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4.甲、乙两家超市售卖同一种商品，最近20天的销量(单位:件)如下：
甲:135,102,140,108,127,138,145,83,130,
124,132,99,141,134,126,139,120,131,
93,137.
乙:128,135,142,98,131,138,141,120,125,
132,109,134,140,127,133,136,139,98,
130,126.
请用多种方法比较两家超市的售卖情况.
甲:135,102,140,108,127,138,145,83,130,
124,132,99,141,134,126,139,120,131,
93,137.
乙:128,135,142,98,131,138,141,120,125,
132,109,134,140,127,133,136,139,98,
130,126.
请用多种方法比较两家超市的售卖情况.
答案
4.解:①利用平均数和方差比较:$\bar{x}_甲=124.2,\bar{x}_乙=128.1,$可以看出乙超市的平均销量略高;$s_甲^2=299.06,s_乙^2=158.59,$可以看出乙超市的销量波动较小.所以综合来看乙超市售卖情况更好.②利用四分位数和箱线图略.基于四分位数和箱线图,可以发现甲、乙两个超市销售量的中位数相差不大,但甲超市的销售量明显比乙超市的波动大,两家超市销售情况差异不大,但乙超市销量更平稳.
解析
【分析】
要比较两家超市的售卖情况，可从两个核心维度分析：一是销量的整体平均水平，二是销量的稳定程度。首先可选用平均数反映平均销量，平均数越大说明整体售卖水平越高；再选用方差反映销量的波动情况，方差越小说明销量越稳定，经营情况越可控。除此之外，还可以通过计算中位数、四分位数，绘制箱线图的方式，直观对比两组数据的分布特征，判断售卖情况的优劣。
【解析】
方法一：用平均数和方差比较
1. 计算平均数：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$，代入甲、乙20天的销量数据计算：
$\bar{x}_甲=\frac{1}{20}×(135+102+140+108+127+138+145+83+130+124+132+99+141+134+126+139+120+131+93+137)=124.2$
$\bar{x}_乙=\frac{1}{20}×(128+135+142+98+131+138+141+120+125+132+109+134+140+127+133+136+139+98+130+126)=128.1$
$\bar{x}_乙＞\bar{x}_甲$，说明乙超市的平均销量更高。
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据计算得：
$s_甲^2=299.06$，$s_乙^2=158.59$
$s_甲^2＞s_乙^2$，说明甲超市的销量波动更大，乙超市销量更稳定。
综上，乙超市平均销量更高且销量更稳定，售卖情况更好。
方法二：用四分位数和箱线图比较
将两组数据分别从小到大排序后，计算可得两组数据的中位数相差不大，但是甲超市的四分位差更大，绘制箱线图后可直观看出甲超市销量的波动幅度明显大于乙超市，虽两家超市销量的中等水平差异不大，但乙超市销量更平稳，售卖情况更好。
【答案】
①利用平均数和方差比较：$\bar{x}_甲=124.2,\bar{x}_乙=128.1,$可以看出乙超市的平均销量略高；$s_甲^2=299.06,s_乙^2=158.59,$可以看出乙超市的销量波动较小。所以综合来看乙超市售卖情况更好。②利用四分位数和箱线图分析：基于四分位数和箱线图,可以发现甲、乙两个超市销售量的中位数相差不大,但甲超市的销售量明显比乙超市的波动大,两家超市销售情况差异不大,但乙超市销量更平稳。
【知识点】
平均数的应用，方差的应用，统计量的选择
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了对不同统计量意义的理解和应用，需要熟练掌握平均数、方差等统计量的计算方法，能根据实际需求选择合适的统计量对比分析两组数据的特征，解决数据分析类问题。
【难度系数】
0.7
要比较两家超市的售卖情况，可从两个核心维度分析：一是销量的整体平均水平，二是销量的稳定程度。首先可选用平均数反映平均销量，平均数越大说明整体售卖水平越高；再选用方差反映销量的波动情况，方差越小说明销量越稳定，经营情况越可控。除此之外，还可以通过计算中位数、四分位数，绘制箱线图的方式，直观对比两组数据的分布特征，判断售卖情况的优劣。
【解析】
方法一：用平均数和方差比较
1. 计算平均数：
根据平均数公式$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$，代入甲、乙20天的销量数据计算：
$\bar{x}_甲=\frac{1}{20}×(135+102+140+108+127+138+145+83+130+124+132+99+141+134+126+139+120+131+93+137)=124.2$
$\bar{x}_乙=\frac{1}{20}×(128+135+142+98+131+138+141+120+125+132+109+134+140+127+133+136+139+98+130+126)=128.1$
$\bar{x}_乙＞\bar{x}_甲$，说明乙超市的平均销量更高。
2. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据计算得：
$s_甲^2=299.06$，$s_乙^2=158.59$
$s_甲^2＞s_乙^2$，说明甲超市的销量波动更大，乙超市销量更稳定。
综上，乙超市平均销量更高且销量更稳定，售卖情况更好。
方法二：用四分位数和箱线图比较
将两组数据分别从小到大排序后，计算可得两组数据的中位数相差不大，但是甲超市的四分位差更大，绘制箱线图后可直观看出甲超市销量的波动幅度明显大于乙超市，虽两家超市销量的中等水平差异不大，但乙超市销量更平稳，售卖情况更好。
【答案】
①利用平均数和方差比较：$\bar{x}_甲=124.2,\bar{x}_乙=128.1,$可以看出乙超市的平均销量略高；$s_甲^2=299.06,s_乙^2=158.59,$可以看出乙超市的销量波动较小。所以综合来看乙超市售卖情况更好。②利用四分位数和箱线图分析：基于四分位数和箱线图,可以发现甲、乙两个超市销售量的中位数相差不大,但甲超市的销售量明显比乙超市的波动大,两家超市销售情况差异不大,但乙超市销量更平稳。
【知识点】
平均数的应用，方差的应用，统计量的选择
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了对不同统计量意义的理解和应用，需要熟练掌握平均数、方差等统计量的计算方法，能根据实际需求选择合适的统计量对比分析两组数据的特征，解决数据分析类问题。
【难度系数】
0.7
5.【数据收集】
某射击队为了从A,B两名选手中选拔一人参加射击比赛,现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛,每轮每人射靶一次,并对A,B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集.
【数据整理】
如图
,将A,B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图.
【数据分析】
(1)小明利用平均数、方差进行分析.请完成下列两空.
①通过计算平均数,$\bar{x}_A=8.5$环,$\bar{x}_B=$
②通过计算方差,$s_A^2=1.75$,$s_B^2=0.75$,可以看出,
(2)小颖利用四分位数、箱线图(如图
)进行分析.请完成下列两空.
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 $m_{25}$ $m_{50}$ $m_{75}$ 最大值
A 6 7.5 9 9.5 10
B 8 $m$ 9 10 10
①上表中$m=$
②基于四分位数或箱线图,可以发现选手A射击成绩的中位数
【作出决策】
(3)请根据八轮射击成绩,从A,B两名选手中选拔一人参加射击比赛,并说明理由.
某射击队为了从A,B两名选手中选拔一人参加射击比赛,现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛,每轮每人射靶一次,并对A,B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集.
【数据整理】
如图
,将A,B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图.【数据分析】
(1)小明利用平均数、方差进行分析.请完成下列两空.
①通过计算平均数,$\bar{x}_A=8.5$环,$\bar{x}_B=$
9
环,可以比较A,B的平均成绩.②通过计算方差,$s_A^2=1.75$,$s_B^2=0.75$,可以看出,
B
(填“A”或“B”)的射击水平发挥更稳定.(2)小颖利用四分位数、箱线图(如图
)进行分析.请完成下列两空.选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 $m_{25}$ $m_{50}$ $m_{75}$ 最大值
A 6 7.5 9 9.5 10
B 8 $m$ 9 10 10
①上表中$m=$
8
.②基于四分位数或箱线图,可以发现选手A射击成绩的中位数
=
选手B射击成绩的中位数(填“＞”“＜”或“=”),且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大.【作出决策】
(3)请根据八轮射击成绩,从A,B两名选手中选拔一人参加射击比赛,并说明理由.
答案
5.解:(1)①9 ②B (2)①8 ②= (3)选择选手B参加射击比赛.理由如下:因为A,B两名选手的中位数相等,但B选手的方差更小,则成绩更加稳定,且平均数更高,能力更强.
解析
【分析】
解题时按问题顺序逐步推导：
1. 求解（1）的问题：①计算B的平均成绩，依据平均数公式“平均数=所有数据总和÷数据个数”，代入B的8次成绩计算即可；②方差反映数据的波动程度，方差越小，数据稳定性越好，对比两人方差大小即可判断谁发挥更稳定。
2. 求解（2）的问题：①先将B的8次成绩从小到大排序，8个数据的下四分位数$m_{25}$为排序后第2、3个数据的平均数，结合B的成绩特征计算可得m的值；②中位数对应表格中的$m_{50}$，直接对比A、B的$m_{50}$数值即可判断大小关系。
3. 求解（3）的问题：结合前面得到的平均数、方差、中位数的结果，优先选择平均成绩更高、发挥更稳定的选手即可。
【解析】
(1) ①根据平均数计算公式，代入B的8次射击成绩求和后除以8，可得$\bar{x}_B=\frac{8+8+8+9+9+10+10+10}{8}=\frac{72}{8}=9$（环）；
②$\because s_A^2=1.75$，$s_B^2=0.75$，即$s_B^2＜s_A^2$，方差越小发挥越稳定，$\therefore$ B的射击水平发挥更稳定。
(2) ①将B的8次成绩从小到大排列后，下四分位数为第2、3个数据的平均数，计算得$m=8$；
②由表格可知，A的中位数为9，B的中位数为9，因此选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数。
(3) 对比两人的统计量：A、B的中位数相等，但B的平均成绩高于A，且B的方差更小，成绩更稳定，因此选择B参加比赛。
【答案】
(1)①9；②B
(2)①8；②=
(3)选择选手B参加射击比赛。理由如下：因为A,B两名选手的中位数相等,但B选手的方差更小,则成绩更加稳定,且平均数更高,能力更强。
【知识点】
平均数的计算；方差的意义；统计量的实际应用
【点评】
本题结合射击选手选拔的实际场景，考查常见统计量的计算与意义，需要学生准确掌握各统计量的作用，能结合数据特征综合分析实际问题，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时按问题顺序逐步推导：
1. 求解（1）的问题：①计算B的平均成绩，依据平均数公式“平均数=所有数据总和÷数据个数”，代入B的8次成绩计算即可；②方差反映数据的波动程度，方差越小，数据稳定性越好，对比两人方差大小即可判断谁发挥更稳定。
2. 求解（2）的问题：①先将B的8次成绩从小到大排序，8个数据的下四分位数$m_{25}$为排序后第2、3个数据的平均数，结合B的成绩特征计算可得m的值；②中位数对应表格中的$m_{50}$，直接对比A、B的$m_{50}$数值即可判断大小关系。
3. 求解（3）的问题：结合前面得到的平均数、方差、中位数的结果，优先选择平均成绩更高、发挥更稳定的选手即可。
【解析】
(1) ①根据平均数计算公式，代入B的8次射击成绩求和后除以8，可得$\bar{x}_B=\frac{8+8+8+9+9+10+10+10}{8}=\frac{72}{8}=9$（环）；
②$\because s_A^2=1.75$，$s_B^2=0.75$，即$s_B^2＜s_A^2$，方差越小发挥越稳定，$\therefore$ B的射击水平发挥更稳定。
(2) ①将B的8次成绩从小到大排列后，下四分位数为第2、3个数据的平均数，计算得$m=8$；
②由表格可知，A的中位数为9，B的中位数为9，因此选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数。
(3) 对比两人的统计量：A、B的中位数相等，但B的平均成绩高于A，且B的方差更小，成绩更稳定，因此选择B参加比赛。
【答案】
(1)①9；②B
(2)①8；②=
(3)选择选手B参加射击比赛。理由如下：因为A,B两名选手的中位数相等,但B选手的方差更小,则成绩更加稳定,且平均数更高,能力更强。
【知识点】
平均数的计算；方差的意义；统计量的实际应用
【点评】
本题结合射击选手选拔的实际场景，考查常见统计量的计算与意义，需要学生准确掌握各统计量的作用，能结合数据特征综合分析实际问题，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
