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三、解答题
17. (1)计算：$( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} ) × (-12)$；
(2)解方程：$\frac{1}{2}[ x - \frac{1}{3}(x - 1) ] = \frac{3}{4}(2x + 1)$。
17. (1)计算：$( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} ) × (-12)$；
(2)解方程：$\frac{1}{2}[ x - \frac{1}{3}(x - 1) ] = \frac{3}{4}(2x + 1)$。
答案
17. 解 (1)原式$=\frac{1}{3}×(-12)+\frac{1}{6}×(-12)+(-\frac{1}{2})×(-12)=-4-2+6=0.$
(2)将原方程化简，得
$\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4},$
$\frac{1}{2}(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4},$
$\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4},$
$\frac{1}{3}x-\frac{3}{2}x=\frac{3}{4}-\frac{1}{6},$
$-\frac{7}{6}x=\frac{7}{12},$
$x=-\frac{1}{2}.$
(2)将原方程化简，得
$\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4},$
$\frac{1}{2}(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4},$
$\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4},$
$\frac{1}{3}x-\frac{3}{2}x=\frac{3}{4}-\frac{1}{6},$
$-\frac{7}{6}x=\frac{7}{12},$
$x=-\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
(1) 本题为有理数混合运算，观察式子特征可知括号内各分数的分母都是12的因数，因此优先采用乘法分配律计算，将括号内每一项分别与-12相乘后再求和，可避免通分，简化计算步骤。
(2) 本题为解一元一次方程，解题思路为：先逐层去括号，注意去括号时的符号规则，再将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，合并同类项后将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×(-12)+\frac{1}{6}×(-12)+(-\frac{1}{2})×(-12)\\&=-4-2+6\\&=0\end{aligned}$
(2) 解原方程：
第一步，去小括号化简两边：
$\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}$
第二步，合并括号内同类项：
$\frac{1}{2}(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}$
第三步，去中括号：
$\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}$
第四步，移项（移项要变号）：
$\frac{1}{3}x-\frac{3}{2}x=\frac{3}{4}-\frac{1}{6}$
第五步，合并同类项：
$-\frac{7}{6}x=\frac{7}{12}$
第六步，系数化为1：
$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
1. 有理数乘法分配律
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题型，第一问考查有理数简便运算，熟练运用乘法分配律可降低计算量、减少出错概率；第二问考查一元一次方程求解，掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的基本步骤，注意运算过程中的符号变化即可正确解答，是需要熟练掌握的核心基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 本题为有理数混合运算，观察式子特征可知括号内各分数的分母都是12的因数，因此优先采用乘法分配律计算，将括号内每一项分别与-12相乘后再求和，可避免通分，简化计算步骤。
(2) 本题为解一元一次方程，解题思路为：先逐层去括号，注意去括号时的符号规则，再将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，合并同类项后将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×(-12)+\frac{1}{6}×(-12)+(-\frac{1}{2})×(-12)\\&=-4-2+6\\&=0\end{aligned}$
(2) 解原方程：
第一步，去小括号化简两边：
$\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}$
第二步，合并括号内同类项：
$\frac{1}{2}(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}$
第三步，去中括号：
$\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}$
第四步，移项（移项要变号）：
$\frac{1}{3}x-\frac{3}{2}x=\frac{3}{4}-\frac{1}{6}$
第五步，合并同类项：
$-\frac{7}{6}x=\frac{7}{12}$
第六步，系数化为1：
$x=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
1. 有理数乘法分配律
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题型，第一问考查有理数简便运算，熟练运用乘法分配律可降低计算量、减少出错概率；第二问考查一元一次方程求解，掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的基本步骤，注意运算过程中的符号变化即可正确解答，是需要熟练掌握的核心基础题型。
【难度系数】
0.8
18. 若$(a+2)^2 + (b-1)^2 = 0$，求$(a+b)^{180}$的值.
答案
18. 解 因为$(a+2)^2$大于或等于0，$(b-1)^2$大于或等于0，所以当且仅当$a+2=0$，$(b-1)=0$时，$(a+2)^2+(b-1)^2=0$成立，所以$a=-2$，$b=1$，所以$a+b=-1$。所以$(a+b)^{180}=(-1)^{180}=1.$
解析
【分析】
解题时首先回忆平方数的性质：任意数的平方都是非负数（即≥0）。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数必须同时为0，据此可以列出关于a、b的一元一次方程，解出a、b的数值后，代入待求的代数式，再根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 任意数的平方都是非负数，
∴ $(a+2)^2 ≥ 0$，$(b-1)^2 ≥ 0$，
∵ 两个非负数的和为0，当且仅当两个非负数各自为0时成立，
∴ $a+2=0$，$b-1=0$，
解得：$a=-2$，$b=1$，
∴ $a+b=-2+1=-1$，
∴ $(a+b)^{180}=(-1)^{180}=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 乘方运算
【点评】
本题是代数基础常考题，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”的性质，计算乘方时注意区分负数奇偶次幂的符号规律即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方数的性质：任意数的平方都是非负数（即≥0）。两个非负数相加和为0，说明这两个非负数必须同时为0，据此可以列出关于a、b的一元一次方程，解出a、b的数值后，代入待求的代数式，再根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 任意数的平方都是非负数，
∴ $(a+2)^2 ≥ 0$，$(b-1)^2 ≥ 0$，
∵ 两个非负数的和为0，当且仅当两个非负数各自为0时成立，
∴ $a+2=0$，$b-1=0$，
解得：$a=-2$，$b=1$，
∴ $a+b=-2+1=-1$，
∴ $(a+b)^{180}=(-1)^{180}=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 乘方运算
【点评】
本题是代数基础常考题，解题核心是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”的性质，计算乘方时注意区分负数奇偶次幂的符号规律即可。
【难度系数】
0.8
19. 先化简，再求值：$2(x^2y + \frac{1}{2}xy^2) - 3(xy^2 - 2x^2y) - (5x^2y - 2xy^2)$，其中 $x=-4$，$y=\frac{1}{3}$。
答案
19. 解 原式$=2x^2y+xy^2-3xy^2+6x^2y-5x^2y+2xy^2=3x^2y$。当$x=-4$，$y=\frac{1}{3}$时，原式$=16.$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步去括号，需牢记去括号法则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，同时括号前的系数要乘遍括号内的每一项，避免漏乘。第二步合并同类项，将所含字母相同、相同字母指数也相同的项的系数相加减，字母和字母指数保持不变，得到最简整式。第三步代入数值计算，把x、y的取值代入最简式中计算出结果，比直接代入原式计算更简便，出错率更低。
【解析】
解：先对原式去括号：
原式$=2x^2y + xy^2 - 3xy^2 + 6x^2y - 5x^2y + 2xy^2$
再合并同类项：
$=(2x^2y + 6x^2y - 5x^2y) + (xy^2 - 3xy^2 + 2xy^2)$
$=3x^2y + 0$
$=3x^2y$
将$x=-4$，$y=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=3× (-4)^2 × \frac{1}{3}$
$=3× 16 × \frac{1}{3}$
$=16$
【答案】
化简结果为$3x^2y$，求值结果为$\boxed{16}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式加减的运算能力，去括号时的符号判断和系数分配是易错点，先化简再求值的思路能大幅简化计算，是整式运算类题目的常用解题策略。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步去括号，需牢记去括号法则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项都要变号，同时括号前的系数要乘遍括号内的每一项，避免漏乘。第二步合并同类项，将所含字母相同、相同字母指数也相同的项的系数相加减，字母和字母指数保持不变，得到最简整式。第三步代入数值计算，把x、y的取值代入最简式中计算出结果，比直接代入原式计算更简便，出错率更低。
【解析】
解：先对原式去括号：
原式$=2x^2y + xy^2 - 3xy^2 + 6x^2y - 5x^2y + 2xy^2$
再合并同类项：
$=(2x^2y + 6x^2y - 5x^2y) + (xy^2 - 3xy^2 + 2xy^2)$
$=3x^2y + 0$
$=3x^2y$
将$x=-4$，$y=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
原式$=3× (-4)^2 × \frac{1}{3}$
$=3× 16 × \frac{1}{3}$
$=16$
【答案】
化简结果为$3x^2y$，求值结果为$\boxed{16}$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式加减的运算能力，去括号时的符号判断和系数分配是易错点，先化简再求值的思路能大幅简化计算，是整式运算类题目的常用解题策略。
【难度系数】
0.8
20. 根据下列语句画简图并计算：作线段AB，在AB的延长线上取一点C，使$BC=2AB$，M是AC的中点.若$AB=30$ cm，则BM的长是多少？
答案
20. 解 如图所示，
因为$BC=2AB$，$AB=30\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=2×30=60\ (\mathrm{cm}).$
所以 $AC = AB + BC = 30 + 60 = 90\ (\mathrm{cm}).$
因为$M$是$AC$的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×90=45\ (\mathrm{cm}).$
所以$BM=AM-AB=45-30=15\ (\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先已知AB的长度和BC与AB的倍数关系，可先计算出BC的长度；再根据C在AB的延长线上，利用线段和的关系求出AC的总长度；接着结合M是AC中点的性质，计算出AM的长度；最后通过线段差的关系，用AM的长度减去AB的长度，即可求出BM的长度，每一步紧扣线段的基本性质推导即可。
【解析】
已知$BC=2AB$，$AB=30\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=2×30=60\ (\mathrm{cm})$。
因为点C在AB的延长线上，所以$AC = AB + BC = 30 + 60 = 90\ (\mathrm{cm})$。
又因为$M$是$AC$的中点，根据线段中点的定义，
所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×90=45\ (\mathrm{cm})$。
因此$BM=AM-AB=45-30=15\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
如图所示，
BM的长是$15\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义，线段延长线
【点评】
本题属于基础的线段计算题型，解题关键是理清各线段之间的数量关系，结合中点的性质逐步推导即可，能够很好地巩固线段相关的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先已知AB的长度和BC与AB的倍数关系，可先计算出BC的长度；再根据C在AB的延长线上，利用线段和的关系求出AC的总长度；接着结合M是AC中点的性质，计算出AM的长度；最后通过线段差的关系，用AM的长度减去AB的长度，即可求出BM的长度，每一步紧扣线段的基本性质推导即可。
【解析】
已知$BC=2AB$，$AB=30\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=2×30=60\ (\mathrm{cm})$。
因为点C在AB的延长线上，所以$AC = AB + BC = 30 + 60 = 90\ (\mathrm{cm})$。
又因为$M$是$AC$的中点，根据线段中点的定义，
所以$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×90=45\ (\mathrm{cm})$。
因此$BM=AM-AB=45-30=15\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
如图所示，
BM的长是$15\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段的和差运算，线段中点的定义，线段延长线
【点评】
本题属于基础的线段计算题型，解题关键是理清各线段之间的数量关系，结合中点的性质逐步推导即可，能够很好地巩固线段相关的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
21. 一个三位数的百位数字为$ a $，十位数字为$ b $，个位数字为$ c $，若关于$ x $的方程$ ax = b $的解是$ x = c $，则称这个三位数是方程$ ax = b $的“协调数”，称方程$ ax = b $是这个三位数的“协调方程”。如：三位数200，因为方程$ 2x = 0 $的解是$ x = 0 $，所以200就是方程$ 2x = 0 $的协调数，方程$ 2x = 0 $就是200的协调方程。
请根据上述材料，解决下列问题：
请判断263是否是某个方程的协调数，方程$ 2x = 7 $是否是某个三位数的协调方程，并说明理由。
请根据上述材料，解决下列问题：
请判断263是否是某个方程的协调数，方程$ 2x = 7 $是否是某个三位数的协调方程，并说明理由。
答案
21. 解 263 是方程 $2x=6$ 的“协调数”，理由如下：
在三位数 263 中，$a=2$，$b=6$，$c=3$，方程$ax=b$，即$2x=6$，解得$x=3=c$，故263 是方程 $2x=6$ 的协调数。
$2x=7$ 不是某个三位数的协调方程，理由如下：
$2x=7$，该方程的解为 $x=\frac{7}{2}$，若该方程是某个三位数的协调方程，则 $c=\frac{7}{2}$。因为$c$是个位数字，所以$c$应是$0∼9$的整数，故$c$不可能为$\frac{7}{2}$，故$2x=7$不是某个三位数的协调方程。
在三位数 263 中，$a=2$，$b=6$，$c=3$，方程$ax=b$，即$2x=6$，解得$x=3=c$，故263 是方程 $2x=6$ 的协调数。
$2x=7$ 不是某个三位数的协调方程，理由如下：
$2x=7$，该方程的解为 $x=\frac{7}{2}$，若该方程是某个三位数的协调方程，则 $c=\frac{7}{2}$。因为$c$是个位数字，所以$c$应是$0∼9$的整数，故$c$不可能为$\frac{7}{2}$，故$2x=7$不是某个三位数的协调方程。
解析
【分析】
解题的核心是准确理解“协调数”和“协调方程”的定义：对于百位为$a$、十位为$b$、个位为$c$的三位数，若方程$ax=b$的解恰好是$x=c$，则该三位数是方程的协调数，对应方程是三位数的协调方程。解题分两步：①判断263是否为协调数：先提取263各数位的数字$a、b、c$，代入方程$ax=b$求解，对比解是否等于$c$即可；②判断$2x=7$是否为协调方程：先求解方程得到$x$的值，再判断$x$是否为0~9的整数（个位数字$c$只能是0到9的整数），不符合要求则不是协调方程。
【解析】
判断263是否为协调数：
在三位数263中，百位数字$a=2$，十位数字$b=6$，个位数字$c=3$，
对应方程为$ax=b$，即$2x=6$，
解得$x=3$，恰好等于个位数字$c=3$，符合协调数的定义，因此263是方程$2x=6$的协调数。
判断$2x=7$是否为某个三位数的协调方程：
解方程$2x=7$，得$x=\frac{7}{2}=3.5$，
若该方程是某个三位数的协调方程，则方程的解必须等于该三位数的个位数字$c$，
而个位数字$c$是0~9的整数，$3.5$不是整数，不符合个位数字的取值要求，因此$2x=7$不是某个三位数的协调方程。
【答案】
263是方程$2x=6$的协调数；方程$2x=7$不是某个三位数的协调方程，理由如上。
【知识点】
新定义问题，一元一次方程求解，整数的概念
【点评】
本题是典型的新定义题型，解题关键是读懂新定义的规则，把陌生的定义转化为已学的一元一次方程相关知识，同时要注意三位数各数位上的数字为0~9的整数这一隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
解题的核心是准确理解“协调数”和“协调方程”的定义：对于百位为$a$、十位为$b$、个位为$c$的三位数，若方程$ax=b$的解恰好是$x=c$，则该三位数是方程的协调数，对应方程是三位数的协调方程。解题分两步：①判断263是否为协调数：先提取263各数位的数字$a、b、c$，代入方程$ax=b$求解，对比解是否等于$c$即可；②判断$2x=7$是否为协调方程：先求解方程得到$x$的值，再判断$x$是否为0~9的整数（个位数字$c$只能是0到9的整数），不符合要求则不是协调方程。
【解析】
判断263是否为协调数：
在三位数263中，百位数字$a=2$，十位数字$b=6$，个位数字$c=3$，
对应方程为$ax=b$，即$2x=6$，
解得$x=3$，恰好等于个位数字$c=3$，符合协调数的定义，因此263是方程$2x=6$的协调数。
判断$2x=7$是否为某个三位数的协调方程：
解方程$2x=7$，得$x=\frac{7}{2}=3.5$，
若该方程是某个三位数的协调方程，则方程的解必须等于该三位数的个位数字$c$，
而个位数字$c$是0~9的整数，$3.5$不是整数，不符合个位数字的取值要求，因此$2x=7$不是某个三位数的协调方程。
【答案】
263是方程$2x=6$的协调数；方程$2x=7$不是某个三位数的协调方程，理由如上。
【知识点】
新定义问题，一元一次方程求解，整数的概念
【点评】
本题是典型的新定义题型，解题关键是读懂新定义的规则，把陌生的定义转化为已学的一元一次方程相关知识，同时要注意三位数各数位上的数字为0~9的整数这一隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
