1.如图，函数$y=x+1$与$y=ax+3$的图象交于点$P(1,2)$，则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=x+1, \\ y=ax+3\end{cases}$的解是（ ）


A.$\begin{cases} x=1 \\ y=-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2 \\ y=12 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-2 \\ y=1 \end{cases}$

1.C

【分析】
解题的核心是掌握一次函数与二元一次方程组的对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，同时满足两个函数的解析式，因此交点的横、纵坐标就是这两个函数对应的二元一次方程组的解。本题已经明确给出两个一次函数的交点为P(1,2)，直接对应即可得到方程组的解。
【解析】
二元一次方程组中的每个方程都对应一条一次函数直线，方程组的解就是两条直线公共点（交点）的坐标，交点的横、纵坐标能同时满足两个函数的解析式。
已知函数$y=x+1$与$y=ax+3$的图象交于点$P(1,2)$，说明$x=1、y=2$同时满足两个函数解析式，因此方程组$\begin{cases}y=x+1 \\ y=ax+3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；函数图象交点的意义
【点评】
本题是基础概念类考题，不需要复杂计算，只要理解一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 直线$y=-2x+7$与直线$y=x+1$的交点坐标为

2.(2,3)

【分析】
两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，因此求两条直线的交点坐标，只需将两个直线的解析式联立为二元一次方程组，该方程组的解就是交点的横、纵坐标。
【解析】
联立两条直线的解析式，得到方程组：
$\begin{cases}y=-2x+7 \\y=x+1\end{cases}$
将两个方程的右边相等消去y，可得：
$-2x+7=x+1$
移项合并同类项得：$-3x=-6$
解得：$x=2$
把$x=2$代入$y=x+1$，得$y=2+1=3$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$，即两直线的交点坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，二元一次方程组的解法
【点评】
本题是基础考点题型，重点考查一次函数图象交点和二元一次方程组解的对应关系，掌握联立解析式求解的方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.9

3. 利用函数图象解方程组$\begin{cases}3x - y = 2, \\x - y = -2.\end{cases}$

3.图略,方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$

【分析】
要利用函数图象解二元一次方程组，需明确一次函数与二元一次方程组的联系：方程组中的每个二元一次方程都对应一个一次函数（即一条直线），方程组的解就是两条直线交点的横、纵坐标。解题思路如下：①先将两个二元一次方程变形为y=kx+b（k≠0）的一次函数形式；②在平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象；③确定两条直线的交点坐标，交点的横坐标就是方程组中x的解，纵坐标就是方程组中y的解。
【解析】
1. 将方程组中的方程转化为一次函数形式：
对$3x - y = 2$移项整理，得$y = 3x - 2$；
对$x - y = -2$移项整理，得$y = x + 2$。
2. 绘制两个一次函数的图象：
画$y=3x-2$：取点$(0,-2)$和$(1,1)$，过两点画直线，即为$y=3x-2$的图象；
画$y=x+2$：取点$(0,2)$和$(1,3)$，过两点画直线，即为$y=x+2$的图象。
3. 找交点得解：观察图象可知两条直线的交点坐标为$(2,4)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=4 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 一次函数图象绘制
3. 二元一次方程组的图象解法
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是掌握二元一次方程与一次函数的转化方法，通过准确绘制函数图象找交点即可得到方程组的解，需要注意描点时坐标计算准确，避免因图象绘制错误得到错误的解。
【难度系数】
0.7

4.若关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}y=3x-2, \\ y=kx-3\end{cases}$无解，则k的值为 ______ 。

4.3

【分析】
思路1：从代数角度：将第一个方程代入第二个方程，得到关于x的一元一次方程，若方程组无解，则该一元一次方程无解，即未知数x的系数为0、常数项不为0，据此列等式求k即可。
思路2：从函数角度：二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点，方程组无解说明两条直线平行无交点，一次函数$y=ax+b$中两直线平行的条件是一次项系数a相等、常数项b不等，据此可直接求出k的值。
【解析】
方法一（代数法）：
把$y=3x-2$代入$y=kx-3$，可得：
$3x-2=kx-3$
移项整理得：$(3 - k)x = -1$
若原方程组无解，则该关于x的一元一次方程无解，即x的系数为0且常数项不为0：
令$3 - k = 0$，解得$k=3$，此时右边常数项为$-1≠0$，符合无解的条件。
方法二（几何法）：
方程组的两个方程对应两个一次函数：$y=3x-2$和$y=kx-3$，方程组无解说明两条直线没有交点，即互相平行。
一次函数$y=ax+b$形式的两条直线平行的条件是：一次项系数相等，常数项不相等，因此$k=3$，此时两个函数的常数项分别为$-2$和$-3$，不相等，确为平行关系，符合要求。
【答案】
3
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 一元一次方程无解的条件
3. 两直线平行的判定
【点评】
本题考查二元一次方程组无解的判定，可从代数运算或函数几何意义两个角度切入解题，是对一次函数与方程综合应用的基础考查，掌握两种思路的对应关系能快速解题。
【难度系数】
0.75

5. 若关于$x,y$的方程组 $\begin{cases}(m+1)x + 3y = n, \\ y = 2x - 1\end{cases}$ 有无数组解，则$m=$ ______ ,$n=$ ______ .

5.$-7$；$-3$

【分析】
要解决这道题，首先需明确：若二元一次方程组有无数组解，说明两个方程化简后完全等价，通过代入消元得到的一元一次方程为恒等式（即0乘任意数都等于0的形式）。解题时先将第二个方程代入第一个方程，整理为关于x的一元一次方程，再根据恒成立的条件列等式求解m、n的值即可。
【解析】
将$y=2x-1$代入$(m+1)x + 3y = n$，得：
$(m+1)x + 3(2x - 1) = n$
展开并合并同类项：
$(m+1)x + 6x - 3 = n$
$(m+7)x = n + 3$
因为原方程组有无数组解，所以上述关于x的方程对任意x都成立，需满足一次项系数为0，且常数项为0：
$\begin{cases}m+7=0 \\ n+3=0\end{cases}$
解得：$m=-7$，$n=-3$。
【答案】
$-7$；$-3$
【知识点】
二元一次方程组解的判定、代入消元法、方程恒成立条件
【点评】
本题核心考查二元一次方程组有无数组解的判定条件，解题的关键是通过代入消元将二元方程组转化为一元方程，再结合恒成立的性质求解，熟练掌握方程组不同解的情况对应的条件是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7

6.如图，两条直线的交点坐标$(2,3)$可以看作两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是$x+1=y$，则另一个方程可以是（）

A.$2x - y = -1$
B.$2x - y = 1$
C.$2x + y = -1$
D.$3x - y = -1$

6.B

【分析】
解题的核心依据是：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数对应的二元一次方程组成的方程组的公共解，因此交点(2,3)一定满足要求的另一个方程。我们只需要将x=2，y=3代入各个选项的方程中，验证等式是否成立，成立的就是正确选项。
【解析】
已知两条直线的交点坐标为(2,3)，则该点是两个二元一次方程的公共解，即x=2，y=3同时满足两个方程。
将x=2，y=3分别代入各选项验证：
A. 左边=2×2 - 3=1，右边=-1，左边≠右边，不符合；
B. 左边=2×2 - 3=1，右边=1，左边=右边，符合；
C. 左边=2×2 + 3=7，右边=-1，左边≠右边，不符合；
D. 左边=3×2 - 3=3，右边=-1，左边≠右边，不符合。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，二元一次方程组的解，代入验证法
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题关键是理解函数图象交点与方程组解的对应性，代入验证的方法简单直接，是这类题的常用解法。
【难度系数】
0.8

7. 如图,在同一平面直角坐标系中,直线 $ l_1: y = k_1x + b_1 $ 与直线 $ l_2: y = k_2x + b_2 $ 的图象交于点 $ P(-1, 2) $,则关于 $ x, y $ 的方程组 $\begin{cases}y = k_1(x - 1) + b_1, \\ y = k_2(x - 1) + b_2\end{cases}$ 的解为 ______ .

7.$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$

【分析】
首先明确核心知识点：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。观察待求方程组的特征，两个方程的自变量均由原解析式的$x$变为了$(x-1)$，我们可以将$(x-1)$看作整体，结合原方程组的解求解；也可以从函数平移角度理解：解析式变为$y=k(x-1)+b$是原函数向右平移1个单位，两条直线同时平移时交点也同步平移，横坐标右移1个单位、纵坐标不变，即可得到新交点坐标，也就是新方程组的解。
【解析】
解：$\because$ 直线$l_1:y=k_1x+b_1$与直线$l_2:y=k_2x+b_2$的交点为$P(-1,2)$
$\therefore$ 方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1 \\ y=k_2x+b_2 \end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
待求方程组为$\begin{cases}y=k_1(x-1)+b_1 \\ y=k_2(x-1)+b_2 \end{cases}$，将$(x-1)$看作整体，可得$x-1=-1$，$y=2$
解$x-1=-1$得$x=0$，因此待求方程组的解为$\begin{cases}x=0 \\ y=2 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x=0 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与方程组的关系、函数平移规律、换元思想
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考察一次函数和二元一次方程组的对应关系，解题的关键是理解方程组解和函数交点的关联，既可以用整体换元的方法计算，也可以结合平移规律直接推导，能够很好的检验对基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7

8.如图,直线$l_1:y=x+1$与直线$l_2:y=mx+n$相交于点P.
(1)$b$的值为________;
(2)不解关于$x$的方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=mx+n, \end{cases}$请你直接写出它的解:________;
(3)直线$l_3:y=nx+m$是否也经过点P?请说明理由.

8.(1)2
(2)$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(3)经过.理由:将$(1,2)$代入$l_2:y=mx+n$,得$2=m+n$;将$x=1$代入$l_3:y=nx+m$,得$y=n+m=2$,所以直线$l_3:y=nx+m$也经过点$P$.

【分析】
(1) 求$b$的值时，先观察图象得到点$P$的横坐标为1，且点$P$在直线$l_1$上，将$x=1$代入$l_1$的解析式计算，得到的$y$值就是$b$的值。
(2) 二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，因为交点处的$x、y$值同时满足两个一次函数的解析式，即同时满足两个方程，因此直接写出交点$P$的坐标就是方程组的解。
(3) 要判断直线$l_3$是否经过点$P$，先利用点$P$在$l_2$上的条件，得到$m$和$n$的数量关系，再将$x=1$代入$l_3$的解析式，判断计算出的$y$值是否等于点$P$的纵坐标，若相等则说明点$P$在$l_3$上，即$l_3$经过点$P$。
【解析】
(1) 由图可知点$P$的横坐标为1，将$x=1$代入直线$l_1:y=x+1$，得$y=1+1=2$，因此$b=2$。
(2) 两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，由(1)得交点$P$的坐标为$(1,2)$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$。
(3) 直线$l_3$经过点$P$，理由如下：
∵点$P(1,2)$在直线$l_2:y=mx+n$上，
∴将$x=1,y=2$代入$l_2$的解析式得：$2=m×1+n$，即$m+n=2$。
将$x=1$代入直线$l_3:y=nx+m$，得$y=n×1+m=m+n=2$，
即当$x=1$时，$y=2$，说明点$P(1,2)$满足$l_3$的解析式，因此直线$l_3$经过点$P$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}}$
(3) 经过，理由见解析。
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 一次函数与二元一次方程组
3. 一次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题的关键是理解“两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”“若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”这两个核心结论，熟练掌握相关规律可快速作答。
【难度系数】
0.8