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三、解答题
7. 已知关于$x$，$y$的方程$(m^2 - 4)x^2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 5.$
（1）当$m$为何值时，它是一元一次方程？
（2）当$m$为何值时，它是二元一次方程？
7. 已知关于$x$，$y$的方程$(m^2 - 4)x^2 + (m + 2)x + (m + 1)y = m + 5.$
（1）当$m$为何值时，它是一元一次方程？
（2）当$m$为何值时，它是二元一次方程？
答案
7. (1) m = -2 (2) m = 2
解析
【分析】
要解决本题，需先明确一元一次方程、二元一次方程的核心定义：二者都是整式方程，其中一元一次方程仅含1个未知数，且未知数最高次数为1，对应系数不为0；二元一次方程含2个不同未知数，且两个未知数的最高次数均为1，对应系数都不为0。观察原方程存在$x^2$项，因此首先要令二次项系数为0，得到$m$的初步取值，再结合两类方程的要求分别判断剩余未知数的系数是否符合条件即可。
【解析】
要使方程为一次方程，首先需消除二次项，即二次项系数为0：
令$m^2 - 4 = 0$，解得$m=2$或$m=-2$。
（1）若方程是一元一次方程，则仅能存在1个未知数：
当$m=-2$时，代入$x$的系数得$m+2=-2+2=0$，$y$的系数得$m+1=-2+1=-1≠0$，此时原方程化简为$-y=3$，仅含$y$一个未知数，符合一元一次方程要求；
当$m=2$时，$x$、$y$的系数均不为0，含2个未知数，不符合要求。
因此$m=-2$时，方程是一元一次方程。
（2）若方程是二元一次方程，则需同时存在$x$、$y$两个未知数，即二者系数均不为0：
当$m=2$时，代入$x$的系数得$m+2=2+2=4≠0$，$y$的系数得$m+1=2+1=3≠0$，此时原方程化简为$4x+3y=7$，含$x$、$y$两个未知数，最高次数均为1，符合二元一次方程要求；
当$m=-2$时，$x$的系数为0，仅含$y$一个未知数，不符合要求。
因此$m=2$时，方程是二元一次方程。
【答案】
(1) $m=-2$；(2) $m=2$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 二元一次方程的定义
3. 含参方程分类讨论
【点评】
本题重点考查一次方程的定义应用，解题的关键是先通过二次项系数为0缩小参数的取值范围，再根据未知数的个数要求对参数进行分类验证，解题时需注意不要遗漏系数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先明确一元一次方程、二元一次方程的核心定义：二者都是整式方程，其中一元一次方程仅含1个未知数，且未知数最高次数为1，对应系数不为0；二元一次方程含2个不同未知数，且两个未知数的最高次数均为1，对应系数都不为0。观察原方程存在$x^2$项，因此首先要令二次项系数为0，得到$m$的初步取值，再结合两类方程的要求分别判断剩余未知数的系数是否符合条件即可。
【解析】
要使方程为一次方程，首先需消除二次项，即二次项系数为0：
令$m^2 - 4 = 0$，解得$m=2$或$m=-2$。
（1）若方程是一元一次方程，则仅能存在1个未知数：
当$m=-2$时，代入$x$的系数得$m+2=-2+2=0$，$y$的系数得$m+1=-2+1=-1≠0$，此时原方程化简为$-y=3$，仅含$y$一个未知数，符合一元一次方程要求；
当$m=2$时，$x$、$y$的系数均不为0，含2个未知数，不符合要求。
因此$m=-2$时，方程是一元一次方程。
（2）若方程是二元一次方程，则需同时存在$x$、$y$两个未知数，即二者系数均不为0：
当$m=2$时，代入$x$的系数得$m+2=2+2=4≠0$，$y$的系数得$m+1=2+1=3≠0$，此时原方程化简为$4x+3y=7$，含$x$、$y$两个未知数，最高次数均为1，符合二元一次方程要求；
当$m=-2$时，$x$的系数为0，仅含$y$一个未知数，不符合要求。
因此$m=2$时，方程是二元一次方程。
【答案】
(1) $m=-2$；(2) $m=2$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 二元一次方程的定义
3. 含参方程分类讨论
【点评】
本题重点考查一次方程的定义应用，解题的关键是先通过二次项系数为0缩小参数的取值范围，再根据未知数的个数要求对参数进行分类验证，解题时需注意不要遗漏系数为0的特殊情况。
【难度系数】
0.7
8. “方程”是刻画现实世界数量关系的有效模型. 请结合你的生活实际编写一道二元一次方程组的应用题,并使所列出的二元一次方程组为$\begin{cases} x=2y, \\ x+y=60. \end{cases}$
答案
答案不唯一
解析
【分析】
首先观察给出的二元一次方程组的两个等量关系：①未知量x的数值是y的2倍；②两个未知量的和为60。编写应用题时，只需要结合常见的生活场景（如购物数量、物品重量、人数统计等），设置两个相关的未知量，明确给出上述两个等量关系，最后提问两个未知量的数值即可，场景符合逻辑、数量关系对应正确就行。
【解析】
示例应用题：班级采购中性笔和钢笔共60支作为期末奖品，其中中性笔的数量是钢笔数量的2倍，求中性笔和钢笔各采购了多少支？
验证：设钢笔的数量为y支，中性笔的数量为x支，根据“中性笔数量是钢笔的2倍”可得$x=2y$，根据“两种笔共60支”可得$x+y=60$，恰好符合题目给出的二元一次方程组。
符合两个等量关系的场景均可，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题属于开放型习题，打破了常规“根据应用题列方程组”的考查形式，反向要求学生根据方程组构造应用场景，既考查了对二元一次方程组含义的理解，也能引导学生关注数学知识在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.8
首先观察给出的二元一次方程组的两个等量关系：①未知量x的数值是y的2倍；②两个未知量的和为60。编写应用题时，只需要结合常见的生活场景（如购物数量、物品重量、人数统计等），设置两个相关的未知量，明确给出上述两个等量关系，最后提问两个未知量的数值即可，场景符合逻辑、数量关系对应正确就行。
【解析】
示例应用题：班级采购中性笔和钢笔共60支作为期末奖品，其中中性笔的数量是钢笔数量的2倍，求中性笔和钢笔各采购了多少支？
验证：设钢笔的数量为y支，中性笔的数量为x支，根据“中性笔数量是钢笔的2倍”可得$x=2y$，根据“两种笔共60支”可得$x+y=60$，恰好符合题目给出的二元一次方程组。
符合两个等量关系的场景均可，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题属于开放型习题，打破了常规“根据应用题列方程组”的考查形式，反向要求学生根据方程组构造应用场景，既考查了对二元一次方程组含义的理解，也能引导学生关注数学知识在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.8
