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1. 甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s km与时间t h的关系如图所示,则下列说法错误的是 (
A.A,B两地的距离为72 km
B.甲的速度是8 km/h
C.甲比乙早出发3 h
D.乙的速度是15 km/h
D
)A.A,B两地的距离为72 km
B.甲的速度是8 km/h
C.甲比乙早出发3 h
D.乙的速度是15 km/h
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道一次函数与行程问题结合的图像题，解题先明确s-t图像的含义：纵轴表示距B地的距离，横轴表示行驶时间。先识别甲、乙的行驶规律：甲从t=0开始由A地向B地行驶，乙从t=3h开始由B地向A地行驶。接下来逐一验证四个选项，结合图像数据和行程公式计算对应量，找到错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证A选项：t=0时甲还未出发，此时甲距B地72km，说明A、B两地距离为72km，A说法正确。
2. 验证B选项：由图像可知，甲行驶3h后距B地48km，3h内甲行驶的路程为$72-48=24\mathrm{km}$，根据速度公式可得甲的速度$v_甲=\frac{24\mathrm{km}}{3\mathrm{h}}=8\mathrm{km/h}$，B说法正确。
3. 验证C选项：甲在t=0时出发，乙在t=3h时出发，因此甲比乙早出发3h，C说法正确。
4. 验证D选项：t=5h时两人相遇，此时甲一共行驶的路程为$8\mathrm{km/h}×5\mathrm{h}=40\mathrm{km}$，距B地的距离为$72-40=32\mathrm{km}$，即乙在$5-3=2\mathrm{h}$内行驶了32km，可得乙的速度$v_乙=\frac{32\mathrm{km}}{2\mathrm{h}}=16\mathrm{km/h}≠15\mathrm{km/h}$，D说法错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用，s-t图像分析，行程问题计算
【点评】
本题核心是读懂s-t图像的实际意义，结合行程的基本公式（路程=速度×时间）计算对应量即可，解题时要注意乙的出发时间比甲晚3h，不要误把乙的行驶时间算成5h。
【难度系数】
0.7
这是一道一次函数与行程问题结合的图像题，解题先明确s-t图像的含义：纵轴表示距B地的距离，横轴表示行驶时间。先识别甲、乙的行驶规律：甲从t=0开始由A地向B地行驶，乙从t=3h开始由B地向A地行驶。接下来逐一验证四个选项，结合图像数据和行程公式计算对应量，找到错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 验证A选项：t=0时甲还未出发，此时甲距B地72km，说明A、B两地距离为72km，A说法正确。
2. 验证B选项：由图像可知，甲行驶3h后距B地48km，3h内甲行驶的路程为$72-48=24\mathrm{km}$，根据速度公式可得甲的速度$v_甲=\frac{24\mathrm{km}}{3\mathrm{h}}=8\mathrm{km/h}$，B说法正确。
3. 验证C选项：甲在t=0时出发，乙在t=3h时出发，因此甲比乙早出发3h，C说法正确。
4. 验证D选项：t=5h时两人相遇，此时甲一共行驶的路程为$8\mathrm{km/h}×5\mathrm{h}=40\mathrm{km}$，距B地的距离为$72-40=32\mathrm{km}$，即乙在$5-3=2\mathrm{h}$内行驶了32km，可得乙的速度$v_乙=\frac{32\mathrm{km}}{2\mathrm{h}}=16\mathrm{km/h}≠15\mathrm{km/h}$，D说法错误。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用，s-t图像分析，行程问题计算
【点评】
本题核心是读懂s-t图像的实际意义，结合行程的基本公式（路程=速度×时间）计算对应量即可，解题时要注意乙的出发时间比甲晚3h，不要误把乙的行驶时间算成5h。
【难度系数】
0.7
2.[新课标—数学文化题]元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程$s$(单位:里)关于行走时间$t$(单位:日)的函数图象如图所示，现有下列说法:①劣马比良马早出发12日;②点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马;③良马的速度比劣马的速度快80里/日.其中正确的是 (
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先明确s-t图像的含义：横轴表示行走时间$t$，纵轴表示行走路程$s$。第一步观察两匹马的出发时间，判断说法①；第二步根据函数图像交点的实际意义判断说法②；第三步结合“速度=路程÷时间”分别计算两匹马的速度，求差值后判断说法③即可。
【解析】
1. 判断①：由图像可知，劣马从$t=0$时出发，良马从$t=12$日时出发，因此劣马比良马早出发12日，①正确；
2. 判断②：点A是两个函数图像的交点，说明此时两匹马的路程相等，即良马追上劣马，交点横坐标$t=32$是劣马的行走时间，即劣马出发32日时，良马追上劣马，②正确；
3. 判断③：劣马的速度为$v_{劣}=\frac{4800}{32}=150$（里/日）；良马行走4800里的用时为$32-12=20$（日），因此良马的速度为$v_{良}=\frac{4800}{20}=240$（里/日），两者速度差为$240-150=90$（里/日），不是80里/日，③错误。
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用，行程问题计算，函数图像的意义
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查一次函数的实际应用，解题核心是理解s-t图像中各特殊点、线段的实际意义，结合行程的基本公式计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先明确s-t图像的含义：横轴表示行走时间$t$，纵轴表示行走路程$s$。第一步观察两匹马的出发时间，判断说法①；第二步根据函数图像交点的实际意义判断说法②；第三步结合“速度=路程÷时间”分别计算两匹马的速度，求差值后判断说法③即可。
【解析】
1. 判断①：由图像可知，劣马从$t=0$时出发，良马从$t=12$日时出发，因此劣马比良马早出发12日，①正确；
2. 判断②：点A是两个函数图像的交点，说明此时两匹马的路程相等，即良马追上劣马，交点横坐标$t=32$是劣马的行走时间，即劣马出发32日时，良马追上劣马，②正确；
3. 判断③：劣马的速度为$v_{劣}=\frac{4800}{32}=150$（里/日）；良马行走4800里的用时为$32-12=20$（日），因此良马的速度为$v_{良}=\frac{4800}{20}=240$（里/日），两者速度差为$240-150=90$（里/日），不是80里/日，③错误。
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用，行程问题计算，函数图像的意义
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查一次函数的实际应用，解题核心是理解s-t图像中各特殊点、线段的实际意义，结合行程的基本公式计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
3. 某塑料生产公司做了转型升级，经过市场研究，购进一批可降解吸管的生产设备.该吸管的销售额$y_1$，成本$y_2$与销售量$x$的关系如图所示.
(1)函数$y_1$的表达式为
(2)当销售量$x$满足
(1)函数$y_1$的表达式为
$y_1=2x$
，$y_2$的表达式为$y_2=x+10$
；(2)当销售量$x$满足
$x＞10$
时，该公司盈利（即销售额大于成本）.答案
3.(1)$y_1=2x$；$y_2=x+10$ (2)$x＞10$
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式可采用待定系数法，先设出函数的一般形式，再结合图像提取经过的点的坐标代入求解即可。观察图像可知$y_1$是过原点的正比例函数，经过点$(10,20)$；$y_2$是一次函数，经过点$(0,10)$和$(10,20)$，分别代入对应函数式求解参数即可。
(2) 公司盈利即销售额大于成本，也就是$y_1＞y_2$，代入(1)中求得的表达式解不等式，或者观察图像，找到$y_1$图像在$y_2$上方对应的$x$的取值范围即可。
【解析】
(1) 设$y_1$的表达式为$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），
将点$(10,20)$代入得：$20=10k_1$，解得$k_1=2$，
因此$y_1$的表达式为$y_1=2x$（$x≥0$）。
设$y_2$的表达式为$y_2=k_2x+b$（$k_2≠0$），
将点$(0,10)$、$(10,20)$分别代入得：
$\begin{cases}b=10\\10k_2+b=20\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k_2=1\\b=10\end{cases}$，
因此$y_2$的表达式为$y_2=x+10$（$x≥0$）。
(2) 公司盈利需满足销售额大于成本，即$y_1＞y_2$，
代入表达式得：$2x＞x+10$，
解得$x＞10$，即销售量$x＞10$时公司盈利。
【答案】
(1) $y_1=2x$；$y_2=x+10$
(2) $x＞10$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式的应用
【点评】
本题结合实际生产场景考查一次函数的应用，解题的核心是准确从函数图像中提取关键点坐标，结合数形结合思想可以快速判断函数值大小关系，难度较低，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 求一次函数表达式可采用待定系数法，先设出函数的一般形式，再结合图像提取经过的点的坐标代入求解即可。观察图像可知$y_1$是过原点的正比例函数，经过点$(10,20)$；$y_2$是一次函数，经过点$(0,10)$和$(10,20)$，分别代入对应函数式求解参数即可。
(2) 公司盈利即销售额大于成本，也就是$y_1＞y_2$，代入(1)中求得的表达式解不等式，或者观察图像，找到$y_1$图像在$y_2$上方对应的$x$的取值范围即可。
【解析】
(1) 设$y_1$的表达式为$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），
将点$(10,20)$代入得：$20=10k_1$，解得$k_1=2$，
因此$y_1$的表达式为$y_1=2x$（$x≥0$）。
设$y_2$的表达式为$y_2=k_2x+b$（$k_2≠0$），
将点$(0,10)$、$(10,20)$分别代入得：
$\begin{cases}b=10\\10k_2+b=20\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k_2=1\\b=10\end{cases}$，
因此$y_2$的表达式为$y_2=x+10$（$x≥0$）。
(2) 公司盈利需满足销售额大于成本，即$y_1＞y_2$，
代入表达式得：$2x＞x+10$，
解得$x＞10$，即销售量$x＞10$时公司盈利。
【答案】
(1) $y_1=2x$；$y_2=x+10$
(2) $x＞10$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式的应用
【点评】
本题结合实际生产场景考查一次函数的应用，解题的核心是准确从函数图像中提取关键点坐标，结合数形结合思想可以快速判断函数值大小关系，难度较低，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
4. 某快递公司每天上午7:00～8:00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两个仓库的快件数量y件与时间x min之间的函数图象如图所示.下列说法错误的是 （
A.乙仓库每分钟派发快件数量为4件
B.8:00时，甲仓库内快件数量为400件
C.15 min时，甲仓库内快件数量为180件
D.7:20时，两个仓库的快递件数相同
C
）A.乙仓库每分钟派发快件数量为4件
B.8:00时，甲仓库内快件数量为400件
C.15 min时，甲仓库内快件数量为180件
D.7:20时，两个仓库的快递件数相同
答案
4.C
解析
【分析】
本题是一次函数的实际应用类题目，解题思路如下：首先观察图象提取甲、乙两个函数经过的点坐标，使用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快件数量y关于时间x的一次函数解析式，再根据每个选项的描述，代入对应x值计算验证，最终选出错误的选项即可。
【解析】
首先求甲仓库的函数解析式：
设甲仓库快件数量与时间的函数关系为$y_甲=k_1x+b_1$，由图象可知函数过点$(0,40)$、$(15,130)$，
将$(0,40)$代入得$b_1=40$，
将$b_1=40$、$(15,130)$代入得$130=15k_1+40$，解得$k_1=6$，
因此$y_甲=6x+40$。
再求乙仓库的函数解析式：
设乙仓库快件数量与时间的函数关系为$y_乙=k_2x+b_2$，由图象可知函数过点$(15,180)$、$(60,0)$，
代入得方程组：$\begin{cases}180=15k_2+b_2\\0=60k_2+b_2\end{cases}$，
两式相减消去$b_2$得：$-180=45k_2$，解得$k_2=-4$，
将$k_2=-4$代入$0=60k_2+b_2$得$b_2=240$，
因此$y_乙=-4x+240$。
逐一验证选项：
A. 乙的函数斜率为-4，即每分钟快件数量减少4件，也就是每分钟派发快件4件，描述正确；
B. 8:00时对应$x=60$，代入$y_甲=6×60+40=400$件，描述正确；
C. 15min时，代入$y_甲=6×15+40=130$件，不是180件，描述错误；
D. 7:20对应$x=20$，代入得$y_甲=6×20+40=160$，$y_乙=-4×20+240=160$，件数相同，描述正确。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一次函数图象的意义
【点评】
本题结合快递揽派的实际场景考查一次函数的相关知识，解题的核心是正确从图象中提取坐标信息求出函数解析式，再结合实际意义分析选项，能够很好地考查学生读图分析和知识应用的能力。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数的实际应用类题目，解题思路如下：首先观察图象提取甲、乙两个函数经过的点坐标，使用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快件数量y关于时间x的一次函数解析式，再根据每个选项的描述，代入对应x值计算验证，最终选出错误的选项即可。
【解析】
首先求甲仓库的函数解析式：
设甲仓库快件数量与时间的函数关系为$y_甲=k_1x+b_1$，由图象可知函数过点$(0,40)$、$(15,130)$，
将$(0,40)$代入得$b_1=40$，
将$b_1=40$、$(15,130)$代入得$130=15k_1+40$，解得$k_1=6$，
因此$y_甲=6x+40$。
再求乙仓库的函数解析式：
设乙仓库快件数量与时间的函数关系为$y_乙=k_2x+b_2$，由图象可知函数过点$(15,180)$、$(60,0)$，
代入得方程组：$\begin{cases}180=15k_2+b_2\\0=60k_2+b_2\end{cases}$，
两式相减消去$b_2$得：$-180=45k_2$，解得$k_2=-4$，
将$k_2=-4$代入$0=60k_2+b_2$得$b_2=240$，
因此$y_乙=-4x+240$。
逐一验证选项：
A. 乙的函数斜率为-4，即每分钟快件数量减少4件，也就是每分钟派发快件4件，描述正确；
B. 8:00时对应$x=60$，代入$y_甲=6×60+40=400$件，描述正确；
C. 15min时，代入$y_甲=6×15+40=130$件，不是180件，描述错误；
D. 7:20对应$x=20$，代入得$y_甲=6×20+40=160$，$y_乙=-4×20+240=160$，件数相同，描述正确。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一次函数图象的意义
【点评】
本题结合快递揽派的实际场景考查一次函数的相关知识，解题的核心是正确从图象中提取坐标信息求出函数解析式，再结合实际意义分析选项，能够很好地考查学生读图分析和知识应用的能力。
【难度系数】
0.7
5. 在A,B两个码头之间有客轮和货轮通行.一天,客轮从A码头匀速行驶到B码头,同时货轮从B码头出发,运送一批物资匀速行驶到A码头,两船距B码头的距离y km与行驶时间x min之间的函数关系如图所示,请根据图象,解决下列问题:
(1)A,B两个码头之间的距离是
(2)客轮距B码头的距离$y_1$ km与时间x min之间的函数表达式为
(3)两船出发
(1)A,B两个码头之间的距离是
80
km;(2)客轮距B码头的距离$y_1$ km与时间x min之间的函数表达式为
$y_1=-2x+80(0≤ x≤ 40)$
;(3)两船出发
18或70
min时,相距35 km.答案
5.(1)80 (2)$y_1=-2x+80(0≤ x≤ 40)$ (3)18或70
解析
【分析】
(1) 观察图象，x=0时客轮从A码头出发，此时它距B码头的距离就是A、B两码头的距离，直接读取y轴初始值即可。
(2) 客轮对应的函数是一次函数，图象过(0,80)和(40,0)两点，用待定系数法设表达式代入求解，再根据客轮行驶总时长确定x的取值范围。
(3) 先求货轮对应的函数表达式，再分两种情况讨论：①两船相遇前、都在行驶时相距35km；②客轮到达B码头停止后，货轮距B码头35km，分别列方程求解，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
(1) x=0时客轮距B码头80km，因此A、B两个码头之间的距离是80km。
(2) 设客轮的函数表达式为$y_1=kx+b$，将点$(0,80)$、$(40,0)$代入得：
$\begin{cases}b=80 \\40k + b = 0\end{cases}$
解得$k=-2$，$b=80$，结合客轮全程行驶40min，可得$y_1=-2x+80(0≤ x≤ 40)$。
(3) 设货轮距B码头的距离为$y_2=mx$，将点$(160,80)$代入得$160m=80$，解得$m=0.5$，即$y_2=0.5x(0≤ x≤ 160)$。
分情况讨论：
① 当$0≤ x≤40$，两船均在行驶：
相遇前相距35km时：$y_1 - y_2=35$，即$-2x+80-0.5x=35$，解得$x=18$，符合取值范围。
若相遇后两船均行驶时相距35km：$y_2 - y_1=35$，解得$x=46$，超出$0≤ x≤40$的范围，舍去。
② 当$x＞40$，客轮已到达B码头，$y_1=0$，此时两船距离等于$y_2$，即$0.5x=35$，解得$x=70$，符合取值范围。
综上，两船出发18或70min时相距35km。
【答案】
(1)$80$；(2)$y_1=-2x+80(0≤ x≤ 40)$；(3)$18$或$70$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分类讨论解行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是准确理解图象中各点和线段的实际意义，求解距离类问题时要注意分行驶阶段讨论，验证解是否符合实际行驶的时间范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
(1) 观察图象，x=0时客轮从A码头出发，此时它距B码头的距离就是A、B两码头的距离，直接读取y轴初始值即可。
(2) 客轮对应的函数是一次函数，图象过(0,80)和(40,0)两点，用待定系数法设表达式代入求解，再根据客轮行驶总时长确定x的取值范围。
(3) 先求货轮对应的函数表达式，再分两种情况讨论：①两船相遇前、都在行驶时相距35km；②客轮到达B码头停止后，货轮距B码头35km，分别列方程求解，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
(1) x=0时客轮距B码头80km，因此A、B两个码头之间的距离是80km。
(2) 设客轮的函数表达式为$y_1=kx+b$，将点$(0,80)$、$(40,0)$代入得：
$\begin{cases}b=80 \\40k + b = 0\end{cases}$
解得$k=-2$，$b=80$，结合客轮全程行驶40min，可得$y_1=-2x+80(0≤ x≤ 40)$。
(3) 设货轮距B码头的距离为$y_2=mx$，将点$(160,80)$代入得$160m=80$，解得$m=0.5$，即$y_2=0.5x(0≤ x≤ 160)$。
分情况讨论：
① 当$0≤ x≤40$，两船均在行驶：
相遇前相距35km时：$y_1 - y_2=35$，即$-2x+80-0.5x=35$，解得$x=18$，符合取值范围。
若相遇后两船均行驶时相距35km：$y_2 - y_1=35$，解得$x=46$，超出$0≤ x≤40$的范围，舍去。
② 当$x＞40$，客轮已到达B码头，$y_1=0$，此时两船距离等于$y_2$，即$0.5x=35$，解得$x=70$，符合取值范围。
综上，两船出发18或70min时相距35km。
【答案】
(1)$80$；(2)$y_1=-2x+80(0≤ x≤ 40)$；(3)$18$或$70$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分类讨论解行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是准确理解图象中各点和线段的实际意义，求解距离类问题时要注意分行驶阶段讨论，验证解是否符合实际行驶的时间范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
