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一、选择题
1. 下列结论正确的是(
A.$y=-3$是方程$2 - 1 - y = -2$的解
B.$x=1$是方程$-\dfrac{3}{4}x=\dfrac{4}{3}$的解
C.$-\dfrac{1}{2}x + 2 = 0$的解是$x=-4$
D.$x=2$是方程$2x + 1 =5$的解
1. 下列结论正确的是(
D
).A.$y=-3$是方程$2 - 1 - y = -2$的解
B.$x=1$是方程$-\dfrac{3}{4}x=\dfrac{4}{3}$的解
C.$-\dfrac{1}{2}x + 2 = 0$的解是$x=-4$
D.$x=2$是方程$2x + 1 =5$的解
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查方程解的判定，解题的核心是明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时只需将每个选项给出的未知数的值代入对应方程，分别计算方程左右两边的结果，若两边结果相等则该值是方程的解，反之则不是，逐一验证即可选出正确选项。
【解析】
我们采用代入检验法逐一判断选项：
A. 将$y=-3$代入方程$2 - 1 - y = -2$，左边$=2-1-(-3)=1+3=4$，右边$=-2$，左边≠右边，故A错误；
B. 将$x=1$代入方程$-\dfrac{3}{4}x=\dfrac{4}{3}$，左边$=-\dfrac{3}{4}×1=-\dfrac{3}{4}$，右边$=\dfrac{4}{3}$，左边≠右边，故B错误；
C. 将$x=-4$代入方程$-\dfrac{1}{2}x + 2 = 0$，左边$=-\dfrac{1}{2}×(-4)+2=2+2=4$，右边$=0$，左边≠右边，故C错误；
D. 将$x=2$代入方程$2x + 1 =5$，左边$=2×2+1=5$，右边$=5$，左边=右边，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
方程的解的定义，一元一次方程解的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程解的概念的理解，熟练掌握代入检验法判断方程的解是解题的关键，解题时注意有理数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
本题考查方程解的判定，解题的核心是明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题时只需将每个选项给出的未知数的值代入对应方程，分别计算方程左右两边的结果，若两边结果相等则该值是方程的解，反之则不是，逐一验证即可选出正确选项。
【解析】
我们采用代入检验法逐一判断选项：
A. 将$y=-3$代入方程$2 - 1 - y = -2$，左边$=2-1-(-3)=1+3=4$，右边$=-2$，左边≠右边，故A错误；
B. 将$x=1$代入方程$-\dfrac{3}{4}x=\dfrac{4}{3}$，左边$=-\dfrac{3}{4}×1=-\dfrac{3}{4}$，右边$=\dfrac{4}{3}$，左边≠右边，故B错误；
C. 将$x=-4$代入方程$-\dfrac{1}{2}x + 2 = 0$，左边$=-\dfrac{1}{2}×(-4)+2=2+2=4$，右边$=0$，左边≠右边，故C错误；
D. 将$x=2$代入方程$2x + 1 =5$，左边$=2×2+1=5$，右边$=5$，左边=右边，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
方程的解的定义，一元一次方程解的检验
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程解的概念的理解，熟练掌握代入检验法判断方程的解是解题的关键，解题时注意有理数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.9
2. 小强在计算“41＋x”时，误将“＋”看成“－”，结果得12，则41＋x的值应为（
A.29
B.53
C.67
D.70
D
）。A.29
B.53
C.67
D.70
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先根据小强看错运算符号得到的错误结果，列出关于x的一元一次方程，求出x的取值；第二步将求出的x代入原式41+x，计算得到正确结果即可。
【解析】
解：由题意可知，小强误算的算式为$41 - x = 12$
解该方程得：
$x = 41 - 12 = 29$
将$x=29$代入正确算式$41+x$中：
$41 + 29 = 70$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程求解，代数式求值
【点评】
本题的解题关键是先通过错误的运算关系求出未知参数的值，再代入正确式子计算，主要考查审题能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步先根据小强看错运算符号得到的错误结果，列出关于x的一元一次方程，求出x的取值；第二步将求出的x代入原式41+x，计算得到正确结果即可。
【解析】
解：由题意可知，小强误算的算式为$41 - x = 12$
解该方程得：
$x = 41 - 12 = 29$
将$x=29$代入正确算式$41+x$中：
$41 + 29 = 70$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程求解，代数式求值
【点评】
本题的解题关键是先通过错误的运算关系求出未知参数的值，再代入正确式子计算，主要考查审题能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
3. 若$x=1$是关于$x$的方程$-2mx + n -1=0$的解，则$2019 + n -2m$的值为(
A.2018
B.2019
C.2020
D.2019或2020
C
)。A.2018
B.2019
C.2020
D.2019或2020
答案
3. C
解析
【分析】
首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是给定方程的解，第一步可把x=1代入原方程，得到m和n的数量关系；再观察所求的代数式$2019 +n -2m$，发现其包含的$n-2m$和代入后得到的关系式形式一致，因此不需要分别求出m和n的具体值，用整体代入的方法就能直接算出代数式的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是方程$-2mx + n -1=0$的解
∴将$x=1$代入方程，得：
$-2m×1 + n - 1 = 0$
整理得：$n - 2m = 1$
将$n - 2m = 1$代入代数式$2019 + n - 2m$，得：
$2019 + (n - 2m) = 2019 + 1 = 2020$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题考查方程解的应用，解题关键是利用方程的解得到所求代数式中含字母部分的整体值，避免单独求解未知数简化计算，是代数式求值类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
首先明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是给定方程的解，第一步可把x=1代入原方程，得到m和n的数量关系；再观察所求的代数式$2019 +n -2m$，发现其包含的$n-2m$和代入后得到的关系式形式一致，因此不需要分别求出m和n的具体值，用整体代入的方法就能直接算出代数式的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是方程$-2mx + n -1=0$的解
∴将$x=1$代入方程，得：
$-2m×1 + n - 1 = 0$
整理得：$n - 2m = 1$
将$n - 2m = 1$代入代数式$2019 + n - 2m$，得：
$2019 + (n - 2m) = 2019 + 1 = 2020$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题考查方程解的应用，解题关键是利用方程的解得到所求代数式中含字母部分的整体值，避免单独求解未知数简化计算，是代数式求值类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
4.已知$x=-3$是关于$x$的方程$3x - 2k = 1$的解，则$k$的值是
-5
。答案
4. -5
解析
【分析】
解题的核心是利用方程解的定义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。因此我们可以先将已知的解x=-3代入原方程，把原方程转化为只含有未知数k的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出k的值。
【解析】
∵ $x=-3$ 是方程 $3x - 2k = 1$ 的解
∴ 将 $x=-3$ 代入原方程，可得：
$3×(-3) - 2k = 1$
计算乘法得：
$-9 - 2k = 1$
移项得：
$-2k = 1 + 9$
合并同类项得：
$-2k = 10$
系数化为1得：
$k = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程解的概念的应用，解题关键是将已知解代入原方程得到关于参数的新方程，计算时注意符号变化即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用方程解的定义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。因此我们可以先将已知的解x=-3代入原方程，把原方程转化为只含有未知数k的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出k的值。
【解析】
∵ $x=-3$ 是方程 $3x - 2k = 1$ 的解
∴ 将 $x=-3$ 代入原方程，可得：
$3×(-3) - 2k = 1$
计算乘法得：
$-9 - 2k = 1$
移项得：
$-2k = 1 + 9$
合并同类项得：
$-2k = 10$
系数化为1得：
$k = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查方程解的概念的应用，解题关键是将已知解代入原方程得到关于参数的新方程，计算时注意符号变化即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
5. 定义新运算“※”，其运算规则为：$a※b=-2a+3b$，如$1※5=-2×1+3×5=13$.则方程$x※4=0$的解为
x=6
.答案
5. x=6
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新运算“※”的规则：运算结果等于第一个数的-2倍加上第二个数的3倍。我们可以将方程中的x※4按照这个规则转化为普通的代数式，从而得到关于x的一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求解即可。
【解析】
根据新运算规则$a※b=-2a+3b$，可得：
$x※4=-2x + 3×4 = -2x + 12$
已知$x※4=0$，因此列方程得：
$-2x + 12 = 0$
移项，得：
$-2x = -12$
系数化为1，得：
$x = 6$
【答案】
x=6
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题核心是考查对新定义运算的理解与转化能力，解题的关键是严格按照给定的新运算规则，将陌生的新运算形式转化为我们熟悉的常规代数运算，再结合一元一次方程的解法求解即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解新运算“※”的规则：运算结果等于第一个数的-2倍加上第二个数的3倍。我们可以将方程中的x※4按照这个规则转化为普通的代数式，从而得到关于x的一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求解即可。
【解析】
根据新运算规则$a※b=-2a+3b$，可得：
$x※4=-2x + 3×4 = -2x + 12$
已知$x※4=0$，因此列方程得：
$-2x + 12 = 0$
移项，得：
$-2x = -12$
系数化为1，得：
$x = 6$
【答案】
x=6
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题核心是考查对新定义运算的理解与转化能力，解题的关键是严格按照给定的新运算规则，将陌生的新运算形式转化为我们熟悉的常规代数运算，再结合一元一次方程的解法求解即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6.已知等式$ax - 3x = 2 + b$，若$x$取任何值时等式都成立，则$a=$
3
，$b=$-2
。答案
6. 3 -2
解析
【分析】
首先明确题目要求：x取任意值时等式都成立，说明该等式是关于x的恒等式。解题第一步先将等式中含x的项合并同类项，整理为“系数×x=常数”的形式；第二步思考：若x取任意值等式都成立，只有当x的系数为0时，左边的取值才不会随x变化，此时等号右侧的常数也必须等于0，等式才能始终成立，最后分别解关于a、b的简易方程即可得到结果。
【解析】
对原等式合并同类项：
$ax - 3x = 2 + b$
整理得：$(a - 3)x = b + 2$
因为x取任意值时等式都成立，所以x的系数必须为0：
$a - 3 = 0$，解得$a = 3$
当$a=3$时，等式左侧为$0× x=0$，因此右侧也需等于0，等式才能成立：
$b + 2 = 0$，解得$b = -2$
【答案】
3；-2
【知识点】
合并同类项；等式恒成立条件；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的拓展应用，解题核心是理解“未知数取任意值等式都成立”的含义，即含未知数项的系数为0，剩余常数项对应相等，掌握该规律即可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.7
首先明确题目要求：x取任意值时等式都成立，说明该等式是关于x的恒等式。解题第一步先将等式中含x的项合并同类项，整理为“系数×x=常数”的形式；第二步思考：若x取任意值等式都成立，只有当x的系数为0时，左边的取值才不会随x变化，此时等号右侧的常数也必须等于0，等式才能始终成立，最后分别解关于a、b的简易方程即可得到结果。
【解析】
对原等式合并同类项：
$ax - 3x = 2 + b$
整理得：$(a - 3)x = b + 2$
因为x取任意值时等式都成立，所以x的系数必须为0：
$a - 3 = 0$，解得$a = 3$
当$a=3$时，等式左侧为$0× x=0$，因此右侧也需等于0，等式才能成立：
$b + 2 = 0$，解得$b = -2$
【答案】
3；-2
【知识点】
合并同类项；等式恒成立条件；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质的拓展应用，解题核心是理解“未知数取任意值等式都成立”的含义，即含未知数项的系数为0，剩余常数项对应相等，掌握该规律即可快速求解同类题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 根据题意，列出方程并求解：
（1）一个数的$\frac{1}{6}$与3的差等于最大的一位数，求这个数；
（2）小明是4月出生的，他的年龄的2倍加上8，正好是他的出生那个月的总天数。请你求出小明的年龄。
7. 根据题意，列出方程并求解：
（1）一个数的$\frac{1}{6}$与3的差等于最大的一位数，求这个数；
（2）小明是4月出生的，他的年龄的2倍加上8，正好是他的出生那个月的总天数。请你求出小明的年龄。
答案
7. (1) 设这个数为$x$，$\frac{1}{6}x - 3 = 9$，解得$x=72$ (2) 设小明$x$岁，$2x + 8 = 30$，解得$x=11$
解析
【分析】
这是两道基础的列一元一次方程解应用题的题目，解题思路如下：
（1）采用直接设元法，设所求的数为x；提取题干等量关系：这个数的$\frac{1}{6}$减去3的结果等于最大的一位数（最大的一位数为9），将文字描述转化为含x的等式得到方程，再按照一元一次方程的解法求解即可。
（2）设小明的年龄为x岁；先明确隐含条件：4月总共有30天，提取题干等量关系：小明年龄的2倍加8的和等于4月的总天数，据此列方程后求解即可。
【解析】
（1）解：设这个数为$x$，根据题意列方程：
$\frac{1}{6}x - 3 = 9$
移项，得：$\frac{1}{6}x = 9 + 3$
合并同类项，得：$\frac{1}{6}x = 12$
系数化为1，得：$x = 72$
（2）解：设小明的年龄为$x$岁，4月总共有30天，根据题意列方程：
$2x + 8 = 30$
移项，得：$2x = 30 - 8$
合并同类项，得：$2x = 22$
系数化为1，得：$x = 11$
【答案】
(1) 设这个数为$x$，$\frac{1}{6}x - 3 = 9$，解得$x=72$
(2) 设小明$x$岁，$2x + 8 = 30$，解得$x=11$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程
3. 等量关系提取
【点评】
本题属于基础的方程应用题，核心是掌握“设未知数-找等量关系-列方程-解方程”的解题步骤，解题时注意题干隐含条件的提取，熟练掌握一元一次方程的解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
这是两道基础的列一元一次方程解应用题的题目，解题思路如下：
（1）采用直接设元法，设所求的数为x；提取题干等量关系：这个数的$\frac{1}{6}$减去3的结果等于最大的一位数（最大的一位数为9），将文字描述转化为含x的等式得到方程，再按照一元一次方程的解法求解即可。
（2）设小明的年龄为x岁；先明确隐含条件：4月总共有30天，提取题干等量关系：小明年龄的2倍加8的和等于4月的总天数，据此列方程后求解即可。
【解析】
（1）解：设这个数为$x$，根据题意列方程：
$\frac{1}{6}x - 3 = 9$
移项，得：$\frac{1}{6}x = 9 + 3$
合并同类项，得：$\frac{1}{6}x = 12$
系数化为1，得：$x = 72$
（2）解：设小明的年龄为$x$岁，4月总共有30天，根据题意列方程：
$2x + 8 = 30$
移项，得：$2x = 30 - 8$
合并同类项，得：$2x = 22$
系数化为1，得：$x = 11$
【答案】
(1) 设这个数为$x$，$\frac{1}{6}x - 3 = 9$，解得$x=72$
(2) 设小明$x$岁，$2x + 8 = 30$，解得$x=11$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程
3. 等量关系提取
【点评】
本题属于基础的方程应用题，核心是掌握“设未知数-找等量关系-列方程-解方程”的解题步骤，解题时注意题干隐含条件的提取，熟练掌握一元一次方程的解法即可轻松作答。
【难度系数】
0.8
8. 在 2，-2，-3，-4 中，哪些数是方程$2x^2 - 3x = x + 16$的解？
答案
$x=-2$
解析
【分析】
判断一个数是否为方程的解的核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。本题已经给出了待验证的4个数，无需解方程，只需将每个数分别代入方程左右两边计算，若两边计算结果相等，则该数是方程的解，反之则不是。计算时要注意负数乘方、乘法的符号规则，避免运算错误。
【解析】
我们逐个将4个数代入方程$2x^2 - 3x = x + 16$的左右两边验证：
1. 当$x=2$时：
左边$=2×2^2 - 3×2=2×4 - 6=8-6=2$
右边$=2 + 16=18$
左边≠右边，因此2不是方程的解。
2. 当$x=-2$时：
左边$=2×(-2)^2 - 3×(-2)=2×4 + 6=8+6=14$
右边$=-2 + 16=14$
左边=右边，因此-2是方程的解。
3. 当$x=-3$时：
左边$=2×(-3)^2 - 3×(-3)=2×9 + 9=18+9=27$
右边$=-3 + 16=13$
左边≠右边，因此-3不是方程的解。
4. 当$x=-4$时：
左边$=2×(-4)^2 - 3×(-4)=2×16 + 12=32+12=44$
右边$=-4 + 16=12$
左边≠右边，因此-4不是方程的解。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的验证方法，核心是代入求值后对比方程左右两边是否相等，解题时需注意含负数的运算符号处理，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
判断一个数是否为方程的解的核心依据是方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。本题已经给出了待验证的4个数，无需解方程，只需将每个数分别代入方程左右两边计算，若两边计算结果相等，则该数是方程的解，反之则不是。计算时要注意负数乘方、乘法的符号规则，避免运算错误。
【解析】
我们逐个将4个数代入方程$2x^2 - 3x = x + 16$的左右两边验证：
1. 当$x=2$时：
左边$=2×2^2 - 3×2=2×4 - 6=8-6=2$
右边$=2 + 16=18$
左边≠右边，因此2不是方程的解。
2. 当$x=-2$时：
左边$=2×(-2)^2 - 3×(-2)=2×4 + 6=8+6=14$
右边$=-2 + 16=14$
左边=右边，因此-2是方程的解。
3. 当$x=-3$时：
左边$=2×(-3)^2 - 3×(-3)=2×9 + 9=18+9=27$
右边$=-3 + 16=13$
左边≠右边，因此-3不是方程的解。
4. 当$x=-4$时：
左边$=2×(-4)^2 - 3×(-4)=2×16 + 12=32+12=44$
右边$=-4 + 16=12$
左边≠右边，因此-4不是方程的解。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的验证方法，核心是代入求值后对比方程左右两边是否相等，解题时需注意含负数的运算符号处理，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
9. 已知$2(3a - b) - 3(a - 2b) = 5$，求$1 - 9a - 12b$的值.
答案
9. -14
解析
【分析】
本题未给出a、b的单独取值，因此需采用整体代入的思路求解：第一步先化简已知的等式，通过去括号、合并同类项得到a与b的线性组合的整体值；第二步观察待求代数式的系数特点，将其变形为含有上述整体的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：先化简已知等式：
$2(3a - b) - 3(a - 2b) = 5$
去括号得：$6a - 2b - 3a + 6b = 5$
合并同类项得：$3a + 4b = 5$
再对待求式变形：
$1 - 9a - 12b = 1 - (9a + 12b) = 1 - 3(3a + 4b)$
将$3a + 4b = 5$代入上式：
原式$= 1 - 3×5 = 1 - 15 = -14$
【答案】
-14
【知识点】
整式化简，整体代入求值，代数式运算
【点评】
本题重点考查整式的加减运算规则和整体代入的数学思想，解题时无需单独求解a、b的取值，通过观察已知式与待求式的系数关联构造相同的整体，可大幅简化计算过程，是代数式求值类题目的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题未给出a、b的单独取值，因此需采用整体代入的思路求解：第一步先化简已知的等式，通过去括号、合并同类项得到a与b的线性组合的整体值；第二步观察待求代数式的系数特点，将其变形为含有上述整体的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：先化简已知等式：
$2(3a - b) - 3(a - 2b) = 5$
去括号得：$6a - 2b - 3a + 6b = 5$
合并同类项得：$3a + 4b = 5$
再对待求式变形：
$1 - 9a - 12b = 1 - (9a + 12b) = 1 - 3(3a + 4b)$
将$3a + 4b = 5$代入上式：
原式$= 1 - 3×5 = 1 - 15 = -14$
【答案】
-14
【知识点】
整式化简，整体代入求值，代数式运算
【点评】
本题重点考查整式的加减运算规则和整体代入的数学思想，解题时无需单独求解a、b的取值，通过观察已知式与待求式的系数关联构造相同的整体，可大幅简化计算过程，是代数式求值类题目的典型考法。
【难度系数】
0.7
