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1.某手机专卖店销售一台A型手机的利润为100元，销售一台B型手机的利润为150元.该专卖店计划一次性购进这两种型号的手机共20台，其中B型手机的进货量不超过A型手机的3倍.设购进A型手机x台，这20台手机的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数表达式并写出x的取值范围；
(2)该专卖店购进A型手机、B型手机各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
(1)求y关于x的函数表达式并写出x的取值范围；
(2)该专卖店购进A型手机、B型手机各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？
答案
(1)y关于x的函数表达式为y=-50x+3 000(5≤x≤20).
(2)该专卖店购进A型手机5台，B型手机15台，才能使销售总利润最大，最大利润为2 750元.
(2)该专卖店购进A型手机5台，B型手机15台，才能使销售总利润最大，最大利润为2 750元.
解析
【分析】
解决第一问时，首先明确总利润为两种手机的利润之和，已知A型手机进货量为x台，可推出B型手机进货量为(20-x)台，结合单台利润即可列出总利润y与x的函数表达式；再根据“B型手机进货量不超过A型手机的3倍”，以及进货量不能为负数的隐含条件，列不等式求解即可得到x的取值范围。解决第二问时，先判断所得一次函数的增减性，再结合x的取值范围，即可找到使总利润最大的x值，进而求出对应的进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 已知购进A型手机x台，则购进B型手机$(20-x)$台，根据“总利润=单台利润×销售数量”可得：
$\begin{aligned}y&=100x+150(20-x)\\&=100x+3000-150x\\&=-50x+3000\end{aligned}$
接下来求x的取值范围：
由“B型手机的进货量不超过A型手机的3倍”得：$20-x≤3x$，解得$x≥5$；
由进货量非负得：$x≥0$且$20-x≥0$，即$x≤20$；
综上，x的取值范围为$5≤ x≤20$。
因此y关于x的函数表达式为$y=-50x+3000(5≤ x≤20)$。
(2) 一次函数$y=-50x+3000$中，一次项系数$k=-50＜0$，因此y随x的增大而减小。
要使总利润y最大，需取x的最小值，即$x=5$。
此时B型手机进货量为$20-5=15$（台），最大利润为$y=-50×5+3000=2750$（元）。
【答案】
(1)y关于x的函数表达式为y=-50x+3 000(5≤x≤20)。
(2)该专卖店购进A型手机5台，B型手机15台，才能使销售总利润最大，最大利润为2 750元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，需要结合等量关系建立函数模型，通过不等关系确定自变量范围，再利用一次函数增减性求最值，核心考查函数性质与不等式求解的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决第一问时，首先明确总利润为两种手机的利润之和，已知A型手机进货量为x台，可推出B型手机进货量为(20-x)台，结合单台利润即可列出总利润y与x的函数表达式；再根据“B型手机进货量不超过A型手机的3倍”，以及进货量不能为负数的隐含条件，列不等式求解即可得到x的取值范围。解决第二问时，先判断所得一次函数的增减性，再结合x的取值范围，即可找到使总利润最大的x值，进而求出对应的进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 已知购进A型手机x台，则购进B型手机$(20-x)$台，根据“总利润=单台利润×销售数量”可得：
$\begin{aligned}y&=100x+150(20-x)\\&=100x+3000-150x\\&=-50x+3000\end{aligned}$
接下来求x的取值范围：
由“B型手机的进货量不超过A型手机的3倍”得：$20-x≤3x$，解得$x≥5$；
由进货量非负得：$x≥0$且$20-x≥0$，即$x≤20$；
综上，x的取值范围为$5≤ x≤20$。
因此y关于x的函数表达式为$y=-50x+3000(5≤ x≤20)$。
(2) 一次函数$y=-50x+3000$中，一次项系数$k=-50＜0$，因此y随x的增大而减小。
要使总利润y最大，需取x的最小值，即$x=5$。
此时B型手机进货量为$20-5=15$（台），最大利润为$y=-50×5+3000=2750$（元）。
【答案】
(1)y关于x的函数表达式为y=-50x+3 000(5≤x≤20)。
(2)该专卖店购进A型手机5台，B型手机15台，才能使销售总利润最大，最大利润为2 750元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，需要结合等量关系建立函数模型，通过不等关系确定自变量范围，再利用一次函数增减性求最值，核心考查函数性质与不等式求解的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2.[新课标—综合与实践题]某校在冬季运动会来临之际准备购进一批奖杯用于鼓励运动员.现了解到甲、乙商场对A,B两种奖杯推出了不同的优惠活动,那么去哪个商场选择何种方案更优惠呢?某数学学习小组针对此问题进行了如下研究:
选择更优惠的奖杯购买方案
素材1
在甲或乙商场原价购买3个A种奖杯和4个B种奖杯共需180元;购买1个A种奖杯和2个B种奖杯共需80元
素材2
甲、乙两个商场的优惠方案
甲商场:A,B两种奖杯均按原价的
折销售
乙商场:①购买A种奖杯的数量不超过10个时,按原价销售;数量超过10个时,超过的部分按原价的八折销售;②购买B种奖杯不打折
续表
问题解决
任务1
求A,B两种奖杯的原价
任务2
学校打算购买A,B两种奖杯共100个,若设购买A种奖杯m个,选择在甲商场购买的总费用为
元,选择在乙商场购买的总费用为y₂元.请直接写出y₁和y₂关于m的函数表达式,并为学校设计比较合算的购买方案
选择更优惠的奖杯购买方案
素材1
在甲或乙商场原价购买3个A种奖杯和4个B种奖杯共需180元;购买1个A种奖杯和2个B种奖杯共需80元
素材2
甲、乙两个商场的优惠方案
甲商场:A,B两种奖杯均按原价的
折销售乙商场:①购买A种奖杯的数量不超过10个时,按原价销售;数量超过10个时,超过的部分按原价的八折销售;②购买B种奖杯不打折
续表
问题解决
任务1
求A,B两种奖杯的原价
任务2
学校打算购买A,B两种奖杯共100个,若设购买A种奖杯m个,选择在甲商场购买的总费用为
元,选择在乙商场购买的总费用为y₂元.请直接写出y₁和y₂关于m的函数表达式,并为学校设计比较合算的购买方案答案
任务1:A种奖杯的原价为20元,B种奖杯的原价为30元.
任务2:y₁关于m的函数表达式为y₁=-9m+2 700.
y₂关于m的函数表达式为
$y_2=\begin{cases}-10m+3\ 000 & (0≤ m≤ 10), \\-14m+3\ 040 & (10＜m≤ 100).\end{cases}$
由题意知0≤m≤100,令-9m+2 700=-10m+3 000,解得m=300(舍去);
令-9m+2 700=-14m+3 040,解得m=68,可作出简图如
所示.由图象可知,当0≤m＜68时,在甲商场购买比较合算;当m=68时,甲、乙两个商场的总费用相等,任选一家即可;当68＜m≤100时,在乙商场购买比较合算.
解析
【分析】
任务1解题思路：要计算A、B两种奖杯的原价，可设两个未知数，根据素材1给出的两组购买总费用的等量关系，列出二元一次方程组，求解后即可得到两种奖杯的原价。
任务2解题思路：求$y_1$时，甲商场所有奖杯均按九折销售，先表示出购买$m$个A奖杯和$(100-m)$个B奖杯的原价总和，再乘折扣即可得到$y_1$的函数式；求$y_2$时，乙商场A奖杯的优惠分两种情况：购买数量不超过10个、超过10个，分别按照对应优惠规则计算总费用，得到分段函数$y_2$。接下来分情况比较$y_1$和$y_2$的大小：当$y_1=y_2$时求解$m$得到费用相等的购买量，再分别判断$y_1＜y_2$、$y_1＞y_2$时对应的$m$范围，即可总结出最合算的购买方案。
【解析】
任务1：求解A、B两种奖杯的原价
设A种奖杯原价为$x$元，B种奖杯原价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 180 \\x + 2y = 80\end{cases}$
将第二个方程乘2得$2x+4y=160$，用第一个方程减该式：
$(3x+4y)-(2x+4y)=180-160$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$x+2y=80$，得$20+2y=80$，解得$y=30$。
任务2：求函数表达式并设计优惠方案
已知购买A种奖杯$m$个，则购买B种奖杯$(100-m)$个，$0≤ m≤100$。
1. 求$y_1$的函数表达式
甲商场两种奖杯均按原价9折销售：
$\begin{aligned}y_1&=0.9×[20m + 30(100-m)]\\&=0.9×(3000-10m)\\&=-9m + 2700\end{aligned}$
2. 求$y_2$的函数表达式
乙商场B奖杯不打折，A奖杯优惠分两类：
① 当$0≤ m≤10$时，A奖杯按原价销售：
$\begin{aligned}y_2&=20m + 30(100-m)\\&=-10m + 3000\end{aligned}$
② 当$10＜m≤100$时，A奖杯前10个原价，超出部分打8折：
$\begin{aligned}y_2&=20×10 + 20×0.8×(m-10) + 30(100-m)\\&=200 + 16m - 160 + 3000 - 30m\\&=-14m + 3040\end{aligned}$
因此$y_2=\begin{cases}-10m+3000 & (0≤ m≤ 10) \\-14m+3040 & (10＜m≤ 100)\end{cases}$
3. 比较费用确定优惠方案
当$0≤ m≤10$时，令$y_1=y_2$，解得$m=300$，超出区间舍去，该区间内$y_1＜y_2$，甲商场更合算。
当$10＜m≤100$时，令$y_1=y_2$，即$-9m+2700=-14m+3040$，解得$m=68$：
若$10＜m＜68$，则$y_1＜y_2$，甲商场更合算；
若$m=68$，则$y_1=y_2$，两商场费用相同；
若$68＜m≤100$，则$y_1＞y_2$，乙商场更合算。
【答案】
任务1:A种奖杯的原价为20元,B种奖杯的原价为30元.
任务2:y₁关于m的函数表达式为y₁=-9m+2 700.
y₂关于m的函数表达式为
$y_2=\begin{cases}-10m+3\ 000 & (0≤ m≤ 10), \\-14m+3\ 040 & (10＜m≤ 100).\end{cases}$
由题意知0≤m≤100,令-9m+2 700=-10m+3 000,解得m=300(舍去);
令-9m+2 700=-14m+3 040,解得m=68,可作出简图如所示.
由图象可知,当0≤m＜68时,在甲商场购买比较合算;当m=68时,甲、乙两个商场的总费用相等,任选一家即可;当68＜m≤100时,在乙商场购买比较合算.
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数解析式，最优方案选择
【点评】
本题结合实际消费场景，考查方程与一次函数的综合应用，重点需要掌握分段函数的分类讨论逻辑，通过比较函数值大小确定最优方案，能锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
任务1解题思路：要计算A、B两种奖杯的原价，可设两个未知数，根据素材1给出的两组购买总费用的等量关系，列出二元一次方程组，求解后即可得到两种奖杯的原价。
任务2解题思路：求$y_1$时，甲商场所有奖杯均按九折销售，先表示出购买$m$个A奖杯和$(100-m)$个B奖杯的原价总和，再乘折扣即可得到$y_1$的函数式；求$y_2$时，乙商场A奖杯的优惠分两种情况：购买数量不超过10个、超过10个，分别按照对应优惠规则计算总费用，得到分段函数$y_2$。接下来分情况比较$y_1$和$y_2$的大小：当$y_1=y_2$时求解$m$得到费用相等的购买量，再分别判断$y_1＜y_2$、$y_1＞y_2$时对应的$m$范围，即可总结出最合算的购买方案。
【解析】
任务1：求解A、B两种奖杯的原价
设A种奖杯原价为$x$元，B种奖杯原价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 180 \\x + 2y = 80\end{cases}$
将第二个方程乘2得$2x+4y=160$，用第一个方程减该式：
$(3x+4y)-(2x+4y)=180-160$，解得$x=20$。
把$x=20$代入$x+2y=80$，得$20+2y=80$，解得$y=30$。
任务2：求函数表达式并设计优惠方案
已知购买A种奖杯$m$个，则购买B种奖杯$(100-m)$个，$0≤ m≤100$。
1. 求$y_1$的函数表达式
甲商场两种奖杯均按原价9折销售：
$\begin{aligned}y_1&=0.9×[20m + 30(100-m)]\\&=0.9×(3000-10m)\\&=-9m + 2700\end{aligned}$
2. 求$y_2$的函数表达式
乙商场B奖杯不打折，A奖杯优惠分两类：
① 当$0≤ m≤10$时，A奖杯按原价销售：
$\begin{aligned}y_2&=20m + 30(100-m)\\&=-10m + 3000\end{aligned}$
② 当$10＜m≤100$时，A奖杯前10个原价，超出部分打8折：
$\begin{aligned}y_2&=20×10 + 20×0.8×(m-10) + 30(100-m)\\&=200 + 16m - 160 + 3000 - 30m\\&=-14m + 3040\end{aligned}$
因此$y_2=\begin{cases}-10m+3000 & (0≤ m≤ 10) \\-14m+3040 & (10＜m≤ 100)\end{cases}$
3. 比较费用确定优惠方案
当$0≤ m≤10$时，令$y_1=y_2$，解得$m=300$，超出区间舍去，该区间内$y_1＜y_2$，甲商场更合算。
当$10＜m≤100$时，令$y_1=y_2$，即$-9m+2700=-14m+3040$，解得$m=68$：
若$10＜m＜68$，则$y_1＜y_2$，甲商场更合算；
若$m=68$，则$y_1=y_2$，两商场费用相同；
若$68＜m≤100$，则$y_1＞y_2$，乙商场更合算。
【答案】
任务1:A种奖杯的原价为20元,B种奖杯的原价为30元.
任务2:y₁关于m的函数表达式为y₁=-9m+2 700.
y₂关于m的函数表达式为
$y_2=\begin{cases}-10m+3\ 000 & (0≤ m≤ 10), \\-14m+3\ 040 & (10＜m≤ 100).\end{cases}$
由题意知0≤m≤100,令-9m+2 700=-10m+3 000,解得m=300(舍去);
令-9m+2 700=-14m+3 040,解得m=68,可作出简图如
所示.由图象可知,当0≤m＜68时,在甲商场购买比较合算;当m=68时,甲、乙两个商场的总费用相等,任选一家即可;当68＜m≤100时,在乙商场购买比较合算.
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数解析式，最优方案选择
【点评】
本题结合实际消费场景，考查方程与一次函数的综合应用，重点需要掌握分段函数的分类讨论逻辑，通过比较函数值大小确定最优方案，能锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
3.已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10 t;1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11 t.某物流公司现有34 t货物,计划同时租用A型和B型车,一次运完,且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息,解答下列问题:
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物,一次可分别运货多少吨?
(2)已知A型车每辆租金为100元/次,B型车每辆租金为120元/次,共有几种租车方案?哪种方案租车费用最少?
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物,一次可分别运货多少吨?
(2)已知A型车每辆租金为100元/次,B型车每辆租金为120元/次,共有几种租车方案?哪种方案租车费用最少?
答案
(1)1辆A型车载满货物一次可运货3 t,1辆B型车载满货物一次可运货4 t.
(2)设A型车租a辆,B型车租b辆.
依题意,得3a+4b=34,所以$a=\frac{34-4b}{3}$.
因为a,b均为非负整数,
所以$\begin{cases}a=10,\\b=1\end{cases}$或$\begin{cases}a=6,\\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=2,\\b=7,\end{cases}$
所以该物流公司共有3种租车方案.
方案1:租用A型车10辆、B型车1辆;
方案2:租用A型车6辆、B型车4辆;
方案3:租用A型车2辆、B型车7辆.
方案1所需租金:100×10+120×1=1 120(元),
方案2所需租金:100×6+120×4=1 080(元),
方案3所需租金:100×2+120×7=1 040(元).
因为1 120＞1 080＞1 040,
所以租用A型车2辆、B型车7辆时租车费用最少,为1 040元.
(2)设A型车租a辆,B型车租b辆.
依题意,得3a+4b=34,所以$a=\frac{34-4b}{3}$.
因为a,b均为非负整数,
所以$\begin{cases}a=10,\\b=1\end{cases}$或$\begin{cases}a=6,\\b=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=2,\\b=7,\end{cases}$
所以该物流公司共有3种租车方案.
方案1:租用A型车10辆、B型车1辆;
方案2:租用A型车6辆、B型车4辆;
方案3:租用A型车2辆、B型车7辆.
方案1所需租金:100×10+120×1=1 120(元),
方案2所需租金:100×6+120×4=1 080(元),
方案3所需租金:100×2+120×7=1 040(元).
因为1 120＞1 080＞1 040,
所以租用A型车2辆、B型车7辆时租车费用最少,为1 040元.
解析
【分析】
(1) 要求1辆A型车和1辆B型车的单次运货量，属于两个未知量的求解问题，可根据题目给出的两组运货等量关系，设未知数列二元一次方程组求解。
(2) 已知总运货量、两类车的单次运货量，且每辆车恰好载满，可先列出关于租用A、B型车辆数的二元一次方程，结合车辆数为非负整数的实际要求，找出所有符合条件的解，即为所有租车方案；再分别计算各方案的租金，比较大小即可得到费用最少的方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车载满货物一次可运货$x$ t，1辆B型车载满货物一次可运货$y$ t。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 10 \\x + 2y = 11\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$4x + 2y = 20$，减去第二个方程，得$3x = 9$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$2x + y =10$，得$6 + y =10$，解得$y=4$。
(2) 设租用A型车$a$辆，B型车$b$辆。
根据总运货量为34t，列方程得：$3a + 4b = 34$，变形得$a=\frac{34-4b}{3}$。
因为$a$、$b$均为非负整数，所以$34-4b≥0$且能被3整除，代入验证可得符合条件的解为：
$\begin{cases}a=10 \\b=1\end{cases}$，$\begin{cases}a=6 \\b=4\end{cases}$，$\begin{cases}a=2 \\b=7\end{cases}$，即共有3种租车方案：
方案1：租用A型车10辆，B型车1辆，所需租金为$100×10 + 120×1 = 1120$元；
方案2：租用A型车6辆，B型车4辆，所需租金为$100×6 + 120×4 = 1080$元；
方案3：租用A型车2辆，B型车7辆，所需租金为$100×2 + 120×7 = 1040$元。
因为$1120＞1080＞1040$，所以方案3费用最少。
【答案】
(1) 1辆A型车载满货物一次可运货3 t，1辆B型车载满货物一次可运货4 t；
(2) 共有3种租车方案，租用A型车2辆、B型车7辆时租车费用最少，为1040元。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 不定方程整数解
3. 方案优化选择
【点评】
本题是典型的实际应用类方案择优问题，既考查了二元一次方程组的基础求解能力，也需要结合实际场景限定条件筛选可行方案，最后通过计算比较得出最优解，能够很好地考查学生的数学应用意识和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求1辆A型车和1辆B型车的单次运货量，属于两个未知量的求解问题，可根据题目给出的两组运货等量关系，设未知数列二元一次方程组求解。
(2) 已知总运货量、两类车的单次运货量，且每辆车恰好载满，可先列出关于租用A、B型车辆数的二元一次方程，结合车辆数为非负整数的实际要求，找出所有符合条件的解，即为所有租车方案；再分别计算各方案的租金，比较大小即可得到费用最少的方案。
【解析】
(1) 设1辆A型车载满货物一次可运货$x$ t，1辆B型车载满货物一次可运货$y$ t。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 10 \\x + 2y = 11\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2，得$4x + 2y = 20$，减去第二个方程，得$3x = 9$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$2x + y =10$，得$6 + y =10$，解得$y=4$。
(2) 设租用A型车$a$辆，B型车$b$辆。
根据总运货量为34t，列方程得：$3a + 4b = 34$，变形得$a=\frac{34-4b}{3}$。
因为$a$、$b$均为非负整数，所以$34-4b≥0$且能被3整除，代入验证可得符合条件的解为：
$\begin{cases}a=10 \\b=1\end{cases}$，$\begin{cases}a=6 \\b=4\end{cases}$，$\begin{cases}a=2 \\b=7\end{cases}$，即共有3种租车方案：
方案1：租用A型车10辆，B型车1辆，所需租金为$100×10 + 120×1 = 1120$元；
方案2：租用A型车6辆，B型车4辆，所需租金为$100×6 + 120×4 = 1080$元；
方案3：租用A型车2辆，B型车7辆，所需租金为$100×2 + 120×7 = 1040$元。
因为$1120＞1080＞1040$，所以方案3费用最少。
【答案】
(1) 1辆A型车载满货物一次可运货3 t，1辆B型车载满货物一次可运货4 t；
(2) 共有3种租车方案，租用A型车2辆、B型车7辆时租车费用最少，为1040元。
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 不定方程整数解
3. 方案优化选择
【点评】
本题是典型的实际应用类方案择优问题，既考查了二元一次方程组的基础求解能力，也需要结合实际场景限定条件筛选可行方案，最后通过计算比较得出最优解，能够很好地考查学生的数学应用意识和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
