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1. 下列各式的变形中，错误的是(
A.$2x + 8 = 0$变形为$2x = -8$
B.$\dfrac{x - 2}{3} = x + 1$变形为$x - 2 = 3x + 3$
C.$-2(x - 3) = -2$变形为$x - 3 = 1$
D.$-\dfrac{x + 2}{3} = 1$变形为$-x + 2 = 3$
D
).A.$2x + 8 = 0$变形为$2x = -8$
B.$\dfrac{x - 2}{3} = x + 1$变形为$x - 2 = 3x + 3$
C.$-2(x - 3) = -2$变形为$x - 3 = 1$
D.$-\dfrac{x + 2}{3} = 1$变形为$-x + 2 = 3$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路是：先明确等式的两条基本性质，再逐一对照性质判断每个选项的变形是否正确，最终选出错误的选项。等式性质1：等式两边加/减同一个数（或式子），等式仍然成立；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$2x + 8 = 0$，等式两边同时减8，可得$2x = -8$，变形正确，不符合题意；
B选项：对$\dfrac{x - 2}{3} = x + 1$，等式两边同时乘3，左边为$x-2$，右边为$3(x+1)=3x+3$，即$x - 2 = 3x + 3$，变形正确，不符合题意；
C选项：对$-2(x - 3) = -2$，等式两边同时除以$-2$，左边为$x-3$，右边为$(-2)÷(-2)=1$，即$x - 3 = 1$，变形正确，不符合题意；
D选项：对$-\dfrac{x + 2}{3} = 1$，等式两边同时乘3，左边为$-(x+2)=-x-2$，右边为3，正确变形应为$-x-2=3$，选项中变形为$-x + 2 = 3$，符号出错，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题属于基础题型，重点考察等式变形时的符号处理，尤其要注意当分子是带负号的多项式时，去分母后需要给分子整体添加括号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查等式基本性质的应用，解题思路是：先明确等式的两条基本性质，再逐一对照性质判断每个选项的变形是否正确，最终选出错误的选项。等式性质1：等式两边加/减同一个数（或式子），等式仍然成立；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：对$2x + 8 = 0$，等式两边同时减8，可得$2x = -8$，变形正确，不符合题意；
B选项：对$\dfrac{x - 2}{3} = x + 1$，等式两边同时乘3，左边为$x-2$，右边为$3(x+1)=3x+3$，即$x - 2 = 3x + 3$，变形正确，不符合题意；
C选项：对$-2(x - 3) = -2$，等式两边同时除以$-2$，左边为$x-3$，右边为$(-2)÷(-2)=1$，即$x - 3 = 1$，变形正确，不符合题意；
D选项：对$-\dfrac{x + 2}{3} = 1$，等式两边同时乘3，左边为$-(x+2)=-x-2$，右边为3，正确变形应为$-x-2=3$，选项中变形为$-x + 2 = 3$，符号出错，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题属于基础题型，重点考察等式变形时的符号处理，尤其要注意当分子是带负号的多项式时，去分母后需要给分子整体添加括号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法一定正确的是(
A.若$x=y$，则$x+c=y-c$
B.若$x=y$，则$xc=yc$
C.若$x=y$，则$\frac{x}{c}=\frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，则$2x=3y$
B
).A.若$x=y$，则$x+c=y-c$
B.若$x=y$，则$xc=yc$
C.若$x=y$，则$\frac{x}{c}=\frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，则$2x=3y$
答案
2. B
解析
【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题思路为：首先回忆等式的两条基本性质：①等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。之后逐个验证每个选项是否符合等式性质的要求，涉及除法运算时要特别注意除数不能为0的前提条件，最终选出一定正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x=y$，等式左边加$c$，右边减$c$，不符合“等式两边加减同一个数”的要求，当$c≠0$时$x+c≠ y-c$，因此该说法错误。
B选项：若$x=y$，根据等式性质2，等式两边同时乘任意实数$c$，可得$xc=yc$，无论$c$取何值都成立，因此该说法一定正确。
C选项：若$x=y$，等式两边同时除以$c$的前提是$c≠0$，题目未说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，因此该说法不一定正确。
D选项：若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，隐含$c≠0$（分母不为0），等式两边同时乘$6c$，可得$3x=2y$，而非$2x=3y$，因此该说法错误。
综上，只有B选项的说法一定正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是容易忽略等式两边除以同一个数时，该数不能为0的前提，以及等式两边同乘公倍数时系数计算错误，掌握等式性质的细节要求即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查等式基本性质的应用，解题思路为：首先回忆等式的两条基本性质：①等式两边同时加上或减去同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。之后逐个验证每个选项是否符合等式性质的要求，涉及除法运算时要特别注意除数不能为0的前提条件，最终选出一定正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$x=y$，等式左边加$c$，右边减$c$，不符合“等式两边加减同一个数”的要求，当$c≠0$时$x+c≠ y-c$，因此该说法错误。
B选项：若$x=y$，根据等式性质2，等式两边同时乘任意实数$c$，可得$xc=yc$，无论$c$取何值都成立，因此该说法一定正确。
C选项：若$x=y$，等式两边同时除以$c$的前提是$c≠0$，题目未说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，因此该说法不一定正确。
D选项：若$\frac{x}{2c}=\frac{y}{3c}$，隐含$c≠0$（分母不为0），等式两边同时乘$6c$，可得$3x=2y$，而非$2x=3y$，因此该说法错误。
综上，只有B选项的说法一定正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 分式有意义的条件
【点评】
本题是等式性质的基础考查题，易错点是容易忽略等式两边除以同一个数时，该数不能为0的前提，以及等式两边同乘公倍数时系数计算错误，掌握等式性质的细节要求即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3. 下面选项中是方程$8 - 2x = 4$的解的是(
A.4
B.3
C.2
D.1
C
).A.4
B.3
C.2
D.1
答案
3. C
解析
【分析】
要判断哪个选项是方程的解，有两种常用解题思路：一是直接利用等式的性质求解一元一次方程，得到x的值后匹配对应选项；二是代入验证法，将每个选项的x值代入方程左边，计算结果后和右边的4对比，左右两边相等的即为方程的解，两种方法均可快速得到结果。
【解析】
解法一：利用等式的性质解方程
等式两边同时减去8，得：
$8 - 2x - 8 = 4 - 8$
化简得：$-2x = -4$
等式两边同时除以$-2$，得：$x = 2$
因此方程的解为$x=2$，对应选项C。
解法二：代入验证法
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，将各选项依次代入验证：
A. 当$x=4$时，左边$=8-2×4=0≠4$，不是方程的解；
B. 当$x=3$时，左边$=8-2×3=2≠4$，不是方程的解；
C. 当$x=2$时，左边$=8-2×2=4=$右边，是方程的解；
D. 当$x=1$时，左边$=8-2×1=6≠4$，不是方程的解。
【答案】
C
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查对方程的解的概念的理解，以及一元一次方程的基本运算能力，熟练掌握等式的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是方程的解，有两种常用解题思路：一是直接利用等式的性质求解一元一次方程，得到x的值后匹配对应选项；二是代入验证法，将每个选项的x值代入方程左边，计算结果后和右边的4对比，左右两边相等的即为方程的解，两种方法均可快速得到结果。
【解析】
解法一：利用等式的性质解方程
等式两边同时减去8，得：
$8 - 2x - 8 = 4 - 8$
化简得：$-2x = -4$
等式两边同时除以$-2$，得：$x = 2$
因此方程的解为$x=2$，对应选项C。
解法二：代入验证法
方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，将各选项依次代入验证：
A. 当$x=4$时，左边$=8-2×4=0≠4$，不是方程的解；
B. 当$x=3$时，左边$=8-2×3=2≠4$，不是方程的解；
C. 当$x=2$时，左边$=8-2×2=4=$右边，是方程的解；
D. 当$x=1$时，左边$=8-2×1=6≠4$，不是方程的解。
【答案】
C
【知识点】
方程的解的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查对方程的解的概念的理解，以及一元一次方程的基本运算能力，熟练掌握等式的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
二、填空题
4. 写出一个解为$x=2$的方程：
4. 写出一个解为$x=2$的方程：
答案不唯一，如$2x=4$
。答案
4. 答案不唯一，如$2x=4$
解析
【分析】
解题首先要明确方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。要写出解为$x=2$的方程，只要构造一个含有$x$的等式，把$x=2$代入后等式两边相等即可。构造时可以先确定含$x$的代数式，代入$x=2$算出代数式的值作为等号另一边的常数，就能得到符合要求的方程。
【解析】
根据方程的解的定义，我们只需构造等式，使得$x=2$代入时左右两边相等。
例如：先取左侧含$x$的代数式为$2x$，将$x=2$代入得$2×2=4$，因此等号右侧写4，得到方程$2x=4$。
验证：把$x=2$代入$2x=4$，左边$=2×2=4$，右边$=4$，左边=右边，符合要求。
也可构造如$x-2=0$、$x+1=3$等其他方程，均满足条件。
【答案】
答案不唯一，如$2x=4$
【知识点】
1.方程的解 2.一元一次方程
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对“方程的解”这一概念的理解，只要掌握相关定义即可快速写出答案，答案形式不固定，满足代入$x=2$后等式成立即可。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。要写出解为$x=2$的方程，只要构造一个含有$x$的等式，把$x=2$代入后等式两边相等即可。构造时可以先确定含$x$的代数式，代入$x=2$算出代数式的值作为等号另一边的常数，就能得到符合要求的方程。
【解析】
根据方程的解的定义，我们只需构造等式，使得$x=2$代入时左右两边相等。
例如：先取左侧含$x$的代数式为$2x$，将$x=2$代入得$2×2=4$，因此等号右侧写4，得到方程$2x=4$。
验证：把$x=2$代入$2x=4$，左边$=2×2=4$，右边$=4$，左边=右边，符合要求。
也可构造如$x-2=0$、$x+1=3$等其他方程，均满足条件。
【答案】
答案不唯一，如$2x=4$
【知识点】
1.方程的解 2.一元一次方程
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对“方程的解”这一概念的理解，只要掌握相关定义即可快速写出答案，答案形式不固定，满足代入$x=2$后等式成立即可。
【难度系数】
0.9
5. 若$x=y$，有下列变形：①$x+a=y+a$；②$ax=ay$；③$\frac{x}{a}=\frac{y}{a}$；④$\frac{x}{a^2+1}=\frac{y}{a^2+1}$。其中正确的是
①②④
.(填序号)答案
5. ①②④
解析
【分析】
解题时需依据等式的两条基本性质，逐个判断4个变形是否正确：首先回忆等式性质1（等式两边加/减同一个数/整式，等式仍成立）、等式性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立）。首先判断①是否符合性质1，再判断②③④是否符合性质2，注意应用除以同一个数的规则时，必须保证除数不为0，对含字母的除数要先判断取值是否可能为0。
【解析】
我们根据等式的性质逐个分析：
1. 对变形①：根据等式的性质1，等式$x=y$两边同时加同一个数$a$，等式仍然成立，即$x+a=y+a$，故①正确；
2. 对变形②：根据等式的性质2，等式$x=y$两边同时乘同一个数$a$，等式仍然成立，即$ax=ay$，故②正确；
3. 对变形③：根据等式的性质2，等式两边除以同一个数时，除数不能为0，当$a=0$时，$\frac{x}{a}$、$\frac{y}{a}$无意义，因此该变形不一定成立，故③错误；
4. 对变形④：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，恒不为0，根据等式的性质2，等式$x=y$两边同时除以不为0的$a^2+1$，等式仍然成立，即$\frac{x}{a^2+1}=\frac{y}{a^2+1}$，故④正确。
综上，正确的变形是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等式的性质，平方的非负性
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是使用“等式两边同时除以同一个数”的性质时，忽略除数不能为0的前提，遇到含字母的除数时，要先确认其是否可能为0，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时需依据等式的两条基本性质，逐个判断4个变形是否正确：首先回忆等式性质1（等式两边加/减同一个数/整式，等式仍成立）、等式性质2（等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立）。首先判断①是否符合性质1，再判断②③④是否符合性质2，注意应用除以同一个数的规则时，必须保证除数不为0，对含字母的除数要先判断取值是否可能为0。
【解析】
我们根据等式的性质逐个分析：
1. 对变形①：根据等式的性质1，等式$x=y$两边同时加同一个数$a$，等式仍然成立，即$x+a=y+a$，故①正确；
2. 对变形②：根据等式的性质2，等式$x=y$两边同时乘同一个数$a$，等式仍然成立，即$ax=ay$，故②正确；
3. 对变形③：根据等式的性质2，等式两边除以同一个数时，除数不能为0，当$a=0$时，$\frac{x}{a}$、$\frac{y}{a}$无意义，因此该变形不一定成立，故③错误；
4. 对变形④：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，恒不为0，根据等式的性质2，等式$x=y$两边同时除以不为0的$a^2+1$，等式仍然成立，即$\frac{x}{a^2+1}=\frac{y}{a^2+1}$，故④正确。
综上，正确的变形是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等式的性质，平方的非负性
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是使用“等式两边同时除以同一个数”的性质时，忽略除数不能为0的前提，遇到含字母的除数时，要先确认其是否可能为0，避免出错。
【难度系数】
0.7
三、解答题
6. 用等式的性质解下列方程：
(1) $3 = x + 5$；
(2) $-\dfrac{2}{3}y = 4$；
(3) $\dfrac{2}{5}y - 2 = -\dfrac{3}{5}y + 1$。
6. 用等式的性质解下列方程：
(1) $3 = x + 5$；
(2) $-\dfrac{2}{3}y = 4$；
(3) $\dfrac{2}{5}y - 2 = -\dfrac{3}{5}y + 1$。
答案
6. (1) $x=-2$ (2) $y=-6$ (3) $y=3$
解析
【分析】
解此类方程需运用等式的两个基本性质：①等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题核心是通过合理变形把方程转化为“未知数=常数”的形式：
1. 第(1)题要消去右侧的常数项5，只需两边同时减5即可得到x的解；
2. 第(2)题y的系数是$-\dfrac{2}{3}$，只需两边同时乘$-\dfrac{3}{2}$，将系数化为1即可得解；
3. 第(3)题先通过等式性质1将含y的项移到左侧、常数项移到右侧，再化简即可得解。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，两边同时减5，得：
$3 - 5 = x + 5 - 5$
化简得：$-2 = x$
即 $x = -2$
(2) 根据等式的性质2，两边同时乘$-\dfrac{3}{2}$，得：
$-\dfrac{2}{3}y × (-\dfrac{3}{2}) = 4 × (-\dfrac{3}{2})$
化简得：$y = -6$
(3) 根据等式的性质1，两边同时加$\dfrac{3}{5}y$，得：
$\dfrac{2}{5}y + \dfrac{3}{5}y - 2 = 1$
化简得：$y - 2 = 1$
再根据等式的性质1，两边同时加2，得：
$y - 2 + 2 = 1 + 2$
化简得：$y = 3$
【答案】
(1) $x=-2$；(2) $y=-6$；(3) $y=3$
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题考查利用等式的性质求解一元一次方程，解题时需注意等式两边需同时进行相同的变形，涉及负数运算时要注意符号的正确性，避免因符号错误导致失分。
【难度系数】
0.8
解此类方程需运用等式的两个基本性质：①等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题核心是通过合理变形把方程转化为“未知数=常数”的形式：
1. 第(1)题要消去右侧的常数项5，只需两边同时减5即可得到x的解；
2. 第(2)题y的系数是$-\dfrac{2}{3}$，只需两边同时乘$-\dfrac{3}{2}$，将系数化为1即可得解；
3. 第(3)题先通过等式性质1将含y的项移到左侧、常数项移到右侧，再化简即可得解。
【解析】
(1) 根据等式的性质1，两边同时减5，得：
$3 - 5 = x + 5 - 5$
化简得：$-2 = x$
即 $x = -2$
(2) 根据等式的性质2，两边同时乘$-\dfrac{3}{2}$，得：
$-\dfrac{2}{3}y × (-\dfrac{3}{2}) = 4 × (-\dfrac{3}{2})$
化简得：$y = -6$
(3) 根据等式的性质1，两边同时加$\dfrac{3}{5}y$，得：
$\dfrac{2}{5}y + \dfrac{3}{5}y - 2 = 1$
化简得：$y - 2 = 1$
再根据等式的性质1，两边同时加2，得：
$y - 2 + 2 = 1 + 2$
化简得：$y = 3$
【答案】
(1) $x=-2$；(2) $y=-6$；(3) $y=3$
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题考查利用等式的性质求解一元一次方程，解题时需注意等式两边需同时进行相同的变形，涉及负数运算时要注意符号的正确性，避免因符号错误导致失分。
【难度系数】
0.8
7. 已知 $ y = mx - 3 $，当 $ x = -3 $ 时，$ y = 0 $，求 $ m $ 的值。
答案
$m=-1$
解析
【分析】
解题时首先明确：已知x、y的一组对应值，说明这组值满足给出的关系式$y=mx-3$，所以第一步将$x=-3$、$y=0$代入关系式，就能得到只含未知数m的一元一次方程，第二步按照解一元一次方程的步骤求解，即可算出m的值。
【解析】
将$x=-3$，$y=0$代入$y=mx-3$，可得：
$\begin{aligned}0&=m×(-3)-3\\0&=-3m-3\\\mathrm{移项得：}-3m&=3\\\mathrm{系数化为1得：}m&=-1\end{aligned}$
【答案】
$m=-1$
【知识点】
代入法求参数；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查将已知对应值代入关系式求解未知参数的思路，运算量小，熟练掌握一元一次方程的解法即可快速作答，是学习函数相关内容的必备基础技能。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：已知x、y的一组对应值，说明这组值满足给出的关系式$y=mx-3$，所以第一步将$x=-3$、$y=0$代入关系式，就能得到只含未知数m的一元一次方程，第二步按照解一元一次方程的步骤求解，即可算出m的值。
【解析】
将$x=-3$，$y=0$代入$y=mx-3$，可得：
$\begin{aligned}0&=m×(-3)-3\\0&=-3m-3\\\mathrm{移项得：}-3m&=3\\\mathrm{系数化为1得：}m&=-1\end{aligned}$
【答案】
$m=-1$
【知识点】
代入法求参数；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查将已知对应值代入关系式求解未知参数的思路，运算量小，熟练掌握一元一次方程的解法即可快速作答，是学习函数相关内容的必备基础技能。
【难度系数】
0.9
