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1. 若m，n均不为0，将分式$\frac{m^2 - n^2}{m + n}$中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值 （
A.变为原来的2倍
B.变为原来的4倍
C.变为原来的$\frac{1}{2}$
D.不变
A
）A.变为原来的2倍
B.变为原来的4倍
C.变为原来的$\frac{1}{2}$
D.不变
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先明确变量的变化规则：m、n都变为原来的2倍，即新的变量为2m、2n；接下来将新变量代入分式，利用因式分解和约分化简新分式；最后将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。注意不要只看分子的变化忽略分母的变化，要整体计算后再对比。
【解析】
原分式为$\frac{m^2 - n^2}{m + n}$（已知m，n均不为0，且$m+n\ne0$）。
当m、n都变为原来的2倍时，将分式中的m替换为2m，n替换为2n，得到新分式：
$\frac{(2m)^2 - (2n)^2}{2m + 2n}$
分别化简分子和分母：
分子：$(2m)^2 - (2n)^2 = 4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2)$
分母：$2m + 2n = 2(m + n)$
代入新分式整理得：
$\frac{4(m^2 - n^2)}{2(m + n)} = 2×\frac{m^2 - n^2}{m + n}$
因此新分式的值是原分式值的2倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式、分式化简
【点评】
本题是分式相关的基础题型，核心是掌握变量变化后代入化简的方法，解题时要注意将分子分母同步变化后再约分对比，避免仅根据分子或分母的单方面变化判断结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确变量的变化规则：m、n都变为原来的2倍，即新的变量为2m、2n；接下来将新变量代入分式，利用因式分解和约分化简新分式；最后将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。注意不要只看分子的变化忽略分母的变化，要整体计算后再对比。
【解析】
原分式为$\frac{m^2 - n^2}{m + n}$（已知m，n均不为0，且$m+n\ne0$）。
当m、n都变为原来的2倍时，将分式中的m替换为2m，n替换为2n，得到新分式：
$\frac{(2m)^2 - (2n)^2}{2m + 2n}$
分别化简分子和分母：
分子：$(2m)^2 - (2n)^2 = 4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2)$
分母：$2m + 2n = 2(m + n)$
代入新分式整理得：
$\frac{4(m^2 - n^2)}{2(m + n)} = 2×\frac{m^2 - n^2}{m + n}$
因此新分式的值是原分式值的2倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式、分式化简
【点评】
本题是分式相关的基础题型，核心是掌握变量变化后代入化简的方法，解题时要注意将分子分母同步变化后再约分对比，避免仅根据分子或分母的单方面变化判断结果。
【难度系数】
0.8
2. 计算$\frac{6}{x^2 -9}+\frac{1}{x+3}$的结果是（
A.$\frac{1}{x-3}$
B.$\frac{1}{x+3}$
C.$\frac{x}{x+3}$
D.2
A
）A.$\frac{1}{x-3}$
B.$\frac{1}{x+3}$
C.$\frac{x}{x+3}$
D.2
答案
2. A
解析
【分析】
本题是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对各个分式的分母因式分解，找到最简公分母；第二步将异分母分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则，分母不变分子相加；第四步对得到的分式约分，化为最简分式后匹配选项即可。
【解析】
解：首先对第一个分式的分母因式分解，由平方差公式得：$x^2-9=(x+3)(x-3)$
因此两个分式的最简公分母为$(x+3)(x-3)$，对第二个分式通分：
$\frac{1}{x+3}=\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}$
代入原式计算：
$\frac{6}{x^2 -9}+\frac{1}{x+3}$
$=\frac{6}{(x+3)(x-3)}+\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{6+x-3}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}$
约去分子分母的公因式$x+3$（隐含$x≠\pm3$，保证分式有意义），得：
$=\frac{1}{x-3}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式因式分解、异分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算流程，解题的关键是准确分解分母找到最简公分母，运算后注意要将结果约分为最简分式。
【难度系数】
0.8
本题是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对各个分式的分母因式分解，找到最简公分母；第二步将异分母分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则，分母不变分子相加；第四步对得到的分式约分，化为最简分式后匹配选项即可。
【解析】
解：首先对第一个分式的分母因式分解，由平方差公式得：$x^2-9=(x+3)(x-3)$
因此两个分式的最简公分母为$(x+3)(x-3)$，对第二个分式通分：
$\frac{1}{x+3}=\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}$
代入原式计算：
$\frac{6}{x^2 -9}+\frac{1}{x+3}$
$=\frac{6}{(x+3)(x-3)}+\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{6+x-3}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}$
约去分子分母的公因式$x+3$（隐含$x≠\pm3$，保证分式有意义），得：
$=\frac{1}{x-3}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式因式分解、异分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算流程，解题的关键是准确分解分母找到最简公分母，运算后注意要将结果约分为最简分式。
【难度系数】
0.8
3. 化简：$\frac{2x}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 + x}{x^2 + 2x + 1} =$
$\frac{2}{x-1}$
。答案
3. $\frac{2}{x-1}$
解析
【分析】
要化简这个分式运算式，需按照分式除法的运算规则逐步计算：首先，分式除法运算要先转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；其次，要对式子中出现的多项式进行因式分解（可使用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法），方便后续约分；最后将分子分母的公因式全部约去，得到最简结果即可。
【解析】
解：根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{2x}{x^2 - 1} × \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + x}$
对各多项式因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，$x^2+x=x(x+1)$，代入得：
$=\frac{2x}{(x+1)(x-1)} × \frac{(x+1)^2}{x(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x$和$(x+1)^2$：
$=\frac{2}{x-1}$
【答案】
$\frac{2}{x-1}$
【知识点】
分式乘除法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题的核心是正确将除法转化为乘法，同时熟练掌握常见多项式的因式分解方法，约分过程中要注意公因式要找全，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要化简这个分式运算式，需按照分式除法的运算规则逐步计算：首先，分式除法运算要先转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；其次，要对式子中出现的多项式进行因式分解（可使用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法），方便后续约分；最后将分子分母的公因式全部约去，得到最简结果即可。
【解析】
解：根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{2x}{x^2 - 1} × \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + x}$
对各多项式因式分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，$x^2+x=x(x+1)$，代入得：
$=\frac{2x}{(x+1)(x-1)} × \frac{(x+1)^2}{x(x+1)}$
约去分子分母的公因式$x$和$(x+1)^2$：
$=\frac{2}{x-1}$
【答案】
$\frac{2}{x-1}$
【知识点】
分式乘除法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题的核心是正确将除法转化为乘法，同时熟练掌握常见多项式的因式分解方法，约分过程中要注意公因式要找全，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
4. 化简：$(x + 2 - \dfrac{x - 4}{x - 2}) ÷ \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}$。
答案
原式=$\frac{x}{x-1}$。
解析
【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题遵循“先括号内，后括号外”的运算顺序：①先处理括号内的运算：将整式x+2看作分母为1的分式，与后面的分式通分，最简公分母为x-2，计算出括号内的结果；②再处理除法运算：根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数；③对分子、分母中能因式分解的多项式先因式分解，再约去公因式即可得到最简结果，计算时需注意去括号的符号变化。
【解析】
解：原式$=[\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\dfrac{x-4}{x-2}] ÷ \dfrac{(x-1)^2}{x-2}$
先计算括号内的减法，同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\dfrac{(x^2-4)-(x-4)}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
去括号化简分子：
$=\dfrac{x^2-4-x+4}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x^2-x}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
对分子因式分解：
$=\dfrac{x(x-1)}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
约去公因式$x-2$和$x-1$：
$=\dfrac{x}{x-1}$
【答案】
$\dfrac{x}{x-1}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，重点考察分式运算的顺序、通分约分的方法以及因式分解的应用，计算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致结果出错，熟练掌握因式分解的方法是快速约分的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于分式的混合运算题，解题遵循“先括号内，后括号外”的运算顺序：①先处理括号内的运算：将整式x+2看作分母为1的分式，与后面的分式通分，最简公分母为x-2，计算出括号内的结果；②再处理除法运算：根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数；③对分子、分母中能因式分解的多项式先因式分解，再约去公因式即可得到最简结果，计算时需注意去括号的符号变化。
【解析】
解：原式$=[\dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\dfrac{x-4}{x-2}] ÷ \dfrac{(x-1)^2}{x-2}$
先计算括号内的减法，同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\dfrac{(x^2-4)-(x-4)}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
去括号化简分子：
$=\dfrac{x^2-4-x+4}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{x^2-x}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
对分子因式分解：
$=\dfrac{x(x-1)}{x-2} × \dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
约去公因式$x-2$和$x-1$：
$=\dfrac{x}{x-1}$
【答案】
$\dfrac{x}{x-1}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，重点考察分式运算的顺序、通分约分的方法以及因式分解的应用，计算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致结果出错，熟练掌握因式分解的方法是快速约分的关键。
【难度系数】
0.7
5. 先化简，再求值：$(1 - \dfrac{3}{x+2}) ÷ \dfrac{x^2 -2x +1}{x^2 -4}$，其中$x=(\dfrac{1}{4})^{-1}$。
答案
解：原式=$\frac{x-2}{x-1}$。
当$x=(\frac{1}{4})^{-1}=4$时，原式=$\frac{4-2}{4-1}=\frac{2}{3}$。
当$x=(\frac{1}{4})^{-1}=4$时，原式=$\frac{4-2}{4-1}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简、再求值”的解题原则：第一步先计算括号内的分式减法，把1转化为分母为$x+2$的分式，通分后算出括号内的结果；第二步将分式除法转换为乘法，依据是除以一个分式等于乘以它的倒数；第三步对分子、分母中的多项式分别因式分解，约去公因式得到最简分式；第四步先根据负整数指数幂的运算规则算出$x$的值，再代入最简分式计算最终结果，代入前注意验证$x$的值使原分式所有分母不为0即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的减法：
$1-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x+2-3}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}$
2. 除法变乘法，同时对多项式因式分解：
由平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，由完全平方公式得$x^2-2x+1=(x-1)^2$
原式$=\dfrac{x-1}{x+2} ÷ \dfrac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-1}{x+2} × \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
3. 约分：约去公因式$x-1$和$x+2$，得最简结果：
原式$=\dfrac{x-2}{x-1}$
4. 计算$x$的值并代入：
$x=(\dfrac{1}{4})^{-1}=4$，且$x=4$时原分式分母均不为0，代入得：
原式$=\dfrac{4-2}{4-1}=\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，负整数指数幂运算
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，既考查了分式的通分、约分规则，也考查了因式分解和负指数幂的运算，先化简再代入的思路能大幅降低计算量，解题时要注意先对多项式正确因式分解再约分，同时代入的数值必须保证原分式有意义。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，遵循“先化简、再求值”的解题原则：第一步先计算括号内的分式减法，把1转化为分母为$x+2$的分式，通分后算出括号内的结果；第二步将分式除法转换为乘法，依据是除以一个分式等于乘以它的倒数；第三步对分子、分母中的多项式分别因式分解，约去公因式得到最简分式；第四步先根据负整数指数幂的运算规则算出$x$的值，再代入最简分式计算最终结果，代入前注意验证$x$的值使原分式所有分母不为0即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的减法：
$1-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x+2}{x+2}-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x+2-3}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}$
2. 除法变乘法，同时对多项式因式分解：
由平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，由完全平方公式得$x^2-2x+1=(x-1)^2$
原式$=\dfrac{x-1}{x+2} ÷ \dfrac{(x-1)^2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-1}{x+2} × \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-1)^2}$
3. 约分：约去公因式$x-1$和$x+2$，得最简结果：
原式$=\dfrac{x-2}{x-1}$
4. 计算$x$的值并代入：
$x=(\dfrac{1}{4})^{-1}=4$，且$x=4$时原分式分母均不为0，代入得：
原式$=\dfrac{4-2}{4-1}=\dfrac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，负整数指数幂运算
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，既考查了分式的通分、约分规则，也考查了因式分解和负指数幂的运算，先化简再代入的思路能大幅降低计算量，解题时要注意先对多项式正确因式分解再约分，同时代入的数值必须保证原分式有意义。
【难度系数】
0.8
6. 解分式方程：
(1)$\frac{2-x}{3+x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{x+3}$；
(2)$\frac{3}{x-1}-\frac{x+2}{x(x-1)}=0$。
(1)$\frac{2-x}{3+x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{x+3}$；
(2)$\frac{3}{x-1}-\frac{x+2}{x(x-1)}=0$。
答案
(1)$x=-\frac{1}{3}$。
(2)原分式方程无解。
(2)原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心是利用转化思想，将分式方程化为整式方程求解，解题思路遵循固定步骤：①先确定各分母的最简公分母，明确分母不为0的限制条件；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的取值；④必须验根：将所求值代入最简公分母，若公分母为0则该值是增根，需舍去，若公分母不为0则为原方程的解。
(1)题分母为$x+3$和2，最简公分母是$2(x+3)$，注意$x≠-3$；(2)题分母为$x-1$和$x(x-1)$，最简公分母是$x(x-1)$，注意$x≠0$且$x≠1$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$\frac{2-x}{3+x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{x+3}$的最简公分母为$2(x+3)$，且$x≠-3$。
方程两边同时乘$2(x+3)$，得：
$2(2-x) = (x+3) + 2$
展开整理：$4 - 2x = x + 5$
移项合并同类项：$-3x = 1$
解得：$x=-\frac{1}{3}$
检验：将$x=-\frac{1}{3}$代入$2(x+3)$，得$2×(-\frac{1}{3}+3)=\frac{16}{3}≠0$，所以$x=-\frac{1}{3}$是原方程的解。
(2) 方程$\frac{3}{x-1}-\frac{x+2}{x(x-1)}=0$的最简公分母为$x(x-1)$，且$x≠0$，$x≠1$。
方程两边同时乘$x(x-1)$，得：
$3x - (x+2) = 0$
展开整理：$2x - 2 = 0$
解得：$x=1$
检验：将$x=1$代入$x(x-1)$，得$1×(1-1)=0$，所以$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{3}$；(2)原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的解法，验根，整式方程求解
【点评】
本题是分式方程的典型基础题，涵盖了分式方程有解和增根无解两种常见情况，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，且必须进行验根，这是解分式方程的高频易错点。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心是利用转化思想，将分式方程化为整式方程求解，解题思路遵循固定步骤：①先确定各分母的最简公分母，明确分母不为0的限制条件；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的取值；④必须验根：将所求值代入最简公分母，若公分母为0则该值是增根，需舍去，若公分母不为0则为原方程的解。
(1)题分母为$x+3$和2，最简公分母是$2(x+3)$，注意$x≠-3$；(2)题分母为$x-1$和$x(x-1)$，最简公分母是$x(x-1)$，注意$x≠0$且$x≠1$，按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$\frac{2-x}{3+x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{x+3}$的最简公分母为$2(x+3)$，且$x≠-3$。
方程两边同时乘$2(x+3)$，得：
$2(2-x) = (x+3) + 2$
展开整理：$4 - 2x = x + 5$
移项合并同类项：$-3x = 1$
解得：$x=-\frac{1}{3}$
检验：将$x=-\frac{1}{3}$代入$2(x+3)$，得$2×(-\frac{1}{3}+3)=\frac{16}{3}≠0$，所以$x=-\frac{1}{3}$是原方程的解。
(2) 方程$\frac{3}{x-1}-\frac{x+2}{x(x-1)}=0$的最简公分母为$x(x-1)$，且$x≠0$，$x≠1$。
方程两边同时乘$x(x-1)$，得：
$3x - (x+2) = 0$
展开整理：$2x - 2 = 0$
解得：$x=1$
检验：将$x=1$代入$x(x-1)$，得$1×(1-1)=0$，所以$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=-\frac{1}{3}$；(2)原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的解法，验根，整式方程求解
【点评】
本题是分式方程的典型基础题，涵盖了分式方程有解和增根无解两种常见情况，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，且必须进行验根，这是解分式方程的高频易错点。
【难度系数】
0.7
7. 关于$x$的分式方程$\dfrac{x+a}{x-3}-\dfrac{7}{x}=1$。
(1)若方程的增根为$x=3$，求$a$的值；
(2)若方程无解，求$a$的值。
(1)若方程的增根为$x=3$，求$a$的值；
(2)若方程无解，求$a$的值。
答案
解：(1)$a=-3$。
(2)去分母并整理，得$(a-4)x=-21$。
①当$a-4=0$时，该整式方程无解，此时$a=4$；
②分式方程有增根，原方程无解。
由(1)，得此时$a=-3$。
综上所述，$a=4$或$a=-3$。
(2)去分母并整理，得$(a-4)x=-21$。
①当$a-4=0$时，该整式方程无解，此时$a=4$；
②分式方程有增根，原方程无解。
由(1)，得此时$a=-3$。
综上所述，$a=4$或$a=-3$。
解析
【分析】
（1）增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，且使原分式方程分母为0。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再把已知增根代入整式方程即可求出a的值。
（2）分式方程无解分两种情况：一是去分母后的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但解是原分式方程的增根。解题时需分类讨论，避免漏解。
【解析】
先将原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x(x-3)$（$x≠0$且$x≠3$），得：
$x(x+a)-7(x-3)=x(x-3)$
展开整理：
$x^2+ax-7x+21=x^2-3x$
消去$x^2$，移项合并同类项得：
$(a-4)x=-21$
(1)已知方程增根为$x=3$，将$x=3$代入整式方程$(a-4)x=-21$，得：
$3(a-4)=-21$
解得$a-4=-7$，即$a=-3$。
(2)分两种情况讨论方程无解的情形：
①当整式方程本身无解时，一次项系数为0：
$a-4=0$，即$a=4$，此时方程变为$0=-21$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
②当整式方程的解是原分式方程的增根时，原分式方程无解：
原分式方程的增根为$x=0$或$x=3$：
若$x=0$，代入$(a-4)x=-21$得$0=-21$，不成立，无对应a值；
若$x=3$，由(1)可知此时$a=-3$。
综上，$a$的值为$4$或$-3$。
【答案】
(1)$a=-3$；(2)$a=4$或$a=-3$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程增根和无解的区别，解题关键是明确分式方程无解的两种情形，避免遗漏整式方程本身无解的情况，锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
（1）增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，且使原分式方程分母为0。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再把已知增根代入整式方程即可求出a的值。
（2）分式方程无解分两种情况：一是去分母后的整式方程本身无解；二是整式方程有解，但解是原分式方程的增根。解题时需分类讨论，避免漏解。
【解析】
先将原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x(x-3)$（$x≠0$且$x≠3$），得：
$x(x+a)-7(x-3)=x(x-3)$
展开整理：
$x^2+ax-7x+21=x^2-3x$
消去$x^2$，移项合并同类项得：
$(a-4)x=-21$
(1)已知方程增根为$x=3$，将$x=3$代入整式方程$(a-4)x=-21$，得：
$3(a-4)=-21$
解得$a-4=-7$，即$a=-3$。
(2)分两种情况讨论方程无解的情形：
①当整式方程本身无解时，一次项系数为0：
$a-4=0$，即$a=4$，此时方程变为$0=-21$，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解。
②当整式方程的解是原分式方程的增根时，原分式方程无解：
原分式方程的增根为$x=0$或$x=3$：
若$x=0$，代入$(a-4)x=-21$得$0=-21$，不成立，无对应a值；
若$x=3$，由(1)可知此时$a=-3$。
综上，$a$的值为$4$或$-3$。
【答案】
(1)$a=-3$；(2)$a=4$或$a=-3$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程增根和无解的区别，解题关键是明确分式方程无解的两种情形，避免遗漏整式方程本身无解的情况，锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
8. 如果关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x+2}{2x-4}+\frac{5-a}{x-2}=\frac{a}{2}$ 的解为正数，求常数 $ a $ 的取值范围。
答案
常数$a$的取值范围为$a＞1$且$a≠7$。
解析
【分析】
解决这类含参数的分式方程解的取值范围问题，思路分三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数$a$表示的方程的解；第二步根据“解为正数”的要求列出关于$a$的不等式；第三步不要忽略分式方程的隐含条件：分母不能为0，也就是解不能是原方程的增根，再列出对应的限制不等式，最后取两个不等式的公共解集就是$a$的取值范围。
【解析】
1. 先整理原方程，确定最简公分母：
原方程中$2x-4=2(x-2)$，因此最简公分母为$2(x-2)$，且分母不为0，即$x≠2$。
2. 去分母化为整式方程：
方程两边同时乘$2(x-2)$得：
$x+2 + 2(5-a) = a(x-2)$
3. 求解整式方程，用$a$表示$x$：
展开整理得：
$x+2 +10 -2a = ax -2a$
移项合并同类项：
$x - ax = -2a -12 +2a$
$x(1-a) = -12$
解得：$x=\frac{12}{a-1}$
4. 根据条件列不等式求解：
① 因为方程的解为正数，所以$\frac{12}{a-1}＞0$，分子12为正数，因此分母$a-1＞0$，解得$a＞1$。
② 因为分母不能为0，即$x≠2$，所以$\frac{12}{a-1}≠2$，解得$a-1≠6$，即$a≠7$。
综上，$a$的取值范围是$a＞1$且$a≠7$。
【答案】
$a＞1$且$a≠7$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程含参问题的常规考法，易错点是容易忽略分母不为0的隐含限制，漏掉$a≠7$的情况，解题时要注意先求含参解，再结合解的要求和增根限制综合求解。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的分式方程解的取值范围问题，思路分三步：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数$a$表示的方程的解；第二步根据“解为正数”的要求列出关于$a$的不等式；第三步不要忽略分式方程的隐含条件：分母不能为0，也就是解不能是原方程的增根，再列出对应的限制不等式，最后取两个不等式的公共解集就是$a$的取值范围。
【解析】
1. 先整理原方程，确定最简公分母：
原方程中$2x-4=2(x-2)$，因此最简公分母为$2(x-2)$，且分母不为0，即$x≠2$。
2. 去分母化为整式方程：
方程两边同时乘$2(x-2)$得：
$x+2 + 2(5-a) = a(x-2)$
3. 求解整式方程，用$a$表示$x$：
展开整理得：
$x+2 +10 -2a = ax -2a$
移项合并同类项：
$x - ax = -2a -12 +2a$
$x(1-a) = -12$
解得：$x=\frac{12}{a-1}$
4. 根据条件列不等式求解：
① 因为方程的解为正数，所以$\frac{12}{a-1}＞0$，分子12为正数，因此分母$a-1＞0$，解得$a＞1$。
② 因为分母不能为0，即$x≠2$，所以$\frac{12}{a-1}≠2$，解得$a-1≠6$，即$a≠7$。
综上，$a$的取值范围是$a＞1$且$a≠7$。
【答案】
$a＞1$且$a≠7$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程含参问题的常规考法，易错点是容易忽略分母不为0的隐含限制，漏掉$a≠7$的情况，解题时要注意先求含参解，再结合解的要求和增根限制综合求解。
【难度系数】
0.6
9. 某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣。已知A款钥匙扣的单价是B款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个。求这两款钥匙扣的单价。
答案
A款钥匙扣的单价是15元，B款钥匙扣的单价是12元。
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题时首先要找准核心等量关系：用120元购买B款钥匙扣的数量减去用105元购买A款钥匙扣的数量等于3个。我们可以先设B款钥匙扣的单价为未知数，根据A、B两款单价的倍数关系表示出A款的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两款钥匙扣的购买数量，代入等量关系列出分式方程，求解后注意检验解是否符合原方程和实际意义，最后求出A款的单价即可。
【解析】
解：设B款钥匙扣的单价为$x$元，则A款钥匙扣的单价为$1.25x$元。
根据题意列方程得：
$\frac{120}{x} - \frac{105}{1.25x} = 3$
方程两边同乘$1.25x$去分母，得：
$120×1.25 - 105 = 3×1.25x$
计算得：$150 - 105 = 3.75x$
即：$45 = 3.75x$
解得：$x = 12$
检验：当$x=12$时，$1.25x=15≠0$，所以$x=12$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A款钥匙扣的单价为：$1.25×12 = 15$（元）
【答案】
A款钥匙扣的单价是15元，B款钥匙扣的单价是12元。
【知识点】
分式方程的应用、列方程解应用题、分式方程的检验
【点评】
本题是典型的购物类分式方程应用题，解题的关键是梳理题意找准等量关系，求解时要注意分式方程必须验根，既要验证解是否为原方程的解，也要验证解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题时首先要找准核心等量关系：用120元购买B款钥匙扣的数量减去用105元购买A款钥匙扣的数量等于3个。我们可以先设B款钥匙扣的单价为未知数，根据A、B两款单价的倍数关系表示出A款的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两款钥匙扣的购买数量，代入等量关系列出分式方程，求解后注意检验解是否符合原方程和实际意义，最后求出A款的单价即可。
【解析】
解：设B款钥匙扣的单价为$x$元，则A款钥匙扣的单价为$1.25x$元。
根据题意列方程得：
$\frac{120}{x} - \frac{105}{1.25x} = 3$
方程两边同乘$1.25x$去分母，得：
$120×1.25 - 105 = 3×1.25x$
计算得：$150 - 105 = 3.75x$
即：$45 = 3.75x$
解得：$x = 12$
检验：当$x=12$时，$1.25x=15≠0$，所以$x=12$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则A款钥匙扣的单价为：$1.25×12 = 15$（元）
【答案】
A款钥匙扣的单价是15元，B款钥匙扣的单价是12元。
【知识点】
分式方程的应用、列方程解应用题、分式方程的检验
【点评】
本题是典型的购物类分式方程应用题，解题的关键是梳理题意找准等量关系，求解时要注意分式方程必须验根，既要验证解是否为原方程的解，也要验证解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
