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例1 体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表队进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数(单位：个)分别为3，4，4，4，5。求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定。
新知生成：离差平方和是各个数据与它们平均数之
归纳总结
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小)。
方差越大，数据离散程度越大，数据的波动越大；方差越小，数据离散程度越小，数据的波动越小。
新知生成：离差平方和是各个数据与它们平均数之
差
的平方和，即$ S^2=(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2 $。方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即$ s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2] $。其中，$\overline{x}$是$x_1, x_2, \dots, x_n$的平均数
。而标准差则是方差的算术平方根
，记为$s$。归纳总结
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小)。
方差越大，数据离散程度越大，数据的波动越大；方差越小，数据离散程度越小，数据的波动越小。
答案
解：乙组同学进球个数的平均数为$\frac{1}{5}×(3+4×3+5)=4$(个)，
∴乙组同学进球个数的离差平方和为$(3-4)^2+(4-4)^2×3+(5-4)^2=2$。
∵4＞2，甲、乙两组人数相同，
∴乙组同学的比赛成绩更稳定。
新知生成 差 平均数 算术平方根
∴乙组同学进球个数的离差平方和为$(3-4)^2+(4-4)^2×3+(5-4)^2=2$。
∵4＞2，甲、乙两组人数相同，
∴乙组同学的比赛成绩更稳定。
新知生成 差 平均数 算术平方根
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，要计算乙组的离差平方和，需先根据平均数计算公式求出乙组进球个数的平均数；第二步，根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方之和，得到乙组的离差平方和；第三步，已知两组人数相同、平均数相同，对比两组离差平方和的大小，离差平方和越小对应方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。此外新知生成的空格可直接对照题干给出的三个概念的定义填写。
【解析】
1. 计算乙组进球个数的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(3+4+4+4+5)=4$（个）
2. 计算乙组的离差平方和：
根据离差平方和公式$S^2=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$，代入数据得：
$S^2_乙=(3-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+0+0+1=2$
3. 判断成绩稳定性：
已知甲组离差平方和为4，$4＞2$，且甲乙两组人数相同、平均数相同，因此乙组的方差更小，数据波动更小，比赛成绩更稳定。
4. 新知生成填空：
根据离差平方和定义，第一个空填“差”；根据方差定义，公式中的$\overline{x}$是数据的平均数，第二个空填“平均数”；根据标准差定义，标准差是方差的算术平方根，第三个空填“算术平方根”。
【答案】
乙组同学进球个数的离差平方和为2，乙组的比赛成绩更稳定；新知生成依次填：差、平均数、算术平方根
【知识点】
平均数计算；离差平方和；方差的意义
【点评】
本题考查统计基础概念的应用，解题关键是熟练掌握平均数、离差平方和的计算方法，理解方差与数据稳定性的关系，整体难度较低，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，要计算乙组的离差平方和，需先根据平均数计算公式求出乙组进球个数的平均数；第二步，根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方之和，得到乙组的离差平方和；第三步，已知两组人数相同、平均数相同，对比两组离差平方和的大小，离差平方和越小对应方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。此外新知生成的空格可直接对照题干给出的三个概念的定义填写。
【解析】
1. 计算乙组进球个数的平均数：
$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(3+4+4+4+5)=4$（个）
2. 计算乙组的离差平方和：
根据离差平方和公式$S^2=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$，代入数据得：
$S^2_乙=(3-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2=1+0+0+0+1=2$
3. 判断成绩稳定性：
已知甲组离差平方和为4，$4＞2$，且甲乙两组人数相同、平均数相同，因此乙组的方差更小，数据波动更小，比赛成绩更稳定。
4. 新知生成填空：
根据离差平方和定义，第一个空填“差”；根据方差定义，公式中的$\overline{x}$是数据的平均数，第二个空填“平均数”；根据标准差定义，标准差是方差的算术平方根，第三个空填“算术平方根”。
【答案】
乙组同学进球个数的离差平方和为2，乙组的比赛成绩更稳定；新知生成依次填：差、平均数、算术平方根
【知识点】
平均数计算；离差平方和；方差的意义
【点评】
本题考查统计基础概念的应用，解题关键是熟练掌握平均数、离差平方和的计算方法，理解方差与数据稳定性的关系，整体难度较低，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
1. 已知一个样本数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差和标准差分别是（
A.$2,\sqrt{2}$
B.$3,\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2},2$
D.$\sqrt{3},3$
A
）A.$2,\sqrt{2}$
B.$3,\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2},2$
D.$\sqrt{3},3$
答案
1. A
解析
【分析】
要计算这组数据的方差和标准差，首先需要先求出这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差，最后根据标准差是方差的算术平方根求出标准差，再匹配选项即可。具体步骤为：第一步计算平均数，第二步代入方差公式求方差，第三步开方求标准差。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=\frac{20}{5}=4$
再根据方差公式计算方差$s^2$：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
代入数据得：
$s^2=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2}{5}$
$=\frac{(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2}{5}$
$=\frac{4+1+0+1+4}{5}=\frac{10}{5}=2$
标准差是方差的算术平方根，因此标准差$s=\sqrt{2}$
所以这组数据的方差是2，标准差是$\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、标准差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差与标准差的计算方法，熟练掌握相关计算公式是解题的关键，计算过程中注意平方项的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的方差和标准差，首先需要先求出这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差，最后根据标准差是方差的算术平方根求出标准差，再匹配选项即可。具体步骤为：第一步计算平均数，第二步代入方差公式求方差，第三步开方求标准差。
【解析】
首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=\frac{20}{5}=4$
再根据方差公式计算方差$s^2$：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
代入数据得：
$s^2=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2}{5}$
$=\frac{(-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2}{5}$
$=\frac{4+1+0+1+4}{5}=\frac{10}{5}=2$
标准差是方差的算术平方根，因此标准差$s=\sqrt{2}$
所以这组数据的方差是2，标准差是$\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、标准差的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方差与标准差的计算方法，熟练掌握相关计算公式是解题的关键，计算过程中注意平方项的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
2. 数据$m$，1，2，3，6的平均数为3，则这组数据的方差是（
A.12
B.2.4
C.14
D.2.8
D
）A.12
B.2.4
C.14
D.2.8
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据平均数的定义，先求出未知数据$m$的值，平均数等于所有数据之和除以数据的个数，已知平均数和其余四个数，可列算式算出$m$；第二步，将所有数据代入方差公式计算方差，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，牢记公式代入数值计算即可。
【解析】
第一步：求未知数据$m$的值
已知这组数据的平均数为3，数据总个数是5，根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，可得这组数据的总和为：$3×5=15$
则$m=15 - 1 - 2 - 3 - 6=3$
第二步：计算方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$\bar{x}=3$，$n=5$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(3-3)^2+(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(6-3)^2]$
$=\frac{1}{5}[0 + 4 + 1 + 0 + 9]$
$=\frac{14}{5}=2.8$
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的基础计算，解题的核心是先利用平均数的性质求出未知参数，再代入方差公式求解，牢记相关计算公式是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，根据平均数的定义，先求出未知数据$m$的值，平均数等于所有数据之和除以数据的个数，已知平均数和其余四个数，可列算式算出$m$；第二步，将所有数据代入方差公式计算方差，方差是各数据与平均数差的平方的平均数，牢记公式代入数值计算即可。
【解析】
第一步：求未知数据$m$的值
已知这组数据的平均数为3，数据总个数是5，根据平均数公式$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，可得这组数据的总和为：$3×5=15$
则$m=15 - 1 - 2 - 3 - 6=3$
第二步：计算方差
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$\bar{x}=3$，$n=5$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(3-3)^2+(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(6-3)^2]$
$=\frac{1}{5}[0 + 4 + 1 + 0 + 9]$
$=\frac{14}{5}=2.8$
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的基础计算，解题的核心是先利用平均数的性质求出未知参数，再代入方差公式求解，牢记相关计算公式是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论错误的是 （
A.最高成绩是9.4环
B.平均成绩是9环
C.这组成绩的众数是9环
D.这组成绩的方差是8.7
D
）A.最高成绩是9.4环
B.平均成绩是9环
C.这组成绩的众数是9环
D.这组成绩的方差是8.7
答案
3. D
解析
【分析】
解决本题的核心是先从折线统计图中提取甲队员10次射击的全部成绩，再依次结合最高成绩、平均成绩、众数、方差的定义对四个选项逐一验证，最终找出错误的结论。第一步先读取各次成绩：第1次9.4环，第2次8.4环，第3次9.2环，第4次9.2环，第5次8.8环，第6次9.0环，第7次8.6环，第8次9.0环，第9次9.0环，第10次9.4环，再分别计算对应统计量判断选项正误即可。
【解析】
首先提取10次射击成绩：9.4，8.4，9.2，9.2，8.8，9.0，8.6，9.0，9.0，9.4。
1. 验证A选项：观察数据可知最大值为9.4环，即最高成绩是9.4环，A结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：平均成绩=总成绩÷次数，总和为$9.4+8.4+9.2+9.2+8.8+9.0+8.6+9.0+9.0+9.4=90$，平均成绩为$90÷10=9$环，B结论正确，不符合题意。
3. 验证C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，其中9.0环共出现3次，出现次数最多，所以众数是9环，C结论正确，不符合题意。
4. 验证D选项：方差计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中平均数$\bar{x}=9$，代入得：
$s^2=\frac{1}{10}[(9.4-9)^2+(8.4-9)^2+(9.2-9)^2+(9.2-9)^2+(8.8-9)^2+(9-9)^2+(8.6-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2+(9.4-9)^2]$
$=\frac{1}{10}×(0.16+0.36+0.04+0.04+0.04+0+0.16+0+0+0.16)$
$=\frac{1}{10}×0.96=0.096$，显然方差不是8.7，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
折线统计图的应用；统计量的计算
【点评】
本题属于统计基础题，要求学生能准确从折线图中提取有效数据，熟练掌握平均数、众数、方差的定义和计算方法即可顺利解答，计算方差时注意不要漏项、错算。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先从折线统计图中提取甲队员10次射击的全部成绩，再依次结合最高成绩、平均成绩、众数、方差的定义对四个选项逐一验证，最终找出错误的结论。第一步先读取各次成绩：第1次9.4环，第2次8.4环，第3次9.2环，第4次9.2环，第5次8.8环，第6次9.0环，第7次8.6环，第8次9.0环，第9次9.0环，第10次9.4环，再分别计算对应统计量判断选项正误即可。
【解析】
首先提取10次射击成绩：9.4，8.4，9.2，9.2，8.8，9.0，8.6，9.0，9.0，9.4。
1. 验证A选项：观察数据可知最大值为9.4环，即最高成绩是9.4环，A结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：平均成绩=总成绩÷次数，总和为$9.4+8.4+9.2+9.2+8.8+9.0+8.6+9.0+9.0+9.4=90$，平均成绩为$90÷10=9$环，B结论正确，不符合题意。
3. 验证C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，其中9.0环共出现3次，出现次数最多，所以众数是9环，C结论正确，不符合题意。
4. 验证D选项：方差计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中平均数$\bar{x}=9$，代入得：
$s^2=\frac{1}{10}[(9.4-9)^2+(8.4-9)^2+(9.2-9)^2+(9.2-9)^2+(8.8-9)^2+(9-9)^2+(8.6-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2+(9.4-9)^2]$
$=\frac{1}{10}×(0.16+0.36+0.04+0.04+0.04+0+0.16+0+0+0.16)$
$=\frac{1}{10}×0.96=0.096$，显然方差不是8.7，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
折线统计图的应用；统计量的计算
【点评】
本题属于统计基础题，要求学生能准确从折线图中提取有效数据，熟练掌握平均数、众数、方差的定义和计算方法即可顺利解答，计算方差时注意不要漏项、错算。
【难度系数】
0.7
