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1. [2024·亳州谯城区期末]如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→D→C→B→A运动一周,则点P到x轴的距离y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是 (
A
)答案
1.A
解析
【分析】
要判断y与s的函数图象，首先明确点P到x轴的距离就是P的纵坐标，将P的运动过程按路径A→D→C→B分为四段，逐段分析每段路程内y随s的变化规律，再对比选项即可得出答案。
①当P在AD上运动时，P的纵坐标恒为2，y保持不变；②当P在DC上运动时，P纵坐标逐渐减小，y随s增大而减小；③当P在CB上运动时，P纵坐标恒为1，y保持不变；④当P在BA上运动时，P纵坐标逐渐增大，y随s增大而增大。
【解析】
首先确定正方形各顶点坐标：A(1,2)、D(2,2)、C(2,1)、B(1,1)，边长均为1，分四段分析：
1. 当$0≤ s≤1$时，点P沿A→D运动，P的纵坐标恒为2，即$y=2$，图象为水平线段；
2. 当$1＜ s≤2$时，点P沿D→C运动，P的纵坐标从2逐渐减小到1，y随s的增大而减小，图象为下降线段；
3. 当$2＜ s≤3$时，点P沿C→B运动，P的纵坐标恒为1，即$y=1$，图象为水平线段；
4. 当$3＜ s≤4$时，点P沿B→A运动，P的纵坐标从1逐渐增大到2，y随s的增大而增大，图象为上升线段。
对比各选项，只有A选项的图象符合上述变化规律。
【答案】
A
【知识点】
动点函数图象识别，点到坐标轴的距离，分段函数
【点评】
本题是动态函数问题的典型题型，解题核心是将动点的运动过程合理分段，分析每段中函数值的变化趋势及取值，再结合排除法即可快速选出正确答案，侧重考查对运动过程的分析能力和函数图象的辨识能力。
【难度系数】
0.7
要判断y与s的函数图象，首先明确点P到x轴的距离就是P的纵坐标，将P的运动过程按路径A→D→C→B分为四段，逐段分析每段路程内y随s的变化规律，再对比选项即可得出答案。
①当P在AD上运动时，P的纵坐标恒为2，y保持不变；②当P在DC上运动时，P纵坐标逐渐减小，y随s增大而减小；③当P在CB上运动时，P纵坐标恒为1，y保持不变；④当P在BA上运动时，P纵坐标逐渐增大，y随s增大而增大。
【解析】
首先确定正方形各顶点坐标：A(1,2)、D(2,2)、C(2,1)、B(1,1)，边长均为1，分四段分析：
1. 当$0≤ s≤1$时，点P沿A→D运动，P的纵坐标恒为2，即$y=2$，图象为水平线段；
2. 当$1＜ s≤2$时，点P沿D→C运动，P的纵坐标从2逐渐减小到1，y随s的增大而减小，图象为下降线段；
3. 当$2＜ s≤3$时，点P沿C→B运动，P的纵坐标恒为1，即$y=1$，图象为水平线段；
4. 当$3＜ s≤4$时，点P沿B→A运动，P的纵坐标从1逐渐增大到2，y随s的增大而增大，图象为上升线段。
对比各选项，只有A选项的图象符合上述变化规律。
【答案】
A
【知识点】
动点函数图象识别，点到坐标轴的距离，分段函数
【点评】
本题是动态函数问题的典型题型，解题核心是将动点的运动过程合理分段，分析每段中函数值的变化趋势及取值，再结合排除法即可快速选出正确答案，侧重考查对运动过程的分析能力和函数图象的辨识能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图，边长分别为1和2的两个正方形，它们有一边在同一条水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形.设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为S(阴影部分)，那么S与t之间的函数关系的图象大致是 (
A
) 答案
2.A
解析
【分析】
解题时先明确S的含义：S等于大正方形面积减去小正方形在大正方形内部的面积，大正方形面积固定，因此只需按小正方形穿过大正方形的过程分段分析S的变化趋势即可：
第一步：先确定初始状态S的大小，小正方形还没进入大正方形时，S等于大正方形的面积，为正值，可排除初始值为0的选项；
第二步：将运动过程分为三段：小正方形进入大正方形、完全在大正方形内部、穿出大正方形，分别分析三段中S的变化：进入时S匀速减小，完全在内部时S不变，穿出时S匀速增大，且因为是匀速运动，面积变化为线性，图象是直线段，由此排除不符合变化趋势的选项即可。
【解析】
首先计算两个正方形的面积：大正方形面积为$2×2=4$，小正方形面积为$1×1=1$。
将小正方形穿过大正方形的过程分为3个阶段：
1. 进入阶段：小正方形从开始进入大正方形到完全进入大正方形：随时间$t$增加，小正方形在大正方形内的面积匀速增大，因此$S=4-\mathrm{小正方形进入部分的面积}$，$S$随$t$匀速减小；
2. 完全在内部阶段：小正方形完全进入大正方形，还未开始穿出：此时小正方形在大正方形内的面积恒为1，因此$S=4-1=3$，保持不变，对应图象为水平线段；
3. 穿出阶段：小正方形从开始穿出大正方形到完全离开：随时间$t$增加，小正方形在大正方形内的面积匀速减小，因此$S$随$t$匀速增大，最终回到初始值4。
对选项逐一判断：
选项B：初始$S=0$，不符合初始状态$S=4$，错误；
选项C：无水平不变的阶段，不符合第二阶段S不变的特点，错误；
选项D：图象为曲线，而匀速运动下面积变化是线性的，应为直线段，错误；
只有选项A符合上述变化规律。
【答案】
A
【知识点】
函数图象识别、分段函数、正方形面积计算
【点评】
本题是动态几何与函数图象结合的典型题型，解题核心是将完整的运动过程拆分成分段的小过程，逐一分析每段中因变量随自变量的变化趋势，结合排除法可以快速得到答案，能有效考查对动态过程的分析能力和函数图象的理解能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确S的含义：S等于大正方形面积减去小正方形在大正方形内部的面积，大正方形面积固定，因此只需按小正方形穿过大正方形的过程分段分析S的变化趋势即可：
第一步：先确定初始状态S的大小，小正方形还没进入大正方形时，S等于大正方形的面积，为正值，可排除初始值为0的选项；
第二步：将运动过程分为三段：小正方形进入大正方形、完全在大正方形内部、穿出大正方形，分别分析三段中S的变化：进入时S匀速减小，完全在内部时S不变，穿出时S匀速增大，且因为是匀速运动，面积变化为线性，图象是直线段，由此排除不符合变化趋势的选项即可。
【解析】
首先计算两个正方形的面积：大正方形面积为$2×2=4$，小正方形面积为$1×1=1$。
将小正方形穿过大正方形的过程分为3个阶段：
1. 进入阶段：小正方形从开始进入大正方形到完全进入大正方形：随时间$t$增加，小正方形在大正方形内的面积匀速增大，因此$S=4-\mathrm{小正方形进入部分的面积}$，$S$随$t$匀速减小；
2. 完全在内部阶段：小正方形完全进入大正方形，还未开始穿出：此时小正方形在大正方形内的面积恒为1，因此$S=4-1=3$，保持不变，对应图象为水平线段；
3. 穿出阶段：小正方形从开始穿出大正方形到完全离开：随时间$t$增加，小正方形在大正方形内的面积匀速减小，因此$S$随$t$匀速增大，最终回到初始值4。
对选项逐一判断：
选项B：初始$S=0$，不符合初始状态$S=4$，错误；
选项C：无水平不变的阶段，不符合第二阶段S不变的特点，错误；
选项D：图象为曲线，而匀速运动下面积变化是线性的，应为直线段，错误；
只有选项A符合上述变化规律。
【答案】
A
【知识点】
函数图象识别、分段函数、正方形面积计算
【点评】
本题是动态几何与函数图象结合的典型题型，解题核心是将完整的运动过程拆分成分段的小过程，逐一分析每段中因变量随自变量的变化趋势，结合排除法可以快速得到答案，能有效考查对动态过程的分析能力和函数图象的理解能力。
【难度系数】
0.7
3. 已知M为某封闭图形边界上一定点，动点P从点M出发，沿其边界顺时针匀速运动一周。设点P运动的时间为x，线段MP的长为y，
表示y与x的函数关系的大致图象如图所示，则该封闭图形可能是（
表示y与x的函数关系的大致图象如图所示，则该封闭图形可能是（
A
）答案
3.A
解析
【分析】
解题时先观察给出的y与x的函数图象的特征，将其按变化规律分成若干阶段，再逐一分析每个选项中动点P从M出发顺时针运动一周时，线段MP长度的变化情况，找到变化规律和图象完全匹配的图形即可。具体来看，图象的变化分三段：①初始阶段y从0开始匀速增大到最大值；②中间阶段y先减小后增大，两端的最大值和①的最大值相等；③最后阶段y匀速减小到0，我们只需验证各选项是否符合该变化规律。
【解析】
首先总结函数图象的变化特征：
1. 第一阶段：y随x增大匀速增大至最大值；
2. 第二阶段：y先减小后增大，两端点的y值和第一阶段的最大值相等，最小值大于0；
3. 第三阶段：y随x增大匀速减小至0。
逐一分析选项：
选项A（等边三角形）：M为上顶点，动点P顺时针运动：
① P沿左侧边向下运动时，MP长度随运动时间匀速增加，到左下端点时MP等于三角形边长（达到最大值），符合第一阶段特征；
② P沿底边向右运动时，MP长度先减小（到中点时最短），后增大，到右下端点时MP回到边长（最大值），符合第二阶段特征；
③ P沿右侧边向上运动回到M时，MP长度随运动时间匀速减小到0，符合第三阶段特征，与给出的图象匹配。
选项B（直角三角形）：P沿水平直角边向右运动时，MP长度持续增大，没有先减小后增大的阶段，不符合图象特征。
选项C（正方形）：P沿右侧边向下运动时，MP长度持续增大，没有先降后升的中间阶段，不符合图象特征。
选项D（圆）：P绕圆运动时，MP长度先增大到直径（运动半周时），再减小到0，仅两个变化阶段，不符合图象特征。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
动点函数图象分析；线段长度变化规律；函数图象识别
【点评】
本题是动态几何与函数图象结合的典型题型，需要学生具备分阶段分析运动过程的能力，解题核心是将图形中的运动过程和函数图象的变化一一对应，能够有效考查学生的空间想象能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察给出的y与x的函数图象的特征，将其按变化规律分成若干阶段，再逐一分析每个选项中动点P从M出发顺时针运动一周时，线段MP长度的变化情况，找到变化规律和图象完全匹配的图形即可。具体来看，图象的变化分三段：①初始阶段y从0开始匀速增大到最大值；②中间阶段y先减小后增大，两端的最大值和①的最大值相等；③最后阶段y匀速减小到0，我们只需验证各选项是否符合该变化规律。
【解析】
首先总结函数图象的变化特征：
1. 第一阶段：y随x增大匀速增大至最大值；
2. 第二阶段：y先减小后增大，两端点的y值和第一阶段的最大值相等，最小值大于0；
3. 第三阶段：y随x增大匀速减小至0。
逐一分析选项：
选项A（等边三角形）：M为上顶点，动点P顺时针运动：
① P沿左侧边向下运动时，MP长度随运动时间匀速增加，到左下端点时MP等于三角形边长（达到最大值），符合第一阶段特征；
② P沿底边向右运动时，MP长度先减小（到中点时最短），后增大，到右下端点时MP回到边长（最大值），符合第二阶段特征；
③ P沿右侧边向上运动回到M时，MP长度随运动时间匀速减小到0，符合第三阶段特征，与给出的图象匹配。
选项B（直角三角形）：P沿水平直角边向右运动时，MP长度持续增大，没有先减小后增大的阶段，不符合图象特征。
选项C（正方形）：P沿右侧边向下运动时，MP长度持续增大，没有先降后升的中间阶段，不符合图象特征。
选项D（圆）：P绕圆运动时，MP长度先增大到直径（运动半周时），再减小到0，仅两个变化阶段，不符合图象特征。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
动点函数图象分析；线段长度变化规律；函数图象识别
【点评】
本题是动态几何与函数图象结合的典型题型，需要学生具备分阶段分析运动过程的能力，解题核心是将图形中的运动过程和函数图象的变化一一对应，能够有效考查学生的空间想象能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图1，$∠ B=∠ C=90°$，$AB=2CD$，点P以1 cm/s的速度从点B出发，沿B-C-D路线运动，到点D停止. 图2反映的是三角形ABP的面积$S\ \mathrm{cm}^2$与点P的运动时间$x\ \mathrm{s}$之间的关系，则$m$的值为（
A.10
B.12
C.20
D.24
B
） A.10
B.12
C.20
D.24
答案
4.B
解析
【分析】
解题需结合动点P的运动过程分两段对应函数图象分析：①点P在BC上运动时，△ABP的底AB固定，高为BP，随运动时间增加BP逐渐变大，因此△ABP的面积S随时间x增大而增大，对应图象的上升段，上升段的终点横坐标最大值对应的x值就是P从B到C的运动时间，结合运动速度可求出BC的长度；②点P在CD上运动时，由∠B=∠C=90°可得AB//CD，平行线间距离处处相等，此时△ABP的高等于BC的长度固定不变，因此S为定值，对应图象的水平段，水平段的长度就是P从C到D的运动时间，结合速度可求出CD的长度，再根据AB=2CD的条件求出AB的长度，最后代入三角形面积公式即可求出定值m。
【解析】
解：结合动点运动过程与函数图象的对应关系可知：
1. 计算BC的长度：
点P在BC段运动的时间为4s，点P速度为1cm/s，
$\therefore BC = v × t_1 = 1 × 4 = 4\mathrm{cm}$。
2. 计算CD的长度：
点P在CD段运动的时间为3s，
$\therefore CD = v × t_2 = 1 × 3 = 3\mathrm{cm}$。
3. 计算AB的长度：
已知$AB=2CD$，
$\therefore AB = 2 × 3 = 6\mathrm{cm}$。
4. 计算m的值：
当点P在CD上运动时，$\because ∠ B=∠ C=90°$，$\therefore AB// CD$，
△ABP的高等于BC的长度，面积为定值，
$\therefore m = S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象；三角形面积计算；平行线的性质
【点评】
本题主要考查动点问题的函数图象分析，解题关键是准确找到函数图象各段对应的实际运动意义，结合几何性质计算即可求解。
【难度系数】
0.65
解题需结合动点P的运动过程分两段对应函数图象分析：①点P在BC上运动时，△ABP的底AB固定，高为BP，随运动时间增加BP逐渐变大，因此△ABP的面积S随时间x增大而增大，对应图象的上升段，上升段的终点横坐标最大值对应的x值就是P从B到C的运动时间，结合运动速度可求出BC的长度；②点P在CD上运动时，由∠B=∠C=90°可得AB//CD，平行线间距离处处相等，此时△ABP的高等于BC的长度固定不变，因此S为定值，对应图象的水平段，水平段的长度就是P从C到D的运动时间，结合速度可求出CD的长度，再根据AB=2CD的条件求出AB的长度，最后代入三角形面积公式即可求出定值m。
【解析】
解：结合动点运动过程与函数图象的对应关系可知：
1. 计算BC的长度：
点P在BC段运动的时间为4s，点P速度为1cm/s，
$\therefore BC = v × t_1 = 1 × 4 = 4\mathrm{cm}$。
2. 计算CD的长度：
点P在CD段运动的时间为3s，
$\therefore CD = v × t_2 = 1 × 3 = 3\mathrm{cm}$。
3. 计算AB的长度：
已知$AB=2CD$，
$\therefore AB = 2 × 3 = 6\mathrm{cm}$。
4. 计算m的值：
当点P在CD上运动时，$\because ∠ B=∠ C=90°$，$\therefore AB// CD$，
△ABP的高等于BC的长度，面积为定值，
$\therefore m = S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
【答案】
B
【知识点】
动点问题的函数图象；三角形面积计算；平行线的性质
【点评】
本题主要考查动点问题的函数图象分析，解题关键是准确找到函数图象各段对应的实际运动意义，结合几何性质计算即可求解。
【难度系数】
0.65
5. 如图,在长方形ABCD中,AB=5,AD=2,E为边CD上一点,且DE=3,动点P从点A出发,沿路径A→B→C→E运动,则三角形APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是 （
D
）答案
5.D
解析
【分析】
我们需要分三段讨论动点P的运动过程，分别求出每段路径下△APE的面积y与路径长x的函数关系，再结合关键点坐标和图像走势判断符合的图像：
1. 首先确定P的运动路径分为3段：A→B（x∈[0,5]）、B→C（x∈[5,7]）、C→E（x∈[7,9]）；
2. 分别计算每段的函数解析式，代入区间端点x的值得到对应的y值，核对图像的转折点、升降趋势是否匹配。
【解析】
解：分三段计算函数关系：
① 当点P在AB上运动，即$0≤ x≤5$时：
$AP=x$，△APE的高等于长方形的宽$AD=2$，
则面积$y=\frac{1}{2}× AP × AD=\frac{1}{2}× x ×2 = x$，
当$x=5$时，$y=5$，对应点$(5,5)$。
② 当点P在BC上运动，即$5＜ x≤7$时：
路径长$x$，则$BP=x-5$，$PC=2-(x-5)=7-x$，
用长方形面积减去周围3个三角形面积求$y$：
长方形面积$S_{ABCD}=5×2=10$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× AD × DE=\frac{1}{2}×2×3=3$，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB × BP=\frac{1}{2}×5×(x-5)=\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}$，
$S_{△ PCE}=\frac{1}{2}× PC × CE=\frac{1}{2}×(7-x)×2=7-x$，
则$y=10 - 3 - (\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}) - (7-x)= -\frac{3}{2}x+\frac{25}{2}$，
当$x=7$时，$y=-\frac{3}{2}×7+\frac{25}{2}=2$，对应点$(7,2)$。
③ 当点P在CE上运动，即$7＜ x≤9$时：
路径长$x$，则$PE=9 - x$，△APE的高等于长方形的宽$AD=2$，
则面积$y=\frac{1}{2}× PE × AD=\frac{1}{2}×(9-x)×2=9 - x$，
当$x=9$时，$y=0$，对应点$(9,0)$。
对比四个选项，只有D选项的图像符合上述三段函数的走势和关键点坐标。
【答案】
D
【知识点】
动点问题的函数图象；三角形面积计算；分段函数
【点评】
本题考查动态问题的函数图像判断，解题关键是对动点的运动过程分段讨论，准确计算各段的函数解析式及关键点坐标，再结合图像特征排除错误选项。
【难度系数】
0.6
我们需要分三段讨论动点P的运动过程，分别求出每段路径下△APE的面积y与路径长x的函数关系，再结合关键点坐标和图像走势判断符合的图像：
1. 首先确定P的运动路径分为3段：A→B（x∈[0,5]）、B→C（x∈[5,7]）、C→E（x∈[7,9]）；
2. 分别计算每段的函数解析式，代入区间端点x的值得到对应的y值，核对图像的转折点、升降趋势是否匹配。
【解析】
解：分三段计算函数关系：
① 当点P在AB上运动，即$0≤ x≤5$时：
$AP=x$，△APE的高等于长方形的宽$AD=2$，
则面积$y=\frac{1}{2}× AP × AD=\frac{1}{2}× x ×2 = x$，
当$x=5$时，$y=5$，对应点$(5,5)$。
② 当点P在BC上运动，即$5＜ x≤7$时：
路径长$x$，则$BP=x-5$，$PC=2-(x-5)=7-x$，
用长方形面积减去周围3个三角形面积求$y$：
长方形面积$S_{ABCD}=5×2=10$，
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× AD × DE=\frac{1}{2}×2×3=3$，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB × BP=\frac{1}{2}×5×(x-5)=\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}$，
$S_{△ PCE}=\frac{1}{2}× PC × CE=\frac{1}{2}×(7-x)×2=7-x$，
则$y=10 - 3 - (\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}) - (7-x)= -\frac{3}{2}x+\frac{25}{2}$，
当$x=7$时，$y=-\frac{3}{2}×7+\frac{25}{2}=2$，对应点$(7,2)$。
③ 当点P在CE上运动，即$7＜ x≤9$时：
路径长$x$，则$PE=9 - x$，△APE的高等于长方形的宽$AD=2$，
则面积$y=\frac{1}{2}× PE × AD=\frac{1}{2}×(9-x)×2=9 - x$，
当$x=9$时，$y=0$，对应点$(9,0)$。
对比四个选项，只有D选项的图像符合上述三段函数的走势和关键点坐标。
【答案】
D
【知识点】
动点问题的函数图象；三角形面积计算；分段函数
【点评】
本题考查动态问题的函数图像判断，解题关键是对动点的运动过程分段讨论，准确计算各段的函数解析式及关键点坐标，再结合图像特征排除错误选项。
【难度系数】
0.6
