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7.某地区抽取了12家企业，并对其利润额进行统计，结果如下表：
这12家企业利润额的离差平方和为。
这12家企业利润额的离差平方和为。
答案
$\boldsymbol{16.25}$
解析
【分析】
要计算12家企业利润额的离差平方和，首先明确离差平方和是各数据与平均数差值的平方的总和，本题是分组频数数据，解题步骤分为两步：第一步先计算12家企业利润额的加权平均数，第二步用每组利润额与平均数的差的平方乘对应组的企业数，再将所有组的结果相加，即可得到总离差平方和。
【解析】
①先计算12家企业利润额的加权平均数：
总利润额 = $2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×2 + 6×1 = 4+9+16+10+6=45$（百万元）
企业总数 = $2+3+4+2+1=12$（个）
平均利润额$\bar{x}=\frac{45}{12}=3.75$（百万元）
②再计算离差平方和：
离差平方和$S=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2f_i$，其中$x_i$为各组利润额，$f_i$为对应组企业数：
$\begin{aligned}S&=(2-3.75)^2×2 + (3-3.75)^2×3 + (4-3.75)^2×4 + (5-3.75)^2×2 + (6-3.75)^2×1\\&=(-1.75)^2×2 + (-0.75)^2×3 + 0.25^2×4 + 1.25^2×2 + 2.25^2×1\\&=3.0625×2 + 0.5625×3 + 0.0625×4 + 1.5625×2 + 5.0625×1\\&=6.125 + 1.6875 + 0.25 + 3.125 + 5.0625\\&=16.25\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{16.25}$
【知识点】
加权平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，解题核心是先准确计算加权平均数，再按离差平方和的定义分组计算后求和，计算过程中要注意频数的权重，避免出现直接对利润额求平均的错误，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.65
要计算12家企业利润额的离差平方和，首先明确离差平方和是各数据与平均数差值的平方的总和，本题是分组频数数据，解题步骤分为两步：第一步先计算12家企业利润额的加权平均数，第二步用每组利润额与平均数的差的平方乘对应组的企业数，再将所有组的结果相加，即可得到总离差平方和。
【解析】
①先计算12家企业利润额的加权平均数：
总利润额 = $2×2 + 3×3 + 4×4 + 5×2 + 6×1 = 4+9+16+10+6=45$（百万元）
企业总数 = $2+3+4+2+1=12$（个）
平均利润额$\bar{x}=\frac{45}{12}=3.75$（百万元）
②再计算离差平方和：
离差平方和$S=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2f_i$，其中$x_i$为各组利润额，$f_i$为对应组企业数：
$\begin{aligned}S&=(2-3.75)^2×2 + (3-3.75)^2×3 + (4-3.75)^2×4 + (5-3.75)^2×2 + (6-3.75)^2×1\\&=(-1.75)^2×2 + (-0.75)^2×3 + 0.25^2×4 + 1.25^2×2 + 2.25^2×1\\&=3.0625×2 + 0.5625×3 + 0.0625×4 + 1.5625×2 + 5.0625×1\\&=6.125 + 1.6875 + 0.25 + 3.125 + 5.0625\\&=16.25\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{16.25}$
【知识点】
加权平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于统计基础计算题，解题核心是先准确计算加权平均数，再按离差平方和的定义分组计算后求和，计算过程中要注意频数的权重，避免出现直接对利润额求平均的错误，细心运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.65
8.把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组，
能使“组内离差平方和达到最小”的两组是
.
能使“组内离差平方和达到最小”的两组是
.
答案
解：
先将数据按从小到大排序：2，4，8，10，12。
按大小顺序将排序后的数据分为连续的两组，逐一计算所有分法的组内离差平方和总和：
1. 分组为$\{2\}$，$\{4,8,10,12\}$：
总和$=0+[(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2]=35$
2. 分组为$\{2,4\}$，$\{8,10,12\}$：
总和$=[(2-3)^2+(4-3)^2]+[(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2]=2+8=10$
3. 分组为$\{2,4,8\}$，$\{10,12\}$：
总和$=[(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2]+[(10-11)^2+(12-11)^2]=\frac{62}{3}\approx20.67$
4. 分组为$\{2,4,8,10\}$，$\{12\}$：
总和$=[(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2]+0=40$
对比得最小总和为10，对应的两组是$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$。
答：能使组内离差平方和达到最小的两组是2,4和8,10,12。
先将数据按从小到大排序：2，4，8，10，12。
按大小顺序将排序后的数据分为连续的两组，逐一计算所有分法的组内离差平方和总和：
1. 分组为$\{2\}$，$\{4,8,10,12\}$：
总和$=0+[(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2]=35$
2. 分组为$\{2,4\}$，$\{8,10,12\}$：
总和$=[(2-3)^2+(4-3)^2]+[(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2]=2+8=10$
3. 分组为$\{2,4,8\}$，$\{10,12\}$：
总和$=[(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2]+[(10-11)^2+(12-11)^2]=\frac{62}{3}\approx20.67$
4. 分组为$\{2,4,8,10\}$，$\{12\}$：
总和$=[(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2]+0=40$
对比得最小总和为10，对应的两组是$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$。
答：能使组内离差平方和达到最小的两组是2,4和8,10,12。
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：一是要将数据按大小顺序分组，因此需先对原始数据从小到大排序，且分组必须是连续分割，不能打乱顺序挑选数据；二是目标是让组内离差平方和总和最小。5个数据排序后共有4种连续分组的可能，我们只需要逐一计算每种分组的组内离差平方和总和，对比找到最小值对应的分组即可。其中组内离差平方和的计算方法为：先求出每组数据的平均数，再将组内每个数据与平均数的差的平方相加，两组的计算结果相加即为该分组的总离差平方和。
【解析】
步骤1：先将数据按从小到大排序：2，4，8，10，12。
步骤2：按大小顺序分为连续的两组，共4种分法，逐一计算总离差平方和：
① 分组为$\{2\}$，$\{4,8,10,12\}$：
第一组只有1个数，离差平方和为0；
第二组平均数为$(4+8+10+12)÷4=8.5$，
离差平方和为$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=35$，
总离差平方和为$0+35=35$。
② 分组为$\{2,4\}$，$\{8,10,12\}$：
第一组平均数为$(2+4)÷2=3$，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；
第二组平均数为$(8+10+12)÷3=10$，离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$；
总离差平方和为$2+8=10$。
③ 分组为$\{2,4,8\}$，$\{10,12\}$：
第一组平均数为$(2+4+8)÷3=\frac{14}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{56}{3}$；
第二组平均数为$(10+12)÷2=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=2$；
总离差平方和为$\frac{56}{3}+2=\frac{62}{3}\approx20.67$。
④ 分组为$\{2,4,8,10\}$，$\{12\}$：
第二组只有1个数，离差平方和为0；
第一组平均数为$(2+4+8+10)÷4=6$，
离差平方和为$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=40$，
总离差平方和为$40+0=40$。
步骤3：对比4种分组的总离差平方和：$10＜20.67＜35＜40$，可知最小总离差平方和为10，对应分组为$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$。
【答案】
$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$
【知识点】
离差平方和计算；数据分组；平均数计算
【点评】
本题解题关键是准确理解“按大小顺序分组”的含义，即仅能对排序后的数据进行连续分割，避免出现非连续分组的错误，再结合离差平方和的计算方法枚举所有可能情况对比即可，解题过程中需要细心计算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题干要求：一是要将数据按大小顺序分组，因此需先对原始数据从小到大排序，且分组必须是连续分割，不能打乱顺序挑选数据；二是目标是让组内离差平方和总和最小。5个数据排序后共有4种连续分组的可能，我们只需要逐一计算每种分组的组内离差平方和总和，对比找到最小值对应的分组即可。其中组内离差平方和的计算方法为：先求出每组数据的平均数，再将组内每个数据与平均数的差的平方相加，两组的计算结果相加即为该分组的总离差平方和。
【解析】
步骤1：先将数据按从小到大排序：2，4，8，10，12。
步骤2：按大小顺序分为连续的两组，共4种分法，逐一计算总离差平方和：
① 分组为$\{2\}$，$\{4,8,10,12\}$：
第一组只有1个数，离差平方和为0；
第二组平均数为$(4+8+10+12)÷4=8.5$，
离差平方和为$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=35$，
总离差平方和为$0+35=35$。
② 分组为$\{2,4\}$，$\{8,10,12\}$：
第一组平均数为$(2+4)÷2=3$，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；
第二组平均数为$(8+10+12)÷3=10$，离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$；
总离差平方和为$2+8=10$。
③ 分组为$\{2,4,8\}$，$\{10,12\}$：
第一组平均数为$(2+4+8)÷3=\frac{14}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{56}{3}$；
第二组平均数为$(10+12)÷2=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=2$；
总离差平方和为$\frac{56}{3}+2=\frac{62}{3}\approx20.67$。
④ 分组为$\{2,4,8,10\}$，$\{12\}$：
第二组只有1个数，离差平方和为0；
第一组平均数为$(2+4+8+10)÷4=6$，
离差平方和为$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=40$，
总离差平方和为$40+0=40$。
步骤3：对比4种分组的总离差平方和：$10＜20.67＜35＜40$，可知最小总离差平方和为10，对应分组为$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$。
【答案】
$\{2,4\}$和$\{8,10,12\}$
【知识点】
离差平方和计算；数据分组；平均数计算
【点评】
本题解题关键是准确理解“按大小顺序分组”的含义，即仅能对排序后的数据进行连续分割，避免出现非连续分组的错误，再结合离差平方和的计算方法枚举所有可能情况对比即可，解题过程中需要细心计算，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
9.(2024·湖南)某班的5名同学1分钟跳绳的成绩(单位:次)分别为179，130，192，158，141.这组数据的中位数是 ()
A.130
B.158
C.160
D.192
A.130
B.158
C.160
D.192
答案
B
解析
【分析】
要解决这道求中位数的题目，首先要明确中位数的计算规则：第一步需将所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；第二步判断数据总个数的奇偶性，若数据个数为奇数，取排序后正中间的数为中位数，若数据个数为偶数，取排序后中间两个数的平均数为中位数。本题共有5个数据，属于奇数个，因此排序后找到中间位置的数即可得到结果。
【解析】
首先把这组数据按照从小到大的顺序排列：130，141，158，179，192。
这组数据总共有5个，为奇数个，中间位置是第$(5+1)÷2=3$个数据，排序后第3个数据为158，因此这组数据的中位数是158。
【答案】
B
【知识点】
1.中位数的定义 2.数据的排序
【点评】
本题属于基础题型，重点考查中位数的求解方法，解题的核心是牢记求中位数前必须先对数据排序，避免直接取原数据中间的数导致出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道求中位数的题目，首先要明确中位数的计算规则：第一步需将所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；第二步判断数据总个数的奇偶性，若数据个数为奇数，取排序后正中间的数为中位数，若数据个数为偶数，取排序后中间两个数的平均数为中位数。本题共有5个数据，属于奇数个，因此排序后找到中间位置的数即可得到结果。
【解析】
首先把这组数据按照从小到大的顺序排列：130，141，158，179，192。
这组数据总共有5个，为奇数个，中间位置是第$(5+1)÷2=3$个数据，排序后第3个数据为158，因此这组数据的中位数是158。
【答案】
B
【知识点】
1.中位数的定义 2.数据的排序
【点评】
本题属于基础题型，重点考查中位数的求解方法，解题的核心是牢记求中位数前必须先对数据排序，避免直接取原数据中间的数导致出错。
【难度系数】
0.9
10. 如图，这是某地区2025年2月和3月的空气质量指数(AQI)箱线图.AQI越小，空气质量越好；AQI在201～300之间，说明重度污染.下列说法错误的是 ()
A.该地区2025年3月有重度污染天气
B.该地区2025年3月的AQI比2月集中
C.该地区2025年3月的AQI中位数大于2月AQI的中位数
D.从整体看，该地区2月的空气质量好于3月
A.该地区2025年3月有重度污染天气
B.该地区2025年3月的AQI比2月集中
C.该地区2025年3月的AQI中位数大于2月AQI的中位数
D.从整体看，该地区2月的空气质量好于3月
答案
B
解析
【分析】
首先回忆箱线图的组成含义：箱线图中，中间横线代表中位数，箱体的上下边缘分别是上四分位数和下四分位数，箱体上下延伸的竖线端点分别是该组数据的最大值和最小值。箱体的宽度反映数据的集中程度，宽度越小数据越集中。解题时逐一分析每个选项，结合"AQI越小空气质量越好"的规则判断即可。
【解析】
结合箱线图的统计意义逐一判断选项：
1. 分析选项A：3月AQI的最大值超过200，落在201~300的重度污染区间，说明3月有重度污染天气，A说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：箱体宽度越小，数据越集中。观察可知3月的箱体宽度大于2月的箱体宽度，说明3月的AQI更分散，而非更集中，B说法错误，符合题意。
3. 分析选项C：箱线图中间的横线为中位数，3月的中位数位置高于2月的中位数，说明3月AQI的中位数更大，C说法正确，不符合题意。
4. 分析选项D：AQI越小空气质量越好，2月的AQI整体数值低于3月，因此2月的空气质量好于3月，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识，中位数，数据分析
【点评】
本题考查统计图表中箱线图的应用，需要熟练掌握箱线图各部分代表的含义，结合题干给出的规则判断数据特征即可解题，是统计部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆箱线图的组成含义：箱线图中，中间横线代表中位数，箱体的上下边缘分别是上四分位数和下四分位数，箱体上下延伸的竖线端点分别是该组数据的最大值和最小值。箱体的宽度反映数据的集中程度，宽度越小数据越集中。解题时逐一分析每个选项，结合"AQI越小空气质量越好"的规则判断即可。
【解析】
结合箱线图的统计意义逐一判断选项：
1. 分析选项A：3月AQI的最大值超过200，落在201~300的重度污染区间，说明3月有重度污染天气，A说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：箱体宽度越小，数据越集中。观察可知3月的箱体宽度大于2月的箱体宽度，说明3月的AQI更分散，而非更集中，B说法错误，符合题意。
3. 分析选项C：箱线图中间的横线为中位数，3月的中位数位置高于2月的中位数，说明3月AQI的中位数更大，C说法正确，不符合题意。
4. 分析选项D：AQI越小空气质量越好，2月的AQI整体数值低于3月，因此2月的空气质量好于3月，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识，中位数，数据分析
【点评】
本题考查统计图表中箱线图的应用，需要熟练掌握箱线图各部分代表的含义，结合题干给出的规则判断数据特征即可解题，是统计部分的常见题型。
【难度系数】
0.7
11.小红为了解A,B,C三款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A,B,C三款无人机各10架，记录它们运行的最长时间(单位:min)，并对数据进行整理，绘制了两张统计图，但是在绘制统计图时小红不小心弄混了箱线图分别对应哪款无人机，请分辨出乙无人机对应款无人机(填“A”“B”或“C”)。
答案
B
解析
【分析】
要分辨箱线图对应的无人机款式，核心是利用箱线图可直观展示数据中位数等统计特征的特点解题。首先我们需要明确A、B、C三款无人机运行时间的中位数特征：经统计A款运行时间的中位数最大，C款的中位数最小，B款的中位数介于A、C之间。接下来对比三个箱线图的中位数位置，将中位数特征和箱线图一一匹配即可得到结果。
【解析】
箱线图中间的横线代表一组数据的中位数，是反映数据集中趋势的核心统计量。
整理三款无人机运行时间的统计特征可得：A款的运行时间中位数最大，C款的运行时间中位数最小，B款的运行时间中位数介于A、C两款之间。
观察三个箱线图的中位数位置：甲的中位数最高对应A款，丙的中位数最低对应C款，乙的中位数居中，因此乙对应B款。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识；中位数
【点评】
本题侧重考查对箱线图特征的理解，需要学生结合中位数的统计意义完成数据与统计图的匹配，解题的关键是找准不同组数据的统计特征差异。
【难度系数】
0.7
要分辨箱线图对应的无人机款式，核心是利用箱线图可直观展示数据中位数等统计特征的特点解题。首先我们需要明确A、B、C三款无人机运行时间的中位数特征：经统计A款运行时间的中位数最大，C款的中位数最小，B款的中位数介于A、C之间。接下来对比三个箱线图的中位数位置，将中位数特征和箱线图一一匹配即可得到结果。
【解析】
箱线图中间的横线代表一组数据的中位数，是反映数据集中趋势的核心统计量。
整理三款无人机运行时间的统计特征可得：A款的运行时间中位数最大，C款的运行时间中位数最小，B款的运行时间中位数介于A、C两款之间。
观察三个箱线图的中位数位置：甲的中位数最高对应A款，丙的中位数最低对应C款，乙的中位数居中，因此乙对应B款。
【答案】
B
【知识点】
箱线图的认识；中位数
【点评】
本题侧重考查对箱线图特征的理解，需要学生结合中位数的统计意义完成数据与统计图的匹配，解题的关键是找准不同组数据的统计特征差异。
【难度系数】
0.7
12. 甲、乙两位学生各自记录了8次自己从家到学校所用的时间(单位:min).
甲:15 12 15 13 16 14 13 14
乙:16 20 12 22 13 25 13 19
将数据进行以下整理和分析.
表1
|学生|平均数|方差|
|----|----|----|
|甲|
|1.5|
|乙|17.5|19.75|
表2
|学生|最小值、四分位数和最大值| | | | |
| |最小值|$m_{25}$|$m_{50}$|$m_{75}$|最大值|
|甲|12|13|
|$c$|16|
|乙|12|13|17.5|21|25|
(1)请确定表1中$a$的值,并用平均数、方差分析两人从家到学校所用的时间.
(2)请确定表2中$b,c$的值,并在下图中画出甲从家到学校所用时间的箱线图,再用四分位数、箱线图分析两人从家到学校所用的时间.
(3)根据数据信息及(1)和(2)中的分析,你还能作出什么判断或猜想?请写出一条.
甲:15 12 15 13 16 14 13 14
乙:16 20 12 22 13 25 13 19
将数据进行以下整理和分析.
表1
|学生|平均数|方差|
|----|----|----|
|甲|
|1.5||乙|17.5|19.75|
表2
|学生|最小值、四分位数和最大值| | | | |
| |最小值|$m_{25}$|$m_{50}$|$m_{75}$|最大值|
|甲|12|13|
|$c$|16||乙|12|13|17.5|21|25|
(1)请确定表1中$a$的值,并用平均数、方差分析两人从家到学校所用的时间.
(2)请确定表2中$b,c$的值,并在下图中画出甲从家到学校所用时间的箱线图,再用四分位数、箱线图分析两人从家到学校所用的时间.
(3)根据数据信息及(1)和(2)中的分析,你还能作出什么判断或猜想?请写出一条.
答案
解：
(1) 计算甲的平均数：
$a=\frac{1}{8}×(15+12+15+13+16+14+13+14)=\frac{112}{8}=14$。
分析：甲从家到学校的平均用时为14min，乙的平均用时为17.5min，甲的平均用时更短；甲的方差1.5远小于乙的方差19.75，说明甲从家到学校所用时间的波动远小于乙，甲的用时更稳定。
(2) 将甲的8次用时从小到大排序为：12，13，13，14，14，15，15，16。
中位数$m_{50}=b=\frac{14+14}{2}=14$，
上四分位数$m_{75}=c=\frac{15+15}{2}=15$。
甲的箱线图绘制：在横轴“甲”对应的位置，标记最小值12、下四分位数13、中位数14、上四分位数15、最大值16，绘制连接12和16的线段，以13和15为左右边界绘制矩形箱，在数值14的位置画出箱内的中位线。
分析：甲乙的最小值、下四分位数均相等，说明两人用时最短的25%次的用时情况完全一致；甲的中位数14远小于乙的17.5，甲的上四分位数15远小于乙的21，甲的最大值16远小于乙的25，说明甲超过75%的上学用时都不超过15min，而乙有超过一半的上学用时大于17.5min，甲的整体用时远少于乙，且甲的用时分布非常集中，乙的用时分布更分散。
(3) 猜想：甲上学的出行方式更稳定，几乎不会出现长时间延误的情况，乙上学的过程更容易遇到突发状况导致用时大幅增加。
(1) 计算甲的平均数：
$a=\frac{1}{8}×(15+12+15+13+16+14+13+14)=\frac{112}{8}=14$。
分析：甲从家到学校的平均用时为14min，乙的平均用时为17.5min，甲的平均用时更短；甲的方差1.5远小于乙的方差19.75，说明甲从家到学校所用时间的波动远小于乙，甲的用时更稳定。
(2) 将甲的8次用时从小到大排序为：12，13，13，14，14，15，15，16。
中位数$m_{50}=b=\frac{14+14}{2}=14$，
上四分位数$m_{75}=c=\frac{15+15}{2}=15$。
甲的箱线图绘制：在横轴“甲”对应的位置，标记最小值12、下四分位数13、中位数14、上四分位数15、最大值16，绘制连接12和16的线段，以13和15为左右边界绘制矩形箱，在数值14的位置画出箱内的中位线。
分析：甲乙的最小值、下四分位数均相等，说明两人用时最短的25%次的用时情况完全一致；甲的中位数14远小于乙的17.5，甲的上四分位数15远小于乙的21，甲的最大值16远小于乙的25，说明甲超过75%的上学用时都不超过15min，而乙有超过一半的上学用时大于17.5min，甲的整体用时远少于乙，且甲的用时分布非常集中，乙的用时分布更分散。
(3) 猜想：甲上学的出行方式更稳定，几乎不会出现长时间延误的情况，乙上学的过程更容易遇到突发状况导致用时大幅增加。
解析
【分析】
(1) 求a值即计算甲的平均用时，根据平均数计算公式，将甲8次用时求和后除以数据总个数8即可；分析时，平均数反映平均用时水平，数值越小说明平均用时越短，方差反映数据波动程度，数值越小说明用时越稳定，对比甲乙的平均数和方差即可得出结论。
(2) 求b（甲的中位数）和c（甲的上四分位数），首先要将甲的用时从小到大排序，共8个数据，中位数是排序后第4、第5个数据的平均数，上四分位数是排序后第6、第7个数据的平均数；绘制箱线图需先确定最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个关键值，再按规范作图；分析时对比甲乙的五个四分位相关数值，即可判断两人用时的分布差异。
(3) 可结合用时稳定性、极端值情况等，写出符合数据特征的合理判断即可。
【解析】
(1) 计算甲的平均数：
$a=\frac{1}{8}×(15+12+15+13+16+14+13+14)=\frac{112}{8}=14$
分析：甲从家到学校的平均用时为14min，小于乙的平均用时17.5min，说明甲的平均用时更短；甲的方差1.5远小于乙的方差19.75，说明甲的用时波动远小于乙，甲的用时更稳定。
(2) 将甲的8次用时从小到大排序为：12，13，13，14，14，15，15，16。
中位数$m_{50}=b=\frac{14+14}{2}=14$，
上四分位数$m_{75}=c=\frac{15+15}{2}=15$。
甲的箱线图绘制：在横轴对应甲的位置，依次标记最小值12、下四分位数13、中位数14、上四分位数15、最大值16，先绘制连接12和16的线段，再以13和15为左右边界绘制矩形箱，最后在箱内数值14的位置画出中位线。
分析：甲乙的最小值、下四分位数均相等，说明两人用时最短的25%次的用时情况完全一致；甲的中位数14远小于乙的17.5，甲的上四分位数15远小于乙的21，甲的最大值16远小于乙的25，说明甲超过75%的上学用时都不超过15min，而乙有超过一半的上学用时大于17.5min，甲的整体用时远少于乙，且甲的用时分布非常集中，乙的用时分布更分散。
(3) 猜想：甲上学的出行方式更稳定，几乎不会出现长时间延误的情况，乙上学的过程更容易遇到突发状况导致用时大幅增加。（合理即可）
【答案】
(1) $a=14$，甲平均用时更短，用时更稳定；
(2) $b=14$，$c=15$，箱线图按要求绘制即可，甲整体用时少于乙，用时分布更集中；
(3) 甲上学出行方式更稳定，乙更容易遇到用时大幅增加的情况（合理即可）
【知识点】
平均数计算，方差的意义，四分位数与箱线图
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需要熟练掌握平均数、方差、四分位数的计算方法，理解不同统计量反映的数据特征，能够结合数据特点分析实际问题，体现了统计知识的实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 求a值即计算甲的平均用时，根据平均数计算公式，将甲8次用时求和后除以数据总个数8即可；分析时，平均数反映平均用时水平，数值越小说明平均用时越短，方差反映数据波动程度，数值越小说明用时越稳定，对比甲乙的平均数和方差即可得出结论。
(2) 求b（甲的中位数）和c（甲的上四分位数），首先要将甲的用时从小到大排序，共8个数据，中位数是排序后第4、第5个数据的平均数，上四分位数是排序后第6、第7个数据的平均数；绘制箱线图需先确定最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个关键值，再按规范作图；分析时对比甲乙的五个四分位相关数值，即可判断两人用时的分布差异。
(3) 可结合用时稳定性、极端值情况等，写出符合数据特征的合理判断即可。
【解析】
(1) 计算甲的平均数：
$a=\frac{1}{8}×(15+12+15+13+16+14+13+14)=\frac{112}{8}=14$
分析：甲从家到学校的平均用时为14min，小于乙的平均用时17.5min，说明甲的平均用时更短；甲的方差1.5远小于乙的方差19.75，说明甲的用时波动远小于乙，甲的用时更稳定。
(2) 将甲的8次用时从小到大排序为：12，13，13，14，14，15，15，16。
中位数$m_{50}=b=\frac{14+14}{2}=14$，
上四分位数$m_{75}=c=\frac{15+15}{2}=15$。
甲的箱线图绘制：在横轴对应甲的位置，依次标记最小值12、下四分位数13、中位数14、上四分位数15、最大值16，先绘制连接12和16的线段，再以13和15为左右边界绘制矩形箱，最后在箱内数值14的位置画出中位线。
分析：甲乙的最小值、下四分位数均相等，说明两人用时最短的25%次的用时情况完全一致；甲的中位数14远小于乙的17.5，甲的上四分位数15远小于乙的21，甲的最大值16远小于乙的25，说明甲超过75%的上学用时都不超过15min，而乙有超过一半的上学用时大于17.5min，甲的整体用时远少于乙，且甲的用时分布非常集中，乙的用时分布更分散。
(3) 猜想：甲上学的出行方式更稳定，几乎不会出现长时间延误的情况，乙上学的过程更容易遇到突发状况导致用时大幅增加。（合理即可）
【答案】
(1) $a=14$，甲平均用时更短，用时更稳定；
(2) $b=14$，$c=15$，箱线图按要求绘制即可，甲整体用时少于乙，用时分布更集中；
(3) 甲上学出行方式更稳定，乙更容易遇到用时大幅增加的情况（合理即可）
【知识点】
平均数计算，方差的意义，四分位数与箱线图
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需要熟练掌握平均数、方差、四分位数的计算方法，理解不同统计量反映的数据特征，能够结合数据特点分析实际问题，体现了统计知识的实用性。
【难度系数】
0.7
