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1. 在分式方程$\frac{x-1}{x^2}+\frac{x^2}{x-1}=6$中，设$\frac{x-1}{x^2}=y$，可得到关于$y$的整式方程为（
A.$y^2 + 6y + 6 = 0$
B.$y^2 - 6y + 6 = 0$
C.$y^2 + 6y + 1 = 0$
D.$y^2 - 6y + 1 = 0$
D
）A.$y^2 + 6y + 6 = 0$
B.$y^2 - 6y + 6 = 0$
C.$y^2 + 6y + 1 = 0$
D.$y^2 - 6y + 1 = 0$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道用换元法求解分式方程的典型题目，解题思路如下：首先观察原分式方程中两个相加的分式，发现$\frac{x-1}{x^2}$和$\frac{x^2}{x-1}$互为倒数，题目已经给出设$\frac{x-1}{x^2}=y$，因此可以直接得到另一部分为$\frac{1}{y}$，将其代入原方程后，通过去分母的操作即可把分式方程转化为关于$y$的整式方程，最后匹配选项即可。
【解析】
解：已知设$\frac{x-1}{x^2}=y$，根据倒数的性质可得$\frac{x^2}{x-1}=\frac{1}{y}$。
将二者代入原分式方程，得：$y+\frac{1}{y}=6$。
方程两边同时乘以$y$（$y≠0$，满足分式有意义的条件），去分母得：$y^2 + 1 = 6y$。
移项整理得整式方程：$y^2 -6y +1 =0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
换元法解分式方程；分式去分母；倒数的性质
【点评】
本题考查换元法在分式方程化简中的应用，解题核心是识别出方程中互为倒数的两个分式，通过换元简化运算，属于分式方程模块的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
这是一道用换元法求解分式方程的典型题目，解题思路如下：首先观察原分式方程中两个相加的分式，发现$\frac{x-1}{x^2}$和$\frac{x^2}{x-1}$互为倒数，题目已经给出设$\frac{x-1}{x^2}=y$，因此可以直接得到另一部分为$\frac{1}{y}$，将其代入原方程后，通过去分母的操作即可把分式方程转化为关于$y$的整式方程，最后匹配选项即可。
【解析】
解：已知设$\frac{x-1}{x^2}=y$，根据倒数的性质可得$\frac{x^2}{x-1}=\frac{1}{y}$。
将二者代入原分式方程，得：$y+\frac{1}{y}=6$。
方程两边同时乘以$y$（$y≠0$，满足分式有意义的条件），去分母得：$y^2 + 1 = 6y$。
移项整理得整式方程：$y^2 -6y +1 =0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
换元法解分式方程；分式去分母；倒数的性质
【点评】
本题考查换元法在分式方程化简中的应用，解题核心是识别出方程中互为倒数的两个分式，通过换元简化运算，属于分式方程模块的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
2. 数学兴趣小组在学习了分式的知识后，探究了分式的一种特殊变形。
例如，$\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2(x-1)+5}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{5}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$。
我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫作“分离常数法”。“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法。
(1)请利用“分离常数法”将分式$\frac{3x-1}{x+1}$变形为$m+\frac{n}{x+1}$(其中$m$，$n$为常数)，求$m$，$n$的值；
(2)若分式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数，求满足条件的整数$x$的值；
(3)请利用“分离常数法”直接写出分式$\frac{2-3x^2}{x^2+1}$的取值范围。
例如，$\frac{2x+3}{x-1}=\frac{2(x-1)+5}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{5}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}$。
我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫作“分离常数法”。“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法。
(1)请利用“分离常数法”将分式$\frac{3x-1}{x+1}$变形为$m+\frac{n}{x+1}$(其中$m$，$n$为常数)，求$m$，$n$的值；
(2)若分式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数，求满足条件的整数$x$的值；
(3)请利用“分离常数法”直接写出分式$\frac{2-3x^2}{x^2+1}$的取值范围。
答案
(1) $m=3$，$n=-4$。
(2) $x=0$ 或 $x=2$。
(3) $-3＜\frac{2-3x^2}{x^2+1}≤2$。
(2) $x=0$ 或 $x=2$。
(3) $-3＜\frac{2-3x^2}{x^2+1}≤2$。
解析
【分析】
(1) 第一问是分离常数法的基础应用，解题时先将分子构造出含分母(x+1)的整式结构，剩余部分为常数，再拆分分式即可直接对应得到m、n的值。
(2) 第二问先通过分离常数法将分式拆成“整数+分子为常数的分式”的形式，要使分式的值为整数，拆分后得到的分式必须为整数，即分母是分子的整数因数，结合分母不为0的限制即可求出符合条件的整数x。
(3) 第三问同样先分离常数，再利用x²的非负性得到分母x²+1的取值范围，进而推导拆分后分式的取值范围，最终求出原分式的取值范围。
【解析】
(1) 对$\frac{3x-1}{x+1}$变形：
$\frac{3x-1}{x+1}=\frac{3(x+1)-3-1}{x+1}=\frac{3(x+1)-4}{x+1}=3+\frac{-4}{x+1}$
对比$m+\frac{n}{x+1}$的形式，可得$m=3$，$n=-4$。
(2) 先对$\frac{4x-3}{x-1}$分离常数：
$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+4-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$
∵分式的值为整数，且x为整数
∴$\frac{1}{x-1}$为整数，即$x-1$是1的整数因数
1的整数因数为$\pm1$，即$x-1=1$或$x-1=-1$
解得$x=2$或$x=0$
检验：$x=2$和$x=0$时，分母$x-1≠0$，均符合要求。
(3) 对$\frac{2-3x^2}{x^2+1}$分离常数：
$\frac{2-3x^2}{x^2+1}=\frac{-3(x^2+1)+3+2}{x^2+1}=\frac{-3(x^2+1)+5}{x^2+1}=-3+\frac{5}{x^2+1}$
∵$x^2≥0$，
∴$x^2+1≥1$
∴$0＜\frac{5}{x^2+1}≤5$
两边同时加-3得：$-3＜-3+\frac{5}{x^2+1}≤2$
即$-3＜\frac{2-3x^2}{x^2+1}≤2$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=-4$；
(2) $x=0$ 或 $x=2$；
(3) $-3＜\frac{2-3x^2}{x^2+1}≤2$。
【知识点】
分式的基本性质、分离常数法、分式取值范围
【点评】
本题围绕分离常数法设置了三个梯度的问题，既考查了分式变形的基础运算能力，也考查了整数性质、非负数性质的综合应用，能够有效锻炼逻辑分析能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是分离常数法的基础应用，解题时先将分子构造出含分母(x+1)的整式结构，剩余部分为常数，再拆分分式即可直接对应得到m、n的值。
(2) 第二问先通过分离常数法将分式拆成“整数+分子为常数的分式”的形式，要使分式的值为整数，拆分后得到的分式必须为整数，即分母是分子的整数因数，结合分母不为0的限制即可求出符合条件的整数x。
(3) 第三问同样先分离常数，再利用x²的非负性得到分母x²+1的取值范围，进而推导拆分后分式的取值范围，最终求出原分式的取值范围。
【解析】
(1) 对$\frac{3x-1}{x+1}$变形：
$\frac{3x-1}{x+1}=\frac{3(x+1)-3-1}{x+1}=\frac{3(x+1)-4}{x+1}=3+\frac{-4}{x+1}$
对比$m+\frac{n}{x+1}$的形式，可得$m=3$，$n=-4$。
(2) 先对$\frac{4x-3}{x-1}$分离常数：
$\frac{4x-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+4-3}{x-1}=\frac{4(x-1)+1}{x-1}=4+\frac{1}{x-1}$
∵分式的值为整数，且x为整数
∴$\frac{1}{x-1}$为整数，即$x-1$是1的整数因数
1的整数因数为$\pm1$，即$x-1=1$或$x-1=-1$
解得$x=2$或$x=0$
检验：$x=2$和$x=0$时，分母$x-1≠0$，均符合要求。
(3) 对$\frac{2-3x^2}{x^2+1}$分离常数：
$\frac{2-3x^2}{x^2+1}=\frac{-3(x^2+1)+3+2}{x^2+1}=\frac{-3(x^2+1)+5}{x^2+1}=-3+\frac{5}{x^2+1}$
∵$x^2≥0$，
∴$x^2+1≥1$
∴$0＜\frac{5}{x^2+1}≤5$
两边同时加-3得：$-3＜-3+\frac{5}{x^2+1}≤2$
即$-3＜\frac{2-3x^2}{x^2+1}≤2$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=-4$；
(2) $x=0$ 或 $x=2$；
(3) $-3＜\frac{2-3x^2}{x^2+1}≤2$。
【知识点】
分式的基本性质、分离常数法、分式取值范围
【点评】
本题围绕分离常数法设置了三个梯度的问题，既考查了分式变形的基础运算能力，也考查了整数性质、非负数性质的综合应用，能够有效锻炼逻辑分析能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
3. 在古代建筑中，榫卯结构至关重要。它通过凸出的榫头和凹进的榫眼精密配合，使建筑物牢固且不易松动，体现了我国古代工匠的智慧。某工匠坊制作一种特定的榫卯组合。已知制作一个榫头比制作一个榫眼多用0.5 kg木材。现用30 kg木材制作榫头，用25 kg木材制作榫眼，木材全部用完，且两种零件的制作数量相同。设制作一个榫头需要木材x kg，则可列方程为 （
A.$\frac{30}{x}=\frac{25}{x+0.5}$
B.$\frac{30}{x-0.5}=\frac{25}{x}$
C.$\frac{30}{x}=\frac{25}{x-0.5}$
D.$\frac{30}{x+0.5}=\frac{25}{x}$
C
）A.$\frac{30}{x}=\frac{25}{x+0.5}$
B.$\frac{30}{x-0.5}=\frac{25}{x}$
C.$\frac{30}{x}=\frac{25}{x-0.5}$
D.$\frac{30}{x+0.5}=\frac{25}{x}$
答案
3. C
解析
【分析】
这是一道分式方程实际应用类题目，解题核心是找到题目中的等量关系：榫头的制作数量=榫眼的制作数量。首先根据题目给出的设未知数条件，推导制作一个榫眼所需的木材质量，再根据“制作数量=总木材质量÷单个零件所需木材质量”分别表示出榫头和榫眼的数量，最后根据数量相等列出方程即可。
【解析】
解：已知设制作一个榫头需要木材x kg，
∵制作一个榫头比制作一个榫眼多用0.5 kg木材，
∴制作一个榫眼需要木材$(x-0.5)$kg。
根据“总数量=总木材质量÷单个零件耗材质量”可得：
30kg木材可制作榫头的数量为$\frac{30}{x}$个，
25kg木材可制作榫眼的数量为$\frac{25}{x-0.5}$个，
∵两种零件的制作数量相同，
∴可列方程：$\frac{30}{x}=\frac{25}{x-0.5}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总量、单量、数量的关系
【点评】
本题结合传统榫卯结构的实际场景命题，考查学生提取题干等量关系、列分式方程的能力，解题的易错点是容易混淆榫头和榫眼的单个耗材关系，导致列错方程。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程实际应用类题目，解题核心是找到题目中的等量关系：榫头的制作数量=榫眼的制作数量。首先根据题目给出的设未知数条件，推导制作一个榫眼所需的木材质量，再根据“制作数量=总木材质量÷单个零件所需木材质量”分别表示出榫头和榫眼的数量，最后根据数量相等列出方程即可。
【解析】
解：已知设制作一个榫头需要木材x kg，
∵制作一个榫头比制作一个榫眼多用0.5 kg木材，
∴制作一个榫眼需要木材$(x-0.5)$kg。
根据“总数量=总木材质量÷单个零件耗材质量”可得：
30kg木材可制作榫头的数量为$\frac{30}{x}$个，
25kg木材可制作榫眼的数量为$\frac{25}{x-0.5}$个，
∵两种零件的制作数量相同，
∴可列方程：$\frac{30}{x}=\frac{25}{x-0.5}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总量、单量、数量的关系
【点评】
本题结合传统榫卯结构的实际场景命题，考查学生提取题干等量关系、列分式方程的能力，解题的易错点是容易混淆榫头和榫眼的单个耗材关系，导致列错方程。
【难度系数】
0.7
4. 深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态。某外卖订单按照传统方式配送，其行程为10 km，若采用无人机配送，其行程只需7 km，且配送时间比传统方式快15 min。已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为x km/min，则可列方程为 （
A.$\frac{7}{1.5x} - \frac{10}{x} = 15$
B.$\frac{10}{x} - \frac{7}{1.5x} = 15$
C.$\frac{7}{x} - \frac{10}{1.5x} = 15$
D.$\frac{10}{1.5x} - \frac{7}{x} = 15$
B
）A.$\frac{7}{1.5x} - \frac{10}{x} = 15$
B.$\frac{10}{x} - \frac{7}{1.5x} = 15$
C.$\frac{7}{x} - \frac{10}{1.5x} = 15$
D.$\frac{10}{1.5x} - \frac{7}{x} = 15$
答案
4. B
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程列写题，解题思路如下：第一步回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；第二步分别找到传统配送和无人机配送的路程、速度，计算出两种配送方式的时间；第三步抓住关键等量关系“无人机配送时间比传统方式快15 min”，也就是传统配送时间减去无人机配送时间等于15分钟，据此列方程即可。
【解析】
已知传统方式配送速度为x km/min，则无人机配送速度为1.5x km/min。
1. 计算传统配送的时间：传统配送路程为10 km，根据时间=路程÷速度，可得传统配送时间为$\frac{10}{x}$ min。
2. 计算无人机配送的时间：无人机配送路程为7 km，可得无人机配送时间为$\frac{7}{1.5x}$ min。
3. 根据“无人机配送时间比传统方式快15 min”，可知传统配送时间比无人机配送时间多15 min，列等量关系：
$\frac{10}{x} - \frac{7}{1.5x} = 15$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式、分式方程实际应用
【点评】
本题结合低空经济的实际背景出题，解题的核心是准确梳理两种配送方式的路程、速度、时间的对应关系，不要混淆两个时间的大小关系，避免列反减法顺序。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的分式方程列写题，解题思路如下：第一步回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；第二步分别找到传统配送和无人机配送的路程、速度，计算出两种配送方式的时间；第三步抓住关键等量关系“无人机配送时间比传统方式快15 min”，也就是传统配送时间减去无人机配送时间等于15分钟，据此列方程即可。
【解析】
已知传统方式配送速度为x km/min，则无人机配送速度为1.5x km/min。
1. 计算传统配送的时间：传统配送路程为10 km，根据时间=路程÷速度，可得传统配送时间为$\frac{10}{x}$ min。
2. 计算无人机配送的时间：无人机配送路程为7 km，可得无人机配送时间为$\frac{7}{1.5x}$ min。
3. 根据“无人机配送时间比传统方式快15 min”，可知传统配送时间比无人机配送时间多15 min，列等量关系：
$\frac{10}{x} - \frac{7}{1.5x} = 15$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式、分式方程实际应用
【点评】
本题结合低空经济的实际背景出题，解题的核心是准确梳理两种配送方式的路程、速度、时间的对应关系，不要混淆两个时间的大小关系，避免列反减法顺序。
【难度系数】
0.7
5. 音乐家和数学家们经过长期合作研究并发现：琴弦所发出声音高低取决于琴弦的长度，如果几根琴弦长度之比能表示成整数的比，那么它们发出的声音就很和谐。如三根弦长之比为15：12：10，它们发出的声音就是简谱中的1，3，7。计算表明，这三个数的倒数有如下关系：$\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12}$，这样的三个数我们称之为一组和谐数。假设现有一组和谐数x，6，4，则x的值为
12
。答案
5. 12
解析
【分析】
首先需要准确理解题目给出的和谐数的定义规律：若三个数a、b、c为一组和谐数，则满足$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$。本题给出的和谐数为x、6、4，对应a=x，b=6，c=4，将三个数代入上述关系式即可得到关于x的分式方程，按照分式方程的求解步骤计算，最后验根即可得到x的取值。
【解析】
根据和谐数的定义，可列方程：
$\frac{1}{6} - \frac{1}{x} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$
1. 先计算等式右侧：
$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
2. 整理方程得：
$\frac{1}{6} - \frac{1}{x} = \frac{1}{12}$
3. 移项计算$\frac{1}{x}$：
$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$
4. 两边取倒数得$x=12$
5. 检验：当$x=12$时，原方程所有分母均不为0，故$x=12$是原分式方程的解。
【答案】
12
【知识点】
新定义运算，分式方程解法，倒数运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题关键是准确提取题干给出的运算规则，将陌生的新定义问题转化为已学的分式方程求解问题，解题时注意分式方程需要检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
首先需要准确理解题目给出的和谐数的定义规律：若三个数a、b、c为一组和谐数，则满足$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$。本题给出的和谐数为x、6、4，对应a=x，b=6，c=4，将三个数代入上述关系式即可得到关于x的分式方程，按照分式方程的求解步骤计算，最后验根即可得到x的取值。
【解析】
根据和谐数的定义，可列方程：
$\frac{1}{6} - \frac{1}{x} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$
1. 先计算等式右侧：
$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
2. 整理方程得：
$\frac{1}{6} - \frac{1}{x} = \frac{1}{12}$
3. 移项计算$\frac{1}{x}$：
$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}$
4. 两边取倒数得$x=12$
5. 检验：当$x=12$时，原方程所有分母均不为0，故$x=12$是原分式方程的解。
【答案】
12
【知识点】
新定义运算，分式方程解法，倒数运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题关键是准确提取题干给出的运算规则，将陌生的新定义问题转化为已学的分式方程求解问题，解题时注意分式方程需要检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
