = 3x$的一组解，则$a$的值为（ ）。
A.$-5$
B.$-1$
C.$2$
D.$7$
A.$-5$
B.$-1$
C.$2$
D.$7$
答案
A
解析
【分析】
解题核心是利用二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程的解，因此将这组值代入原方程，即可把原二元一次方程转化为只含未知数$a$的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出$a$的取值。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入方程$1 - ay = 3x$，可得：
$1 - a×1 = 3×2$
化简得：$1 - a = 6$
移项得：$-a = 6 - 1$
计算得：$-a = 5$
两边同时乘以$-1$，得：$a = -5$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确方程的解一定满足对应方程，代入后转化为熟悉的一元一次方程求解即可，计算量小，主要考查对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9
解题核心是利用二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程的解，因此将这组值代入原方程，即可把原二元一次方程转化为只含未知数$a$的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出$a$的取值。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入方程$1 - ay = 3x$，可得：
$1 - a×1 = 3×2$
化简得：$1 - a = 6$
移项得：$-a = 6 - 1$
计算得：$-a = 5$
两边同时乘以$-1$，得：$a = -5$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确方程的解一定满足对应方程，代入后转化为熟悉的一元一次方程求解即可，计算量小，主要考查对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9
3. 用代入法解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 2, &① \\2x - y = 5. &②\end{cases}$使得代入后比较容易的变形是( ).
A.由①,得$x=\dfrac{2-4y}{3}$
B.由①,得$y=\dfrac{2-3x}{4}$
C.由②,得$x=\dfrac{y+5}{2}$
D.由②,得$y=2x-5$
A.由①,得$x=\dfrac{2-4y}{3}$
B.由①,得$y=\dfrac{2-3x}{4}$
C.由②,得$x=\dfrac{y+5}{2}$
D.由②,得$y=2x-5$
答案
D
解析
【分析】
要选出代入后比较容易的变形，需先明确代入法解二元一次方程组的变形原则：为了减少计算量，应尽量选择未知数系数的绝对值为1的方程进行变形，这样变形后的表达式不含分母，后续代入计算更简便。观察方程组的两个方程：方程①中x的系数为3、y的系数为4，变形求解任意一个未知数都会出现分数，计算繁琐；方程②中y的系数为-1，绝对值为1，因此优先对②变形求y，得到的表达式无分母，代入最方便，对应选项判断即可。
【解析】
代入法变形时优先选择未知数系数绝对值为1的方程变形，可避免出现分数，简化计算。
观察方程组：方程①的x、y系数分别为3、4，变形后会出现分数，排除A、B选项；
方程②中y的系数为-1，对其变形求y：
对②移项得：$-y=5-2x$，
两边同乘$-1$得：$y=2x-5$，该式无分母，代入计算最简便。
而C选项是对②变形求x，仍会出现分母2，计算不如D简便，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的变形技巧，掌握“优先变形系数为±1的未知数”的原则，可有效降低计算难度，提升解题效率，属于基础类考点。
【难度系数】
0.9
要选出代入后比较容易的变形，需先明确代入法解二元一次方程组的变形原则：为了减少计算量，应尽量选择未知数系数的绝对值为1的方程进行变形，这样变形后的表达式不含分母，后续代入计算更简便。观察方程组的两个方程：方程①中x的系数为3、y的系数为4，变形求解任意一个未知数都会出现分数，计算繁琐；方程②中y的系数为-1，绝对值为1，因此优先对②变形求y，得到的表达式无分母，代入最方便，对应选项判断即可。
【解析】
代入法变形时优先选择未知数系数绝对值为1的方程变形，可避免出现分数，简化计算。
观察方程组：方程①的x、y系数分别为3、4，变形后会出现分数，排除A、B选项；
方程②中y的系数为-1，对其变形求y：
对②移项得：$-y=5-2x$，
两边同乘$-1$得：$y=2x-5$，该式无分母，代入计算最简便。
而C选项是对②变形求x，仍会出现分母2，计算不如D简便，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的变形技巧，掌握“优先变形系数为±1的未知数”的原则，可有效降低计算难度，提升解题效率，属于基础类考点。
【难度系数】
0.9
二、填空题
4. 已知$3x + 2y = 5$，当$x = 1$时，$y =$
4. 已知$3x + 2y = 5$，当$x = 1$时，$y =$
1
，当$y = -1$时，$x =$$\dfrac{7}{3}$
。答案
4. 1 $\dfrac{7}{3}$
解析
【分析】
这道题的核心解题思路是代入求值：题目给出了二元一次方程$3x+2y=5$，当已知其中一个未知数的取值时，我们可以把这个取值代入原方程，将原本含两个未知数的方程转化为只含另一个未知数的一元一次方程，再按照一元一次方程的常规解法（移项、合并同类项、系数化为1）就能算出未知量的数值。
【解析】
1. 当$x=1$时，求$y$的值：
把$x=1$代入$3x+2y=5$，可得：
$3×1 + 2y = 5$
整理得：$3 + 2y = 5$
移项得：$2y = 5 - 3 = 2$
两边同时除以2，得：$y = 1$
2. 当$y=-1$时，求$x$的值：
把$y=-1$代入$3x+2y=5$，可得：
$3x + 2×(-1) = 5$
整理得：$3x - 2 = 5$
移项得：$3x = 5 + 2 = 7$
两边同时除以3，得：$x = \dfrac{7}{3}$
【答案】
$1$；$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
二元一次方程代入求值；一元一次方程的解法
【点评】
本题是二元一次方程的基础应用题型，考查代入法求解未知量的能力，计算量小，掌握代入规则和一元一次方程求解步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
这道题的核心解题思路是代入求值：题目给出了二元一次方程$3x+2y=5$，当已知其中一个未知数的取值时，我们可以把这个取值代入原方程，将原本含两个未知数的方程转化为只含另一个未知数的一元一次方程，再按照一元一次方程的常规解法（移项、合并同类项、系数化为1）就能算出未知量的数值。
【解析】
1. 当$x=1$时，求$y$的值：
把$x=1$代入$3x+2y=5$，可得：
$3×1 + 2y = 5$
整理得：$3 + 2y = 5$
移项得：$2y = 5 - 3 = 2$
两边同时除以2，得：$y = 1$
2. 当$y=-1$时，求$x$的值：
把$y=-1$代入$3x+2y=5$，可得：
$3x + 2×(-1) = 5$
整理得：$3x - 2 = 5$
移项得：$3x = 5 + 2 = 7$
两边同时除以3，得：$x = \dfrac{7}{3}$
【答案】
$1$；$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
二元一次方程代入求值；一元一次方程的解法
【点评】
本题是二元一次方程的基础应用题型，考查代入法求解未知量的能力，计算量小，掌握代入规则和一元一次方程求解步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
5. 已知方程$5x + 3y = 1$，改写成用含$x$的式子表示$y$的形式为
$y=\dfrac{1-5x}{3}$
，改写成用含$y$的式子表示$x$的形式为$x=\dfrac{1-3y}{5}$
。答案
5. $y=\dfrac{1-5x}{3}$ $x=\dfrac{1-3y}{5}$
解析
【分析】
本题考查二元一次方程的变形，解题思路是：将需要表示的未知数看作方程的唯一未知量，另一个未知数看作常数，按照解一元一次方程的步骤（移项、系数化为1）即可求出对应表达式。①用含x的式子表示y时，把x当作常数，解关于y的一元一次方程；②用含y的式子表示x时，把y当作常数，解关于x的一元一次方程。
【解析】
1. 改写为用含x的式子表示y：
原方程为$5x + 3y = 1$，
移项（将含x的项移到等号右侧，移项要变号），得$3y = 1 - 5x$，
等式两边同时除以y的系数3，得$y = \dfrac{1 - 5x}{3}$。
2. 改写为用含y的式子表示x：
原方程为$5x + 3y = 1$，
移项（将含y的项移到等号右侧，移项要变号），得$5x = 1 - 3y$，
等式两边同时除以x的系数5，得$x = \dfrac{1 - 3y}{5}$。
【答案】
$y=\dfrac{1-5x}{3}$；$x=\dfrac{1-3y}{5}$
【知识点】
二元一次方程变形；解一元一次方程
【点评】
本题属于二元一次方程的基础题型，主要考察方程变形规则的掌握，解题时注意移项要变号，系数化为1时不要将分子分母写反，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二元一次方程的变形，解题思路是：将需要表示的未知数看作方程的唯一未知量，另一个未知数看作常数，按照解一元一次方程的步骤（移项、系数化为1）即可求出对应表达式。①用含x的式子表示y时，把x当作常数，解关于y的一元一次方程；②用含y的式子表示x时，把y当作常数，解关于x的一元一次方程。
【解析】
1. 改写为用含x的式子表示y：
原方程为$5x + 3y = 1$，
移项（将含x的项移到等号右侧，移项要变号），得$3y = 1 - 5x$，
等式两边同时除以y的系数3，得$y = \dfrac{1 - 5x}{3}$。
2. 改写为用含y的式子表示x：
原方程为$5x + 3y = 1$，
移项（将含y的项移到等号右侧，移项要变号），得$5x = 1 - 3y$，
等式两边同时除以x的系数5，得$x = \dfrac{1 - 3y}{5}$。
【答案】
$y=\dfrac{1-5x}{3}$；$x=\dfrac{1-3y}{5}$
【知识点】
二元一次方程变形；解一元一次方程
【点评】
本题属于二元一次方程的基础题型，主要考察方程变形规则的掌握，解题时注意移项要变号，系数化为1时不要将分子分母写反，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
三、解答题
6. 把下列方程写成用含$x$的代数式表示$y$的形式：
(1) $2x + y = 7$；
(2) $2x - 3y = -1$；
(3) $2(1 - x) = 3y - 2$；
(4) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 1$。
6. 把下列方程写成用含$x$的代数式表示$y$的形式：
(1) $2x + y = 7$；
(2) $2x - 3y = -1$；
(3) $2(1 - x) = 3y - 2$；
(4) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 1$。
答案
6. (1) $y=-2x+7$
(2) $y=\dfrac{2x+1}{3}$
(3) $y=\dfrac{-2x+4}{3}$
(4) $y=-\dfrac{2}{3}x+2$
(2) $y=\dfrac{2x+1}{3}$
(3) $y=\dfrac{-2x+4}{3}$
(4) $y=-\dfrac{2}{3}x+2$
解析
【分析】
本题要求将给定的二元一次方程变形为用含x的代数式表示y的形式，解题思路是利用等式的基本性质，把含有y的项单独放在等号左侧，其余含x的项和常数项全部移到等号右侧，最后将y的系数化为1即可。移项时注意符号变化，有分母的可以先去分母简化计算。
【解析】
(1) 对$2x + y = 7$，根据等式的性质1，两边同时减去$2x$，得：
$y = 7 - 2x$，即$y=-2x+7$。
(2) 对$2x - 3y = -1$，先移项，将含$y$的项留在左侧，其余项移到右侧：
$-3y = -1 - 2x$，
根据等式的性质2，两边同时除以$-3$，得：
$y = \frac{-1 - 2x}{-3} = \frac{2x + 1}{3}$。
(3) 对$2(1 - x) = 3y - 2$，先展开左侧得：
$2 - 2x = 3y - 2$，
移项整理右侧常数项和含$x$的项：
$3y = 2 - 2x + 2 = -2x + 4$，
两边同时除以$3$，得：
$y = \frac{-2x + 4}{3}$。
(4) 对$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 1$，先两边同时乘以6去分母，得：
$2x + 3y = 6$，
移项得：
$3y = 6 - 2x$，
两边同时除以$3$，得：
$y = \frac{6 - 2x}{3} = -\frac{2}{3}x + 2$。
【答案】
(1) $y=-2x+7$
(2) $y=\dfrac{2x+1}{3}$
(3) $y=\dfrac{-2x+4}{3}$
(4) $y=-\dfrac{2}{3}x+2$
【知识点】
等式的基本性质；二元一次方程变形；移项法则
【点评】
本题是二元一次方程变形的基础题型，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法，是后续学习代入消元法解二元一次方程组的重要基础，解题时需注意移项要变号，系数化为1时不要弄错符号。
【难度系数】
0.9
本题要求将给定的二元一次方程变形为用含x的代数式表示y的形式，解题思路是利用等式的基本性质，把含有y的项单独放在等号左侧，其余含x的项和常数项全部移到等号右侧，最后将y的系数化为1即可。移项时注意符号变化，有分母的可以先去分母简化计算。
【解析】
(1) 对$2x + y = 7$，根据等式的性质1，两边同时减去$2x$，得：
$y = 7 - 2x$，即$y=-2x+7$。
(2) 对$2x - 3y = -1$，先移项，将含$y$的项留在左侧，其余项移到右侧：
$-3y = -1 - 2x$，
根据等式的性质2，两边同时除以$-3$，得：
$y = \frac{-1 - 2x}{-3} = \frac{2x + 1}{3}$。
(3) 对$2(1 - x) = 3y - 2$，先展开左侧得：
$2 - 2x = 3y - 2$，
移项整理右侧常数项和含$x$的项：
$3y = 2 - 2x + 2 = -2x + 4$，
两边同时除以$3$，得：
$y = \frac{-2x + 4}{3}$。
(4) 对$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = 1$，先两边同时乘以6去分母，得：
$2x + 3y = 6$，
移项得：
$3y = 6 - 2x$，
两边同时除以$3$，得：
$y = \frac{6 - 2x}{3} = -\frac{2}{3}x + 2$。
【答案】
(1) $y=-2x+7$
(2) $y=\dfrac{2x+1}{3}$
(3) $y=\dfrac{-2x+4}{3}$
(4) $y=-\dfrac{2}{3}x+2$
【知识点】
等式的基本性质；二元一次方程变形；移项法则
【点评】
本题是二元一次方程变形的基础题型，熟练掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法，是后续学习代入消元法解二元一次方程组的重要基础，解题时需注意移项要变号，系数化为1时不要弄错符号。
【难度系数】
0.9
