登录
6. 用半径为13 cm、面积为$65π \ \mathrm{cm}^2$的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为
$12$
cm.答案
6. $12$
解析
【分析】
解题思路可分三步推导：第一步，明确扇形和圆锥的对应关系：扇形的半径就是围成圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长；第二步，利用已知的扇形面积和半径，通过扇形面积公式求出扇形弧长；第三步，由弧长得到圆锥底面半径，最后结合母线长，用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
设扇形的弧长为$ l $，已知扇形半径$ R=13\ \mathrm{cm} $，面积$ S=65π\ \mathrm{cm}^2 $。
根据扇形面积公式$ S=\frac{1}{2}lR $，代入数据得：
$ 65π=\frac{1}{2}× l×13 $
解得：$ l=10π\ \mathrm{cm} $
设圆锥的底面半径为$ r $，因为扇形弧长等于圆锥底面周长，所以：
$ 2π r=10π $
解得：$ r=5\ \mathrm{cm} $
圆锥的母线长为扇形半径$ 13\ \mathrm{cm} $，圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长构成直角三角形，由勾股定理得：
$ h=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ 12 $
【知识点】
扇形面积计算、圆锥与扇形的转化、勾股定理
【点评】
本题考查立体图形与平面展开图的转化，核心是抓住扇形和圆锥的两个对应等量关系，牢记相关公式即可顺利求解，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步推导：第一步，明确扇形和圆锥的对应关系：扇形的半径就是围成圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长；第二步，利用已知的扇形面积和半径，通过扇形面积公式求出扇形弧长；第三步，由弧长得到圆锥底面半径，最后结合母线长，用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
设扇形的弧长为$ l $，已知扇形半径$ R=13\ \mathrm{cm} $，面积$ S=65π\ \mathrm{cm}^2 $。
根据扇形面积公式$ S=\frac{1}{2}lR $，代入数据得：
$ 65π=\frac{1}{2}× l×13 $
解得：$ l=10π\ \mathrm{cm} $
设圆锥的底面半径为$ r $，因为扇形弧长等于圆锥底面周长，所以：
$ 2π r=10π $
解得：$ r=5\ \mathrm{cm} $
圆锥的母线长为扇形半径$ 13\ \mathrm{cm} $，圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长构成直角三角形，由勾股定理得：
$ h=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ 12 $
【知识点】
扇形面积计算、圆锥与扇形的转化、勾股定理
【点评】
本题考查立体图形与平面展开图的转化，核心是抓住扇形和圆锥的两个对应等量关系，牢记相关公式即可顺利求解，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图 29.3-15，要用一个半径为 24 cm 的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计).若该圆锥的底面圆半径为 10 cm，则这个扇形的圆心角的度数为
图 29.3-15
$150°$
.图 29.3-15
答案
7. $150°$
解析
【分析】
解题的核心是抓住扇形围成圆锥时的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先先计算圆锥底面圆的周长，得到扇形的弧长，再代入弧长公式即可求出扇形圆心角的度数。
【解析】
设这个扇形的圆心角的度数为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长，即扇形的弧长：
已知圆锥底面圆半径$r=10\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长$C=2π×10=20π\mathrm{cm}$，即扇形弧长$l=20π\mathrm{cm}$。
2. 代入弧长公式计算圆心角：
扇形半径$R=24\mathrm{cm}$，弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=20π$、$R=24$代入得：
$20π=\frac{nπ×24}{180}$
两边同时约去$π$，解得：
$n=\frac{20×180}{24}=150$
【答案】
$150°$
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长计算；圆周长计算
【点评】
本题是圆锥和扇形结合的基础题型，解题的关键是牢记圆锥侧面展开为扇形时，扇形的弧长等于圆锥底面周长这一核心等量关系，掌握该关系即可快速求解这类问题。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住扇形围成圆锥时的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先先计算圆锥底面圆的周长，得到扇形的弧长，再代入弧长公式即可求出扇形圆心角的度数。
【解析】
设这个扇形的圆心角的度数为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长，即扇形的弧长：
已知圆锥底面圆半径$r=10\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长$C=2π×10=20π\mathrm{cm}$，即扇形弧长$l=20π\mathrm{cm}$。
2. 代入弧长公式计算圆心角：
扇形半径$R=24\mathrm{cm}$，弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，将$l=20π$、$R=24$代入得：
$20π=\frac{nπ×24}{180}$
两边同时约去$π$，解得：
$n=\frac{20×180}{24}=150$
【答案】
$150°$
【知识点】
圆锥展开图性质；弧长计算；圆周长计算
【点评】
本题是圆锥和扇形结合的基础题型，解题的关键是牢记圆锥侧面展开为扇形时，扇形的弧长等于圆锥底面周长这一核心等量关系，掌握该关系即可快速求解这类问题。
【难度系数】
0.7
8. 一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为$2000π \ \mathrm{cm}^2$，母线长为50 cm，那么这个烟囱帽的底面直径为
$80\ \mathrm{cm}$
.答案
8. $80\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先明确圆锥形烟囱帽的侧面积就是圆锥的侧面积，回忆圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）。已知侧面积和母线长两个量，先将已知数值代入公式求解底面半径，再根据直径与半径的关系$d=2r$计算底面直径即可。
【解析】
设这个烟囱帽的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，已知母线长$l=50\ \mathrm{cm}$，侧面积$S_{\mathrm{侧}}=2000π\ \mathrm{cm}^2$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入已知数值得：
$π × r × 50 = 2000π$
两边同时除以$π$，得$50r=2000$，解得$r=40$。
则底面直径$d=2r=2×40=80\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$80\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径的关系
【点评】
本题属于基础应用题，核心是对圆锥侧面积公式的直接运用，解题时需准确对应公式中各参数的含义，避免混淆母线长、底面半径等概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确圆锥形烟囱帽的侧面积就是圆锥的侧面积，回忆圆锥侧面积公式：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$为底面半径，$l$为母线长）。已知侧面积和母线长两个量，先将已知数值代入公式求解底面半径，再根据直径与半径的关系$d=2r$计算底面直径即可。
【解析】
设这个烟囱帽的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，已知母线长$l=50\ \mathrm{cm}$，侧面积$S_{\mathrm{侧}}=2000π\ \mathrm{cm}^2$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入已知数值得：
$π × r × 50 = 2000π$
两边同时除以$π$，得$50r=2000$，解得$r=40$。
则底面直径$d=2r=2×40=80\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$80\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径的关系
【点评】
本题属于基础应用题，核心是对圆锥侧面积公式的直接运用，解题时需准确对应公式中各参数的含义，避免混淆母线长、底面半径等概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
9. 如图29.3-16，线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，点$C$，$D$在$AB$上，$AC=BD=1\ \mathrm{cm}$. 已知点$P$从点$C$出发，每秒移动$1\ \mathrm{cm}$，沿着$AB$向点$D$移动，到达点$D$后停止移动，在点$P$移动的过程中作如下操作：先以点$P$为圆心，$PA$，$PB$的长为半径分别作两个圆心角均为$60°$的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面. 设点$P$的移动时间为$t$(单位：$\mathrm{s}$)，两个圆锥的底面面积之和为$S$(单位：$\mathrm{cm}^2$)，则$S$关于$t$的函数图象大致是（
D
）.答案
9. D
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先根据点P的运动规律，用含t的代数式表示出PA、PB的长度，确定t的取值范围；②结合圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于围成圆锥的底面周长，分别求出两个圆锥的底面半径；③根据圆的面积公式计算两个底面面积之和，得到S关于t的函数表达式，根据函数类型判断对应图象即可。
【解析】
由题意可知，点P的移动时间t的取值范围为$0≤ t≤8$，$PC=t\ \mathrm{cm}$。
则$PA=AC+PC=(1+t)\ \mathrm{cm}$，$PB=AB-PA=10-(1+t)=(9-t)\ \mathrm{cm}$。
设以PA为半径的扇形围成的圆锥底面半径为$r_1$，以PB为半径的扇形围成的圆锥底面半径为$r_2$。
根据圆锥底面周长等于对应扇形的弧长，结合弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$可得：
$2π r_1=\frac{60π(1+t)}{180}$，解得$r_1=\frac{1+t}{6}$；
$2π r_2=\frac{60π(9-t)}{180}$，解得$r_2=\frac{9-t}{6}$。
因此两个圆锥的底面面积之和：
$\begin{aligned}S&=π r_1^2+π r_2^2\\&=π·(\frac{1+t}{6})^2+π·(\frac{9-t}{6})^2\\&=\frac{π}{36}[(1+2t+t^2)+(81-18t+t^2)]\\&=\frac{π}{18}t^2-\frac{4π}{9}t+\frac{41π}{18}\end{aligned}$
可得S是关于t的二次函数，且二次项系数$\frac{π}{18}＞0$，抛物线开口向上，符合该特征的图象为选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的侧面展开图；弧长公式；二次函数的图象
【点评】
本题综合考查了动点问题、圆锥与扇形的对应关系、二次函数的图象识别，解题的核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关键等量关系，正确推导函数表达式后即可判断图象。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：①先根据点P的运动规律，用含t的代数式表示出PA、PB的长度，确定t的取值范围；②结合圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于围成圆锥的底面周长，分别求出两个圆锥的底面半径；③根据圆的面积公式计算两个底面面积之和，得到S关于t的函数表达式，根据函数类型判断对应图象即可。
【解析】
由题意可知，点P的移动时间t的取值范围为$0≤ t≤8$，$PC=t\ \mathrm{cm}$。
则$PA=AC+PC=(1+t)\ \mathrm{cm}$，$PB=AB-PA=10-(1+t)=(9-t)\ \mathrm{cm}$。
设以PA为半径的扇形围成的圆锥底面半径为$r_1$，以PB为半径的扇形围成的圆锥底面半径为$r_2$。
根据圆锥底面周长等于对应扇形的弧长，结合弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$可得：
$2π r_1=\frac{60π(1+t)}{180}$，解得$r_1=\frac{1+t}{6}$；
$2π r_2=\frac{60π(9-t)}{180}$，解得$r_2=\frac{9-t}{6}$。
因此两个圆锥的底面面积之和：
$\begin{aligned}S&=π r_1^2+π r_2^2\\&=π·(\frac{1+t}{6})^2+π·(\frac{9-t}{6})^2\\&=\frac{π}{36}[(1+2t+t^2)+(81-18t+t^2)]\\&=\frac{π}{18}t^2-\frac{4π}{9}t+\frac{41π}{18}\end{aligned}$
可得S是关于t的二次函数，且二次项系数$\frac{π}{18}＞0$，抛物线开口向上，符合该特征的图象为选项D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的侧面展开图；弧长公式；二次函数的图象
【点评】
本题综合考查了动点问题、圆锥与扇形的对应关系、二次函数的图象识别，解题的核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关键等量关系，正确推导函数表达式后即可判断图象。
【难度系数】
0.6
