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例2 某科技小组对A，B两款智能扫地机器人进行清扫效率测试，在相同测试环境下，各清扫5次，测得每分钟清扫面积(单位：dm²)如表：
款式 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数
A 95 90
85 100 a
B b 95 90 95 95 93
(1)表格中$a=$
(2)请计算B款机器人每分钟清扫面积的方差；
(3)A款机器人每分钟清扫面积的方差为26，根据两款机器人每分钟清扫面积的平均数与方差，判断哪款机器人的清扫效率更稳定，并说明理由。
款式 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数
A 95 90
85 100 aB b 95 90 95 95 93
(1)表格中$a=$
93
，$b=$90
；(2)请计算B款机器人每分钟清扫面积的方差；
(3)A款机器人每分钟清扫面积的方差为26，根据两款机器人每分钟清扫面积的平均数与方差，判断哪款机器人的清扫效率更稳定，并说明理由。
答案
(1) 93 90
(2)B款机器人每分钟清扫面积的方差为6。
(3)两款机器人的平均清扫效率相同，而B款机器人的方差更小，故B款机器人的清扫效率更稳定。
(2)B款机器人每分钟清扫面积的方差为6。
(3)两款机器人的平均清扫效率相同，而B款机器人的方差更小，故B款机器人的清扫效率更稳定。
解析
【分析】
(1) 求a时，根据平均数的定义，将A款5次测试成绩相加再除以测试次数5即可得到a的值；求b时，利用“总分数=平均数×次数”先算出B款5次测试的总分数，再减去已知的4次成绩就能求出b。
(2) 计算B款的方差，直接套用方差公式：先求出每个数据与平均数的差的平方，再计算这些平方值的平均数即可。
(3) 判断稳定性时，先比较两款的平均数，若平均数相同，方差越小说明数据波动越小，清扫效率越稳定，对比两款方差大小即可得出结论。
【解析】
(1) 计算a：
A款5次成绩总和为$95+90+95+85+100=465$，
则$a=465÷5=93$。
计算b：
B款5次成绩总和为$93×5=465$，
已知B款后4次成绩和为$95+90+95+95=375$，
则$b=465-375=90$。
(2) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$为平均数，n为数据个数），代入B款数据计算：
$\begin{aligned}s^2_B&=\frac{1}{5}×[(90-93)^2+(95-93)^2+(90-93)^2+(95-93)^2+(95-93)^2]\\&=\frac{1}{5}×(9+4+9+4+4)\\&=\frac{1}{5}×30\\&=6\end{aligned}$
(3) 两款机器人的平均清扫效率均为93，数值相同；B款的方差为6，小于A款的方差26，说明B款的清扫成绩波动更小，因此B款机器人的清扫效率更稳定。
【答案】
(1) 93；90
(2) B款机器人每分钟清扫面积的方差为6。
(3) 两款机器人的平均清扫效率相同，而B款机器人的方差更小，故B款机器人的清扫效率更稳定。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题，围绕平均数和方差的应用设置问题，核心是掌握两类统计量的计算方法，理解方差反映数据波动程度的实际意义，结合题意分析即可快速求解。
【难度系数】
0.85
(1) 求a时，根据平均数的定义，将A款5次测试成绩相加再除以测试次数5即可得到a的值；求b时，利用“总分数=平均数×次数”先算出B款5次测试的总分数，再减去已知的4次成绩就能求出b。
(2) 计算B款的方差，直接套用方差公式：先求出每个数据与平均数的差的平方，再计算这些平方值的平均数即可。
(3) 判断稳定性时，先比较两款的平均数，若平均数相同，方差越小说明数据波动越小，清扫效率越稳定，对比两款方差大小即可得出结论。
【解析】
(1) 计算a：
A款5次成绩总和为$95+90+95+85+100=465$，
则$a=465÷5=93$。
计算b：
B款5次成绩总和为$93×5=465$，
已知B款后4次成绩和为$95+90+95+95=375$，
则$b=465-375=90$。
(2) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$为平均数，n为数据个数），代入B款数据计算：
$\begin{aligned}s^2_B&=\frac{1}{5}×[(90-93)^2+(95-93)^2+(90-93)^2+(95-93)^2+(95-93)^2]\\&=\frac{1}{5}×(9+4+9+4+4)\\&=\frac{1}{5}×30\\&=6\end{aligned}$
(3) 两款机器人的平均清扫效率均为93，数值相同；B款的方差为6，小于A款的方差26，说明B款的清扫成绩波动更小，因此B款机器人的清扫效率更稳定。
【答案】
(1) 93；90
(2) B款机器人每分钟清扫面积的方差为6。
(3) 两款机器人的平均清扫效率相同，而B款机器人的方差更小，故B款机器人的清扫效率更稳定。
【知识点】
平均数的计算、方差的计算、方差的意义
【点评】
本题是统计类基础题，围绕平均数和方差的应用设置问题，核心是掌握两类统计量的计算方法，理解方差反映数据波动程度的实际意义，结合题意分析即可快速求解。
【难度系数】
0.85
1. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是$s^2_甲 = 2.1$，$s^2_乙 = 1.1$，$s^2_丙 = 1.5$，$s^2_丁 = 0.9$，这四名射击运动员成绩最稳定的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1. D
解析
【分析】要判断成绩最稳定的运动员，首先明确：当几组数据的平均水平相同时，可通过比较方差判断数据稳定性，方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。因此本题只需比较四名运动员的方差大小，找到方差最小的对象即可得到答案。
【解析】方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好。
已知四名运动员平均成绩相同，对比四组方差的大小：
$s^2_丁 = 0.9 ＜ s^2_乙 = 1.1 ＜ s^2_丙 = 1.5 ＜ s^2_甲 = 2.1$
因此丁的方差最小，成绩最稳定，应选D。
【答案】D
【知识点】方差的意义
【点评】本题是统计类基础考题，牢记方差越小数据越稳定的性质，即可快速求解。
【难度系数】0.9
【解析】方差是反映一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好。
已知四名运动员平均成绩相同，对比四组方差的大小：
$s^2_丁 = 0.9 ＜ s^2_乙 = 1.1 ＜ s^2_丙 = 1.5 ＜ s^2_甲 = 2.1$
因此丁的方差最小，成绩最稳定，应选D。
【答案】D
【知识点】方差的意义
【点评】本题是统计类基础考题，牢记方差越小数据越稳定的性质，即可快速求解。
【难度系数】0.9
2. 已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差$s^2_甲$，$s^2_乙$的描述正确的是（
A.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
B.$s^2_甲 = s^2_乙$
C.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
D.无法确定
C
）A.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
B.$s^2_甲 = s^2_乙$
C.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
D.无法确定
答案
2. C
解析
【分析】
解题首先要明确方差的核心作用：方差是衡量一组数据离散程度（波动大小）的统计量。已知两人平均成绩相同，此时只需对比两组数据的离散程度即可判断方差大小：数据越分散，说明偏离平均数的程度越大，方差越大；数据越集中，偏离平均数的程度越小，方差越小。观察甲乙两人的标枪落点：甲的落点分布范围更广、更分散，乙的落点相对更集中，因此可推出甲的方差更大。
【解析】
方差的意义为：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的离散程度越大、波动越剧烈；方差越小，数据的离散程度越小、波动越平稳。
由图可知：甲的10次标枪落点分布更分散，离散程度更大；乙的落点更集中，离散程度更小。又因为两人平均成绩相同，因此甲的方差大于乙的方差，即$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的意义；数据离散程度判断
【点评】
本题结合实际运动场景考查方差的应用，解题的关键是理解方差和数据离散程度的对应关系，无需计算，通过观察落点分布特征即可判断，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确方差的核心作用：方差是衡量一组数据离散程度（波动大小）的统计量。已知两人平均成绩相同，此时只需对比两组数据的离散程度即可判断方差大小：数据越分散，说明偏离平均数的程度越大，方差越大；数据越集中，偏离平均数的程度越小，方差越小。观察甲乙两人的标枪落点：甲的落点分布范围更广、更分散，乙的落点相对更集中，因此可推出甲的方差更大。
【解析】
方差的意义为：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，数据的离散程度越大、波动越剧烈；方差越小，数据的离散程度越小、波动越平稳。
由图可知：甲的10次标枪落点分布更分散，离散程度更大；乙的落点更集中，离散程度更小。又因为两人平均成绩相同，因此甲的方差大于乙的方差，即$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的意义；数据离散程度判断
【点评】
本题结合实际运动场景考查方差的应用，解题的关键是理解方差和数据离散程度的对应关系，无需计算，通过观察落点分布特征即可判断，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
3. 某校男子篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别为184，185，190，192，194。现用一名身高为170 cm的队员换下场上身高为190 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高 （
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变大
D.平均数变大，方差变小
B
）A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变大
D.平均数变大，方差变小
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要对比换人前后场上队员身高的平均数和方差的变化。首先明确两个统计量的定义：平均数是所有数据之和除以数据个数，反映数据的平均水平；方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，反映数据的波动大小。我们可以先分别计算换人前、后的平均数和方差，再对比变化得出结论；也可以通过数据特征快速判断：换入的队员身高低于换下的队员身高，数据总和减小、个数不变，因此平均数变小；换下的190cm接近原平均身高，换入的170cm远低于新平均身高，数据离散程度变大，因此方差变大。
【解析】
步骤1：计算换人前的平均数
原5名队员身高总和：$184+185+190+192+194=945\ \mathrm{cm}$
原平均数：$\overline{x}_原=\frac{945}{5}=189\ \mathrm{cm}$
步骤2：计算换人后的平均数
换人后身高总和：$945-190+170=925\ \mathrm{cm}$
新平均数：$\overline{x}_新=\frac{925}{5}=185\ \mathrm{cm}$
因为$185＜189$，所以平均数变小。
步骤3：计算换人前的方差
$s^2_原=\frac{1}{5}×[(184-189)^2+(185-189)^2+(190-189)^2+(192-189)^2+(194-189)^2]$
$=\frac{1}{5}×(25+16+1+9+25)=15.2$
步骤4：计算换人后的方差
$s^2_新=\frac{1}{5}×[(184-185)^2+(185-185)^2+(170-185)^2+(192-185)^2+(194-185)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+0+225+49+81)=71.2$
因为$71.2＞15.2$，所以方差变大。
综上，平均数变小，方差变大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；方差的意义与计算
【点评】
本题考查平均数和方差的基础应用，熟练掌握两个统计量的计算方法和实际意义是解题的核心，除了精确计算外，也可以通过数据的波动特征快速判断方差变化，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要对比换人前后场上队员身高的平均数和方差的变化。首先明确两个统计量的定义：平均数是所有数据之和除以数据个数，反映数据的平均水平；方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，反映数据的波动大小。我们可以先分别计算换人前、后的平均数和方差，再对比变化得出结论；也可以通过数据特征快速判断：换入的队员身高低于换下的队员身高，数据总和减小、个数不变，因此平均数变小；换下的190cm接近原平均身高，换入的170cm远低于新平均身高，数据离散程度变大，因此方差变大。
【解析】
步骤1：计算换人前的平均数
原5名队员身高总和：$184+185+190+192+194=945\ \mathrm{cm}$
原平均数：$\overline{x}_原=\frac{945}{5}=189\ \mathrm{cm}$
步骤2：计算换人后的平均数
换人后身高总和：$945-190+170=925\ \mathrm{cm}$
新平均数：$\overline{x}_新=\frac{925}{5}=185\ \mathrm{cm}$
因为$185＜189$，所以平均数变小。
步骤3：计算换人前的方差
$s^2_原=\frac{1}{5}×[(184-189)^2+(185-189)^2+(190-189)^2+(192-189)^2+(194-189)^2]$
$=\frac{1}{5}×(25+16+1+9+25)=15.2$
步骤4：计算换人后的方差
$s^2_新=\frac{1}{5}×[(184-185)^2+(185-185)^2+(170-185)^2+(192-185)^2+(194-185)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+0+225+49+81)=71.2$
因为$71.2＞15.2$，所以方差变大。
综上，平均数变小，方差变大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；方差的意义与计算
【点评】
本题考查平均数和方差的基础应用，熟练掌握两个统计量的计算方法和实际意义是解题的核心，除了精确计算外，也可以通过数据的波动特征快速判断方差变化，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
