1. 把二元一次方程$x+1=4y+\frac{x}{3}$化为$y=kx+b$的形式，正确的是（）

A.$y=\frac{1}{3}x+1$
B.$y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}$
C.$y=\frac{1}{6}x+1$
D.$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}$

1.B

【分析】
要将给定的二元一次方程化为$y=kx+b$的形式，核心是利用等式的基本性质，通过移项、合并同类项、系数化为1等操作，将$y$单独放在等号左侧，其余项整理到右侧并化简即可。首先先把含$y$的项单独放一侧，再处理含$x$的项和常数项，最后把$y$的系数化为1就能得到结果。
【解析】
对原方程$x+1=4y+\frac{x}{3}$进行变形：
1. 移项：将含$x$的项移到等号左侧，得 $x - \frac{x}{3} + 1 = 4y$
2. 合并同类项：计算左侧含$x$的项，$x-\frac{x}{3}=\frac{3x}{3}-\frac{x}{3}=\frac{2x}{3}$，因此方程变为 $\frac{2}{3}x + 1 = 4y$
3. 系数化为1：等号两边同时除以4，得 $y = (\frac{2}{3}x) × \frac{1}{4} + 1 × \frac{1}{4}$
计算化简得：$y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；二元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查将二元一次方程转化为一次函数的斜截式形式，解题的关键是熟练掌握等式变形的规则，计算分数系数时要仔细，避免运算失误。
【难度系数】
0.8

2.若以方程$2x+y=14$的解为坐标的点组成的图象是一条直线，则这条直线对应的一次函数表达式为（）

A.$y=2x+14$
B.$y=2x-14$
C.$y=-2x+14$
D.$y=-x+7$

2.C

【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程和对应一次函数的关系：以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象，就是该方程对应的一次函数的图象，因此我们只需要把给定的二元一次方程变形为一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$）即可。解题时先对原方程移项，把含$y$的项留在等号左侧，其余项移到等号右侧，注意移项要变号，整理后得到的表达式和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），我们将二元一次方程$2x+y=14$变形为用$x$表示$y$的形式：
对$2x+y=14$移项，将$2x$移到等号右侧，变号后可得：
$y=-2x+14$
因此这条直线对应的一次函数表达式为$y=-2x+14$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程与一次函数的关系 2. 移项法则
【点评】
本题是基础题型，核心考查二元一次方程和一次函数的对应转化，解题的关键是熟练掌握等式移项的规则，能正确将二元一次方程转化为一次函数的标准形式。
【难度系数】
0.9

3. 下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程$2x - 3y = 6$的解的是 （）

3.D

【分析】
要判断哪条直线对应二元一次方程$2x-3y=6$，首先可以将二元一次方程转化为一次函数的形式，一次函数的图像就是该方程对应的直线；接下来只需求出这条直线与x轴、y轴的交点坐标，再对比四个选项的图像特征即可选出正确答案。
【解析】
首先将方程$2x-3y=6$变形为一次函数的形式：
移项得$-3y=-2x+6$，两边同时除以$-3$，可得$y=\frac{2}{3}x-2$。
接下来计算该直线与坐标轴的交点：
1. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入函数得$y=\frac{2}{3}×0 -2=-2$，即与y轴交点为$(0,-2)$；
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入函数得$0=\frac{2}{3}x -2$，解得$x=3$，即与x轴交点为$(3,0)$。
对比四个选项的图像：只有D选项的直线同时经过$(0,-2)$和$(3,0)$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；一次函数的图像；一次函数与坐标轴交点的求法
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查二元一次方程和一次函数的对应关系，只要掌握将方程转化为函数解析式、求函数与坐标轴交点的方法，就能快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.7

4.若以关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ x - 2y + b = 0 $ 的解为坐标的点 $ (x,y) $ 都在直线 $ y = \frac{1}{2}x + b - 1 $ 上，则常数 $ b $ 的值为（）

A.0
B.−1
C.2
D.1

4.C

【分析】
本题考查一次函数与二元一次方程的对应关系，解题思路如下：首先，若二元一次方程的所有解对应的点都在某条直线上，说明将该二元一次方程变形为用x表示y的一次函数形式后，与已知直线的解析式完全相同（即x的系数、常数项均对应相等）。第一步先把方程$x - 2y + b = 0$转化为$y=kx+c$的形式，第二步对比两个解析式的常数项列方程，第三步求解方程即可得到b的值。
【解析】
1. 先将二元一次方程$x - 2y + b = 0$变形为用x表示y的形式：
移项得：$-2y = -x - b$
两边同时除以$-2$，得：$y = \frac{1}{2}x + \frac{b}{2}$
2. 由题意，以方程$x - 2y + b = 0$的解为坐标的点都在直线$y = \frac{1}{2}x + b - 1$上，因此两个一次函数的解析式完全相同，常数项相等：
$\frac{b}{2} = b - 1$
3. 解上述一元一次方程：
移项得：$b - \frac{b}{2} = 1$
合并同类项得：$\frac{b}{2} = 1$
解得：$b = 2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 一次函数解析式
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一次函数与方程结合的基础题型，解题关键是理解二元一次方程和对应一次函数的等价关系，通过对比解析式的对应项列方程求解即可，熟练掌握二者的对应关系能快速解答这类题型。
【难度系数】
0.7

5.若以二元一次方程$8x - 4y = 5$的解为坐标的点构成了直线$l$，则该直线不经过的象限是第象限。

5.二

【分析】
要判断直线不经过的象限，首先需将给定的二元一次方程转化为一次函数的标准形式$y=kx+b$（$k≠0$），再根据一次函数的图象性质：$k$的符号决定直线的升降趋势，$b$的符号决定直线与$y$轴的交点位置，结合二者符号即可确定直线经过的所有象限，进而得到不经过的象限。
【解析】
首先对二元一次方程$8x - 4y = 5$进行变形，将其转化为一次函数形式：
移项得：$-4y = -8x + 5$
两边同时除以$-4$得：$y = 2x - \frac{5}{4}$
在该一次函数中，斜率$k=2＞0$，因此直线从左到右上升，必然经过第一、三象限；
截距$b=-\frac{5}{4}＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，因此直线还会经过第四象限。
综上，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程的关系
2.一次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程与一次函数的转化，以及根据一次函数的$k$、$b$值判断图象经过象限的方法，熟练掌握一次函数的图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 已知 $\begin{cases}x=1, \\ y=3\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x=0, \\ y=-2\end{cases}$ 都是方程 $y=ax+b$ 的解，则一次函数 $y=ax+b$ 的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ______ 。

6.$\frac{2}{5}$

【分析】
首先，方程的解满足方程本身，因此可以将两组已知的解代入方程$y=ax+b$，得到关于参数$a$、$b$的二元一次方程组，求解即可确定一次函数的解析式；其次，分别计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，该函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边的长度分别为两个交点的横、纵坐标的绝对值，最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：将$\begin{cases}x=1, \\ y=3\end{cases}$和$\begin{cases}x=0, \\ y=-2\end{cases}$分别代入$y=ax+b$，可得：
$\begin{cases}a + b = 3 \\ b = -2\end{cases}$
把$b=-2$代入$a + b =3$，得$a - 2 =3$，解得$a=5$
因此一次函数的解析式为$y=5x -2$
当$x=0$时，$y=-2$，即函数与y轴的交点为$(0,-2)$
当$y=0$时，$5x -2 =0$，解得$x=\frac{2}{5}$，即函数与x轴的交点为$(\frac{2}{5},0)$
则一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2} × \left| -2 \right| × \left| \frac{2}{5} \right| = \frac{1}{2} × 2 × \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
二元一次方程的解；待定系数法；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础常规题型，综合考查了二元一次方程解的性质、待定系数法的应用以及一次函数图象的相关性质，解题核心是正确求出一次函数的解析式，熟练掌握一次函数与坐标轴交点的求法。
【难度系数】
0.7

7.[新课标—探究题]已知二元一次方程$x+y=3$，通过列举法将方程的解写成下列表格的形式.

如果将二元一次方程的解所包含的未知数$x$的值对应平面直角坐标系中一个点的横坐标，未知数$y$的值对应这个点的纵坐标，那么每一个二元一次方程的解，都可以对应平面直角坐标系中的一个点.例如，方程$x+y=3$的解$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$的对应点是点$(2,1)$.
(1)①表格中的$m=$，$n=$；
②根据以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出这五个点.
(2)观察这些点，猜想$x+y=3$的解对应的点所组成的图形，并写出它的两个图象特征.
(3)若点$P(b,a-3),G(-a,b+3)$恰好都落在$x+y=3$的解对应的点组成的图象上，求$a,b$的值.

7. (1)①$4;\frac{9}{2}$
②图略.
(2)猜想:$x+y=3$的解对应的点所组成的图形为直线.
两个图象特征:①图象经过第一、二、四象限;②图象自左向右呈下降趋势.(答案不唯一,合理即可)
(3)$a$的值为$3$,$b$的值为$3$.

【分析】
(1)① 二元一次方程$x+y=3$的所有解都满足$y=3-x$或$x=3-y$，表格中已知对应$x$值时代入即可求出$y$的值$m$，已知对应$y$值时代入即可求出$x$的值$n$。② 按照题目给出的对应规则，将每组解的$x$作为横坐标、$y$作为纵坐标得到点的坐标，依次在坐标系中描点即可。
(2) 观察描出的所有点的分布规律，可猜想对应图形为直线，结合一次函数$y=-x+3$的图象性质，总结两条合理的图象特征即可。
(3) 点落在$x+y=3$对应的图象上，说明点的横、纵坐标之和为3，将$P$、$G$两点坐标分别代入$x+y=3$，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$a$、$b$的值。
【解析】
(1)① 由方程$x+y=3$得$y=3-x$、$x=3-y$：
当$x=-1$时，$m=y=3-(-1)=4$；
当$y=-\frac{3}{2}$时，$n=x=3-(-\frac{3}{2})=\frac{9}{2}$。
② 将表格中五组解依次转化为坐标$(x,y)$，在平面直角坐标系中描出对应点即可，图略。
(2) 猜想：$x+y=3$的解对应的点组成的图形是直线。
图象特征示例：① 图象经过第一、二、四象限；② 图象自左向右呈下降趋势（或$y$随$x$的增大而减小、图象与$x$轴交于$(3,0)$、与$y$轴交于$(0,3)$等，合理即可）。
(3) 因为点$P(b,a-3)$在$x+y=3$对应的图象上，代入得：
$b+(a-3)=3$，整理得$a+b=6$ ①；
因为点$G(-a,b+3)$在$x+y=3$对应的图象上，代入得：
$-a+(b+3)=3$，整理得$-a+b=0$ ②；
联立①②得方程组$\begin{cases}a+b=6\\-a+b=0\end{cases}$，
①+②得$2b=6$，解得$b=3$，
将$b=3$代入②得$-a+3=0$，解得$a=3$。
【答案】
(1)①$4$；$\frac{9}{2}$ ②图略
(2)图形为直线，特征示例：①经过第一、二、四象限；②自左向右呈下降趋势（答案不唯一，合理即可）
(3)$a=3$，$b=3$
【知识点】
二元一次方程的解、一次函数的图象、二元一次方程组的解法
【点评】
本题以探究形式结合了二元一次方程与平面直角坐标系的知识，考查了知识迁移能力和数形结合思想，从方程的解到点的坐标再到函数图象的探究过程符合新课标的要求，最后结合点在图象上的性质解方程组，考查了基础运算能力。
【难度系数】
0.7