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10. 如图29.3-17，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若网格中小正方形的边长为1，则这个圆锥的底面圆半径为
$\frac{5}{4}$
。答案
10. $\frac{5}{4}$
解析
【分析】要计算圆锥底面圆半径，需利用“圆锥底面圆周长等于其侧面展开图（扇形）的弧长”这一关系求解。第一步先通过网格结合勾股定理求出扇形的半径（即圆锥母线长）；第二步确定扇形的圆心角度数，计算出扇形的弧长；第三步根据周长相等列方程求出底面半径。
【解析】设网格中小正方形的边长为1，
1. 求扇形半径：由勾股定理可得扇形OAB的半径$OA=OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
2. 求扇形弧长：观察图形可知扇形的圆心角$∠ AOB=90°$，根据弧长公式，弧AB的长度为：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$；
3. 求底面半径：设圆锥底面圆半径为$r$，由于圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，因此：
$2π r=\frac{5π}{2}$
化简解得：$r=\frac{5}{4}$。
【答案】$\frac{5}{4}$
【知识点】勾股定理，扇形弧长计算，圆锥与展开图的关系
【点评】本题侧重考查几何图形间的对应转化关系，解题核心是抓住圆锥底面周长和侧面扇形弧长相等的等量关系，结合网格特征即可顺利求解。
【难度系数】0.7
【解析】设网格中小正方形的边长为1，
1. 求扇形半径：由勾股定理可得扇形OAB的半径$OA=OB=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
2. 求扇形弧长：观察图形可知扇形的圆心角$∠ AOB=90°$，根据弧长公式，弧AB的长度为：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$；
3. 求底面半径：设圆锥底面圆半径为$r$，由于圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，因此：
$2π r=\frac{5π}{2}$
化简解得：$r=\frac{5}{4}$。
【答案】$\frac{5}{4}$
【知识点】勾股定理，扇形弧长计算，圆锥与展开图的关系
【点评】本题侧重考查几何图形间的对应转化关系，解题核心是抓住圆锥底面周长和侧面扇形弧长相等的等量关系，结合网格特征即可顺利求解。
【难度系数】0.7
11. 如图29.3-18，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（网格中小正方形的边长为1）。
（1）请在图中标出圆心P的位置，点P的坐标为
（2）判断点$N(-2,1)$与$\odot P$的位置关系；
（3）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的侧面积。
（1）请在图中标出圆心P的位置，点P的坐标为
$(2,-1)$
，$\odot P$的半径为$2\sqrt{5}$
；（2）判断点$N(-2,1)$与$\odot P$的位置关系；
（3）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的侧面积。
答案
11. 解：(1) 如图，点P即为所求。
(2，-1) $2\sqrt{5}$
(2) $\because$点P的坐标为(2，-1)，点N的坐标为(-2，1)，
$\therefore PN=\sqrt{[2-(-2)]^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{5}.$
$\therefore PN$的长等于$\odot P$的半径，
$\therefore$点N在$\odot P$上.
(3) $\because AC=\sqrt{(6-0)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{10},$
$PA=PC=2\sqrt{5},$
$\therefore PA^2+PC^2=40,\ AC^2=40.$
$\therefore PA^2+PC^2=AC^2.$
$\therefore △ PAC$为直角三角形，且$∠ APC=90°.$
$\therefore$该圆锥的侧面积为$\frac{90×π×(2\sqrt{5})^2}{360}=5π.$
解析
【分析】
（1）根据垂径定理，圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点，因此作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心P；得到P的坐标后，利用勾股定理计算P到点A的距离，即可得到圆的半径。
（2）判断点与圆的位置关系，只需计算点到圆心的距离，再和半径对比：距离等于半径时点在圆上，大于半径时在圆外，小于半径时在圆内，因此计算PN的长度和半径比较即可得出结论。
（3）圆锥的侧面积等于扇形PAC的面积，首先结合勾股定理的逆定理判断△PAC的形状，得到扇形的圆心角，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心P，位置如图。
由网格可得点P的坐标为$(2,-1)$；
根据勾股定理，$\odot P$的半径$PA=\sqrt{(2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$。
(2) 已知$P(2,-1)$，$N(-2,1)$，根据两点间距离公式：
$PN=\sqrt{[2-(-2)]^2+(-1-1)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，
PN的长度等于$\odot P$的半径，因此点N在$\odot P$上。
(3) 先计算$AC$的长度：$A(0,3)$，$C(6,1)$，则$AC=\sqrt{(6-0)^2+(1-3)^2}=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$，
已知$PA=PC=2\sqrt{5}$，则$PA^2+PC^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=40$，$AC^2=(2\sqrt{10})^2=40$，
可得$PA^2+PC^2=AC^2$，由勾股定理的逆定理可知$△ PAC$为直角三角形，$∠ APC=90°$。
因此圆锥的侧面积即扇形PAC的面积：$S=\frac{90×π×(2\sqrt{5})^2}{360}=5π$。
【答案】
(1)，$(2,-1)$，$2\sqrt{5}$
(2) 点N在$\odot P$上
(3) $5π$
【知识点】
垂径定理的应用，点与圆的位置关系，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质、几何计算能力，解题核心是利用垂径定理准确定位圆心，结合勾股定理相关知识完成推导，注重对基础方法和综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）根据垂径定理，圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点，因此作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心P；得到P的坐标后，利用勾股定理计算P到点A的距离，即可得到圆的半径。
（2）判断点与圆的位置关系，只需计算点到圆心的距离，再和半径对比：距离等于半径时点在圆上，大于半径时在圆外，小于半径时在圆内，因此计算PN的长度和半径比较即可得出结论。
（3）圆锥的侧面积等于扇形PAC的面积，首先结合勾股定理的逆定理判断△PAC的形状，得到扇形的圆心角，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB、BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心P，位置如图
。由网格可得点P的坐标为$(2,-1)$；
根据勾股定理，$\odot P$的半径$PA=\sqrt{(2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$。
(2) 已知$P(2,-1)$，$N(-2,1)$，根据两点间距离公式：
$PN=\sqrt{[2-(-2)]^2+(-1-1)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，
PN的长度等于$\odot P$的半径，因此点N在$\odot P$上。
(3) 先计算$AC$的长度：$A(0,3)$，$C(6,1)$，则$AC=\sqrt{(6-0)^2+(1-3)^2}=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$，
已知$PA=PC=2\sqrt{5}$，则$PA^2+PC^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=40$，$AC^2=(2\sqrt{10})^2=40$，
可得$PA^2+PC^2=AC^2$，由勾股定理的逆定理可知$△ PAC$为直角三角形，$∠ APC=90°$。
因此圆锥的侧面积即扇形PAC的面积：$S=\frac{90×π×(2\sqrt{5})^2}{360}=5π$。
【答案】
(1)
，$(2,-1)$，$2\sqrt{5}$(2) 点N在$\odot P$上
(3) $5π$
【知识点】
垂径定理的应用，点与圆的位置关系，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质、几何计算能力，解题核心是利用垂径定理准确定位圆心，结合勾股定理相关知识完成推导，注重对基础方法和综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
12. 一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯如图29.3-19所示，纸杯开口圆的直径EF长为6 cm，母线OE的长为9 cm. 在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且$FA=3$ cm. 在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且$EB=1$ cm. 这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为
$2\sqrt{13}$
cm.答案
12. $2\sqrt{13}$
解析
【分析】
要解决圆锥表面蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是将立体的圆锥侧面展开为平面扇形，利用“两点之间线段最短”，把曲面上的路径转化为平面内两点的线段长度求解。第一步先通过圆锥底面周长和展开扇形弧长的等量关系，计算出展开扇形的圆心角；第二步确定A、B两点在展开图中的位置，得到OA、OB的长度以及二者的夹角；第三步通过作高构造直角三角形，结合三角函数和勾股定理计算线段AB的长度即可。
【解析】
1. 计算底面周长：已知开口圆直径EF=6cm，因此底面半径$r=3\mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=6π\mathrm{cm}$。
2. 求展开扇形的总圆心角：圆锥母线长$R=OE=9\mathrm{cm}$，设展开扇形的总圆心角为$n°$，根据扇形弧长等于底面周长，列方程：
$\frac{nπ R}{180}=C$
代入数值$\frac{nπ×9}{180}=6π$，解得$n=120$，即展开扇形的总圆心角为$120°$。
3. 求展开图中$∠ AOB$的度数：E、F是底面直径的两个端点，因此底面中E到F的劣弧长为半周长$3π$，对应展开图中OE、OF的夹角$θ$：
$\frac{θπ×9}{180}=3π$
解得$θ=60°$，即展开图中$∠ AOB=60°$。
4. 计算OA、OB长度：$OA=OF-FA=9-3=6\mathrm{cm}$，$OB=OE-EB=9-1=8\mathrm{cm}$。
5. 构造直角三角形求AB：过A作$AC⊥ OB$于点C，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中：
$OC=OA·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3\mathrm{cm}$，$AC=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
则$BC=OB-OC=8-3=5\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=(3\sqrt{3})^2+5^2=27+25=52$
因此$AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、勾股定理、最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题的关键是完成立体到平面的转化，要注意正确计算展开图中两点对应的夹角，避免直接将总圆心角当作两点夹角出错，同时要熟练掌握弧长公式和勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.6
要解决圆锥表面蚂蚁爬行的最短路径问题，核心思路是将立体的圆锥侧面展开为平面扇形，利用“两点之间线段最短”，把曲面上的路径转化为平面内两点的线段长度求解。第一步先通过圆锥底面周长和展开扇形弧长的等量关系，计算出展开扇形的圆心角；第二步确定A、B两点在展开图中的位置，得到OA、OB的长度以及二者的夹角；第三步通过作高构造直角三角形，结合三角函数和勾股定理计算线段AB的长度即可。
【解析】
1. 计算底面周长：已知开口圆直径EF=6cm，因此底面半径$r=3\mathrm{cm}$，底面周长$C=2π r=6π\mathrm{cm}$。
2. 求展开扇形的总圆心角：圆锥母线长$R=OE=9\mathrm{cm}$，设展开扇形的总圆心角为$n°$，根据扇形弧长等于底面周长，列方程：
$\frac{nπ R}{180}=C$
代入数值$\frac{nπ×9}{180}=6π$，解得$n=120$，即展开扇形的总圆心角为$120°$。
3. 求展开图中$∠ AOB$的度数：E、F是底面直径的两个端点，因此底面中E到F的劣弧长为半周长$3π$，对应展开图中OE、OF的夹角$θ$：
$\frac{θπ×9}{180}=3π$
解得$θ=60°$，即展开图中$∠ AOB=60°$。
4. 计算OA、OB长度：$OA=OF-FA=9-3=6\mathrm{cm}$，$OB=OE-EB=9-1=8\mathrm{cm}$。
5. 构造直角三角形求AB：过A作$AC⊥ OB$于点C，在$\mathrm{Rt}△ AOC$中：
$OC=OA·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3\mathrm{cm}$，$AC=OA·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
则$BC=OB-OC=8-3=5\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，由勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=(3\sqrt{3})^2+5^2=27+25=52$
因此$AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、勾股定理、最短路径问题
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，解题的关键是完成立体到平面的转化，要注意正确计算展开图中两点对应的夹角，避免直接将总圆心角当作两点夹角出错，同时要熟练掌握弧长公式和勾股定理的结合应用。
【难度系数】
0.6
