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回顾与思考(六) 数据的分析
大单元知识结构图
数据的分析
├─ 解决实际问题、作出决策
├─ 数据的集中趋势
│ ├─ 平均数 → 算术平均数、加权平均数
│ ├─ 众数 → 一组数据中出现次数最①
│ └─ 中位数 → n个数据按大小顺序排列，处于②
├─ 百分位数 → 四分位数 → 箱线图（图1）→ 反映一组数据的整体分布情况
└─ 数据的离散程度
├─ 离差平方和：$S^2$=③
├─ 方差：④
└─ 标准差
→ 一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越⑤
大单元知识结构图
数据的分析
├─ 解决实际问题、作出决策
├─ 数据的集中趋势
│ ├─ 平均数 → 算术平均数、加权平均数
│ ├─ 众数 → 一组数据中出现次数最①
多
的那个数据│ └─ 中位数 → n个数据按大小顺序排列，处于②
中间
位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)├─ 百分位数 → 四分位数 → 箱线图（图1）→ 反映一组数据的整体分布情况
└─ 数据的离散程度
├─ 离差平方和：$S^2$=③
$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$
├─ 方差：④
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
└─ 标准差
→ 一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越⑤
稳定
答案
①多 ②中间 ③$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$ ④$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$ ⑤稳定
解析
【分析】
本题考查数据的分析单元的基础概念与公式，解题时只需回忆对应统计量的标准定义、公式逐一填空即可：1.回忆众数的定义填第①空；2.回忆中位数的定义填第②空；3.回忆离差平方和的表达式填第③空；4.回忆方差的计算公式填第④空；5.回忆方差/标准差和数据离散程度的关系填第⑤空。
【解析】
①根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，故此处填“多”；
②根据中位数的定义：将n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，故此处填“中间”；
③离差平方和指的是每个数据与平均数的差的平方的和，对应表达式为$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$；
④方差是离差平方和除以数据总个数n得到的平均值，对应计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$；
⑤方差、标准差是反映数据离散程度的统计量，一组数据的方差或标准差越小，说明数据的波动越小，数据越稳定，故此处填“稳定”。
【答案】
①多 ②中间 ③$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$ ④$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$ ⑤稳定
【知识点】
众数与中位数定义，方差计算公式，数据离散程度
【点评】
本题属于基础概念考查题，覆盖了数据的分析单元核心的定义和公式，熟练掌握这些基础内容是运用统计知识解决实际问题、作出决策的前提。
【难度系数】
0.8
本题考查数据的分析单元的基础概念与公式，解题时只需回忆对应统计量的标准定义、公式逐一填空即可：1.回忆众数的定义填第①空；2.回忆中位数的定义填第②空；3.回忆离差平方和的表达式填第③空；4.回忆方差的计算公式填第④空；5.回忆方差/标准差和数据离散程度的关系填第⑤空。
【解析】
①根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，故此处填“多”；
②根据中位数的定义：将n个数据按大小顺序排列，处于中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，故此处填“中间”；
③离差平方和指的是每个数据与平均数的差的平方的和，对应表达式为$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$；
④方差是离差平方和除以数据总个数n得到的平均值，对应计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$；
⑤方差、标准差是反映数据离散程度的统计量，一组数据的方差或标准差越小，说明数据的波动越小，数据越稳定，故此处填“稳定”。
【答案】
①多 ②中间 ③$(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2$ ④$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$ ⑤稳定
【知识点】
众数与中位数定义，方差计算公式，数据离散程度
【点评】
本题属于基础概念考查题，覆盖了数据的分析单元核心的定义和公式，熟练掌握这些基础内容是运用统计知识解决实际问题、作出决策的前提。
【难度系数】
0.8
1.(2024·南充)某校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分，投球技能得80分，则李林的综合成绩为 ()
A.170分
B.86分
C.85分
D.84分
A.170分
B.86分
C.85分
D.84分
答案
B
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题时首先要明确两项成绩对应的权重：控球技能权重为60%，投球技能权重为40%。加权平均数的计算逻辑是将各分项成绩乘以对应的权重，再相加求和即可得到综合成绩，按照这个思路代入对应数据计算就能得到结果。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，综合成绩=控球技能得分×控球权重 + 投球技能得分×投球权重，分步计算如下：
1. 计算控球技能折算后的得分：$90×60\%=90×0.6=54$分
2. 计算投球技能折算后的得分：$80×40\%=80×0.4=32$分
3. 求和得到综合成绩：$54+32=86$分
因此李林的综合成绩为86分。
【答案】
B
【知识点】
加权平均数计算、权的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查加权平均数的基础应用，解题核心是找准各分项对应的权重，计算时注意百分数和小数的转换即可，整体解题逻辑简单。
【难度系数】
0.8
本题考查加权平均数的实际应用，解题时首先要明确两项成绩对应的权重：控球技能权重为60%，投球技能权重为40%。加权平均数的计算逻辑是将各分项成绩乘以对应的权重，再相加求和即可得到综合成绩，按照这个思路代入对应数据计算就能得到结果。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，综合成绩=控球技能得分×控球权重 + 投球技能得分×投球权重，分步计算如下：
1. 计算控球技能折算后的得分：$90×60\%=90×0.6=54$分
2. 计算投球技能折算后的得分：$80×40\%=80×0.4=32$分
3. 求和得到综合成绩：$54+32=86$分
因此李林的综合成绩为86分。
【答案】
B
【知识点】
加权平均数计算、权的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查加权平均数的基础应用，解题核心是找准各分项对应的权重，计算时注意百分数和小数的转换即可，整体解题逻辑简单。
【难度系数】
0.8
2.(2024·宿迁)一组数据6,8,10,x的平均数是9,则x的值为.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题的核心是利用算术平均数的计算公式逆向推导。首先回忆算术平均数的定义：一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。已知这组数据共有4个，平均数是9，我们可以先算出4个数据的总和，再减去已知的3个数据的和，就能求出x的值。
【解析】
根据算术平均数的计算公式：
$\mathrm{平均数}=\mathrm{数据总和}÷\mathrm{数据个数}$
已知数据个数为4，平均数为9，因此4个数据的总和为：
$9×4=36$
已知三个数据分别为6、8、10，它们的和为：
$6+8+10=24$
因此x的值为：
$x=36-24=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
算术平均数的计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查算术平均数公式的应用，计算量小，只要熟练掌握平均数的计算公式就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用算术平均数的计算公式逆向推导。首先回忆算术平均数的定义：一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。已知这组数据共有4个，平均数是9，我们可以先算出4个数据的总和，再减去已知的3个数据的和，就能求出x的值。
【解析】
根据算术平均数的计算公式：
$\mathrm{平均数}=\mathrm{数据总和}÷\mathrm{数据个数}$
已知数据个数为4，平均数为9，因此4个数据的总和为：
$9×4=36$
已知三个数据分别为6、8、10，它们的和为：
$6+8+10=24$
因此x的值为：
$x=36-24=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
算术平均数的计算
【点评】
本题是基础题型，主要考查算术平均数公式的应用，计算量小，只要熟练掌握平均数的计算公式就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
3.(2024·河南)2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月,其主题是“有效减少近视发生,共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动,并对各班的宣传板报进行评分(满分10分),得分情况如图所示,则得分的众数为分.
答案
9
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值。本题中条形统计图的横轴代表得分，纵轴代表对应得分的班级数量，即该得分的出现次数，因此只需找到班级数量最多的得分，即为所求众数。
【解析】
根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数是众数。
观察条形统计图可得：得9分的班级数量最多，即9分在所有得分中出现的次数最多，因此得分的众数为9分。
【答案】
9
【知识点】
众数的定义；条形统计图的应用
【点评】
本题考查基础的统计概念应用，结合生活情境考查对众数的理解和从统计图中提取信息的能力，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值。本题中条形统计图的横轴代表得分，纵轴代表对应得分的班级数量，即该得分的出现次数，因此只需找到班级数量最多的得分，即为所求众数。
【解析】
根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数是众数。
观察条形统计图可得：得9分的班级数量最多，即9分在所有得分中出现的次数最多，因此得分的众数为9分。
【答案】
9
【知识点】
众数的定义；条形统计图的应用
【点评】
本题考查基础的统计概念应用，结合生活情境考查对众数的理解和从统计图中提取信息的能力，难度较低。
【难度系数】
0.9
4.(2024·淄博)数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试.如图,这是他最近五次测试成绩(满分为100分)的折线统计图,那么其平均数和方差分别是（）
A.95分，$\sqrt{10}$
B.96分，$\sqrt{10}$
C.95分，10
D.96分，10
A.95分，$\sqrt{10}$
B.96分，$\sqrt{10}$
C.95分，10
D.96分，10
答案
D
解析
【分析】
解题时首先从折线统计图中提取五次测试的成绩：92分、96分、93分、100分、99分。接下来分两步计算：①计算平均数：根据算术平均数的计算方法，将五次成绩求和后除以次数5即可得到平均数；②计算方差：先求出每个成绩与平均数的差值，将差值分别平方后求和，再除以次数5即可得到方差，最后匹配对应选项即可。
【解析】
首先从折线统计图中得到五次测试成绩分别为：92、96、93、100、99。
1. 计算平均数：
$\overline{x}=\frac{92+96+93+100+99}{5}=\frac{480}{5}=96$（分）
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(92-96)^2+(96-96)^2+(93-96)^2+(100-96)^2+(99-96)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-4)^2+0^2+(-3)^2+4^2+3^2]$
$=\frac{1}{5}(16+0+9+16+9)$
$=\frac{50}{5}=10$
因此平均数为96分，方差为10，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
折线统计图；平均数计算；方差计算
【点评】
本题是统计类基础题，结合折线统计图考查平均数和方差的计算，核心是准确提取图表中的数据，牢记相关计算公式，计算时注意仔细核对，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先从折线统计图中提取五次测试的成绩：92分、96分、93分、100分、99分。接下来分两步计算：①计算平均数：根据算术平均数的计算方法，将五次成绩求和后除以次数5即可得到平均数；②计算方差：先求出每个成绩与平均数的差值，将差值分别平方后求和，再除以次数5即可得到方差，最后匹配对应选项即可。
【解析】
首先从折线统计图中得到五次测试成绩分别为：92、96、93、100、99。
1. 计算平均数：
$\overline{x}=\frac{92+96+93+100+99}{5}=\frac{480}{5}=96$（分）
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(92-96)^2+(96-96)^2+(93-96)^2+(100-96)^2+(99-96)^2]$
$=\frac{1}{5}[(-4)^2+0^2+(-3)^2+4^2+3^2]$
$=\frac{1}{5}(16+0+9+16+9)$
$=\frac{50}{5}=10$
因此平均数为96分，方差为10，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
折线统计图；平均数计算；方差计算
【点评】
本题是统计类基础题，结合折线统计图考查平均数和方差的计算，核心是准确提取图表中的数据，牢记相关计算公式，计算时注意仔细核对，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8
5.(2024·上海)科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其中开花时间最短且最平稳的是（）
A.甲种类
B.乙种类
C.丙种类
D.丁种类
A.甲种类
B.乙种类
C.丙种类
D.丁种类
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确题目的两个核心要求：一是开花时间最短，二是开花时间最平稳。接下来结合统计量的意义思考：平均数反映一组数据的平均水平，平均数越小说明平均开花时间越短；方差反映一组数据的波动大小，方差越小说明数据越稳定、越平稳。因此解题分两步走：先比较四个种类的平均数，筛选出平均开花时间短的类别，再在筛选出的类别中找方差最小的，即为符合要求的选项。
【解析】
1. 明确判断规则：平均开花时间越短，对应的平均数越小；开花时间越平稳，对应的方差越小。
2. 比较四个种类的平均数：$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=2.3＜\bar{x}_丙=2.8＜\bar{x}_丁=3.1$，因此甲、乙两类的平均开花时间更短，先排除丙、丁两个选项。
3. 比较甲、乙的方差：$s^2_乙=0.78＜s^2_甲=1.05$，因此乙种类的开花时间更平稳。
综上，同时满足开花时间最短且最平稳的是乙种类。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的应用，解题关键是准确理解平均数和方差的实际意义，按照题目要求的两个条件逐步筛选即可，注意不要只参考单个统计量就贸然选择。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目的两个核心要求：一是开花时间最短，二是开花时间最平稳。接下来结合统计量的意义思考：平均数反映一组数据的平均水平，平均数越小说明平均开花时间越短；方差反映一组数据的波动大小，方差越小说明数据越稳定、越平稳。因此解题分两步走：先比较四个种类的平均数，筛选出平均开花时间短的类别，再在筛选出的类别中找方差最小的，即为符合要求的选项。
【解析】
1. 明确判断规则：平均开花时间越短，对应的平均数越小；开花时间越平稳，对应的方差越小。
2. 比较四个种类的平均数：$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=2.3＜\bar{x}_丙=2.8＜\bar{x}_丁=3.1$，因此甲、乙两类的平均开花时间更短，先排除丙、丁两个选项。
3. 比较甲、乙的方差：$s^2_乙=0.78＜s^2_甲=1.05$，因此乙种类的开花时间更平稳。
综上，同时满足开花时间最短且最平稳的是乙种类。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题结合实际场景考查统计量的应用，解题关键是准确理解平均数和方差的实际意义，按照题目要求的两个条件逐步筛选即可，注意不要只参考单个统计量就贸然选择。
【难度系数】
0.8
6.某企业两条不同的生产线生产了两批同样的产品,第一条生产线生产的产品质检后长度的标准差为2.5,第二条生产线生产的产品质检后长度的标准差为1.2,由此可知 ()
A.第二条生产线生产的产品长度更均衡
B.第一条生产线生产的产品长度更均衡
C.第一条生产线生产的产品平均长度更长
D.第二条生产线生产的产品平均长度更长
A.第二条生产线生产的产品长度更均衡
B.第一条生产线生产的产品长度更均衡
C.第一条生产线生产的产品平均长度更长
D.第二条生产线生产的产品平均长度更长
答案
A
解析
【分析】
解题首先要明确标准差的概念作用：标准差是衡量一组数据波动大小（离散程度）的统计量，和数据的平均长度没有直接关联，因此可先排除讨论平均长度的C、D选项；再根据“标准差越小，数据越稳定、越均衡”的规律，对比两个生产线的标准差大小，就能得出正确结论。
【解析】
标准差的作用是反映一组数据的波动（离散）程度，它的大小与数据的平均值没有直接关系，因此仅根据标准差无法判断两条生产线产品的平均长度，故C、D选项错误。
标准差越小，说明数据的波动越小，产品长度越均衡：已知第一条生产线标准差为2.5，第二条为1.2，且1.2＜2.5，因此第二条生产线生产的产品长度更均衡，A选项正确，B选项错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 标准差的意义
2. 数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解标准差的实际含义，明确其仅反映数据的波动情况，与数据的平均水平无关，掌握该知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确标准差的概念作用：标准差是衡量一组数据波动大小（离散程度）的统计量，和数据的平均长度没有直接关联，因此可先排除讨论平均长度的C、D选项；再根据“标准差越小，数据越稳定、越均衡”的规律，对比两个生产线的标准差大小，就能得出正确结论。
【解析】
标准差的作用是反映一组数据的波动（离散）程度，它的大小与数据的平均值没有直接关系，因此仅根据标准差无法判断两条生产线产品的平均长度，故C、D选项错误。
标准差越小，说明数据的波动越小，产品长度越均衡：已知第一条生产线标准差为2.5，第二条为1.2，且1.2＜2.5，因此第二条生产线生产的产品长度更均衡，A选项正确，B选项错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 标准差的意义
2. 数据稳定性判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理解标准差的实际含义，明确其仅反映数据的波动情况，与数据的平均水平无关，掌握该知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
