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一个水池最多可装$12\ \mathrm{m}^3$的水，水池装满水后，水池的出水口每小时放出$x\ \mathrm{m}^3$的水，经过$y\ \mathrm{h}$可以把水全部放完，那么$y$与$x$的函数解析式是________，自变量$x$的取值范围是________。
答案
$y=\dfrac{12}{x}$，$x＞0$
解析
【分析】
解题时首先要找到题目中的等量关系：每小时放水量×放水总时间=水池的总蓄水量。首先根据这个等量关系列出等式，再通过变形得到y关于x的函数解析式；接下来结合自变量的实际意义（每小时放水量不能为0或负数），确定x的取值范围即可。
【解析】
根据题意可知，放水总量等于每小时放水量乘以放水时间，即：
$x · y = 12$
将等式变形可得y与x的函数解析式：$y=\dfrac{12}{x}$
由于x表示每小时的放水量，结合实际意义，放水量必须为正数，因此自变量x的取值范围是$x＞0$。
【答案】
$y=\dfrac{12}{x}$，$x＞0$
【知识点】
反比例函数的实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数题，核心考查从实际问题中提炼等量关系、建立函数模型的能力，解题时需注意结合实际意义判断自变量的取值，避免出现无意义的取值情况。
【难度系数】
0.9
解题时首先要找到题目中的等量关系：每小时放水量×放水总时间=水池的总蓄水量。首先根据这个等量关系列出等式，再通过变形得到y关于x的函数解析式；接下来结合自变量的实际意义（每小时放水量不能为0或负数），确定x的取值范围即可。
【解析】
根据题意可知，放水总量等于每小时放水量乘以放水时间，即：
$x · y = 12$
将等式变形可得y与x的函数解析式：$y=\dfrac{12}{x}$
由于x表示每小时的放水量，结合实际意义，放水量必须为正数，因此自变量x的取值范围是$x＞0$。
【答案】
$y=\dfrac{12}{x}$，$x＞0$
【知识点】
反比例函数的实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数题，核心考查从实际问题中提炼等量关系、建立函数模型的能力，解题时需注意结合实际意义判断自变量的取值，避免出现无意义的取值情况。
【难度系数】
0.9
1. 下列三个问题中都有两个变量，两个变量之间的函数关系可以用形如$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的式子表示的是（
①矩形的面积一定，一边长$y$与它的邻边长$x$；
②某村的耕地面积一定，人均耕地面积$S$与全村总人口$n$；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程$s$与行驶时间$t$。
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A
）。①矩形的面积一定，一边长$y$与它的邻边长$x$；
②某村的耕地面积一定，人均耕地面积$S$与全村总人口$n$；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程$s$与行驶时间$t$。
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
1. A
解析
【分析】
要判断变量关系是否符合$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的形式，首先明确反比例函数的核心特征：两个变量的乘积为非零定值。解题时先结合每个实际问题的数量关系，列出两个变量的关系式，再对照反比例函数的定义逐一判断即可。
【解析】
首先明确反比例函数定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，本质是两个变量的乘积为非零定值。
① 设矩形的面积为定值$S$（$S＞0$），由矩形面积公式得$S=xy$，变形可得$y=\frac{S}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=S$为非零定值，符合要求；
② 设该村耕地总面积为定值$M$（$M＞0$），由人均耕地面积的计算关系得$M=Sn$，变形可得$S=\frac{M}{n}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=M$为非零定值，符合要求；
③ 设汽车行驶速度为定值$v$（$v＞0$），由路程公式得$s=vt$，属于正比例函数形式，不符合反比例函数的结构，不符合要求。
综上，①②符合题意，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义、实际问题列函数关系式、正比例函数的识别
【点评】
本题重点考查反比例函数定义的应用，解题关键是结合常见实际问题的数量关系列出函数表达式，再对照定义判断，需注意区分反比例函数与正比例函数的核心差异：反比例函数的两个变量乘积为定值，正比例函数的两个变量比值为定值。
【难度系数】
0.8
要判断变量关系是否符合$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的形式，首先明确反比例函数的核心特征：两个变量的乘积为非零定值。解题时先结合每个实际问题的数量关系，列出两个变量的关系式，再对照反比例函数的定义逐一判断即可。
【解析】
首先明确反比例函数定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，本质是两个变量的乘积为非零定值。
① 设矩形的面积为定值$S$（$S＞0$），由矩形面积公式得$S=xy$，变形可得$y=\frac{S}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=S$为非零定值，符合要求；
② 设该村耕地总面积为定值$M$（$M＞0$），由人均耕地面积的计算关系得$M=Sn$，变形可得$S=\frac{M}{n}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=M$为非零定值，符合要求；
③ 设汽车行驶速度为定值$v$（$v＞0$），由路程公式得$s=vt$，属于正比例函数形式，不符合反比例函数的结构，不符合要求。
综上，①②符合题意，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义、实际问题列函数关系式、正比例函数的识别
【点评】
本题重点考查反比例函数定义的应用，解题关键是结合常见实际问题的数量关系列出函数表达式，再对照定义判断，需注意区分反比例函数与正比例函数的核心差异：反比例函数的两个变量乘积为定值，正比例函数的两个变量比值为定值。
【难度系数】
0.8
2. 一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度行驶了4 h到达目的地，当他从原路匀速返回时，汽车的平均速度$ v $（单位：km/h）与行驶时间$ t $（单位：h）的函数解析式为（
A.$ v=\dfrac{320}{t} $
B.$ v+t=320 $
C.$ v=\dfrac{80}{t} $
D.$ v=\dfrac{t-4}{t} $
A
）。A.$ v=\dfrac{320}{t} $
B.$ v+t=320 $
C.$ v=\dfrac{80}{t} $
D.$ v=\dfrac{t-4}{t} $
答案
2. A
解析
【分析】
解题核心是抓住往返过程中甲乙两地的路程不变这一关键条件。首先根据去程的速度和行驶时间计算出两地总路程，再结合返程时“路程=速度×时间”的等量关系，变形整理就能得到v与t的函数解析式。
【解析】
解：第一步：计算甲地到乙地的总路程
根据行程问题基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$
已知去程平均速度为80km/h，行驶时间为4h，因此总路程为：
$s=80×4=320\ \mathrm{km}$
第二步：推导返程时v与t的函数关系
返程原路返回，总路程仍为320km，此时行驶速度为v，行驶时间为t，可得等量关系：
$v· t=320$
将式子变形为用t表示v的形式，得：
$v=\dfrac{320}{t}\ (t＞0)$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，解题关键是找准不变量（总路程），结合基础数量关系推导函数表达式，属于基础得分题，主要考察学生对基础公式的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
解题核心是抓住往返过程中甲乙两地的路程不变这一关键条件。首先根据去程的速度和行驶时间计算出两地总路程，再结合返程时“路程=速度×时间”的等量关系，变形整理就能得到v与t的函数解析式。
【解析】
解：第一步：计算甲地到乙地的总路程
根据行程问题基本公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$
已知去程平均速度为80km/h，行驶时间为4h，因此总路程为：
$s=80×4=320\ \mathrm{km}$
第二步：推导返程时v与t的函数关系
返程原路返回，总路程仍为320km，此时行驶速度为v，行驶时间为t，可得等量关系：
$v· t=320$
将式子变形为用t表示v的形式，得：
$v=\dfrac{320}{t}\ (t＞0)$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，解题关键是找准不变量（总路程），结合基础数量关系推导函数表达式，属于基础得分题，主要考察学生对基础公式的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
3. 近视眼镜的度数$ y $(单位：度)是关于镜片焦距$ x $(单位：m)的反比例函数，已知400度近视眼镜的镜片焦距为0.25 m，若某一近视眼镜的镜片焦距为0.4 m，则该镜片的度数可以调整为（
A.300度
B.500度
C.250度
D.200度
C
）.A.300度
B.500度
C.250度
D.200度
答案
3. C
解析
【分析】
这是一道反比例函数的实际应用题，解题思路如下：第一步，根据“y是x的反比例函数”设出反比例函数的标准形式；第二步，将已知的度数与焦距的对应值代入解析式，求出未知的比例系数，得到完整的函数解析式；第三步，将题干给出的新焦距代入解析式，计算出对应的眼镜度数即可。
【解析】
解：设近视眼镜度数$ y $与镜片焦距$ x $的函数关系式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x＞0 $）。
将$ x=0.25 $，$ y=400 $代入解析式，得：
$ 400 = \frac{k}{0.25} $
解得$ k = 400 × 0.25 = 100 $
所以函数解析式为$ y = \frac{100}{x} $。
当镜片焦距$ x=0.4\ \mathrm{m} $时，代入解析式得：
$ y = \frac{100}{0.4} = 250 $
即该镜片的度数为250度。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在日常生活中的基础应用题型，解题核心是先利用已知条件确定反比例函数的解析式，再代入未知量求值，贴近生活实际，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
这是一道反比例函数的实际应用题，解题思路如下：第一步，根据“y是x的反比例函数”设出反比例函数的标准形式；第二步，将已知的度数与焦距的对应值代入解析式，求出未知的比例系数，得到完整的函数解析式；第三步，将题干给出的新焦距代入解析式，计算出对应的眼镜度数即可。
【解析】
解：设近视眼镜度数$ y $与镜片焦距$ x $的函数关系式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x＞0 $）。
将$ x=0.25 $，$ y=400 $代入解析式，得：
$ 400 = \frac{k}{0.25} $
解得$ k = 400 × 0.25 = 100 $
所以函数解析式为$ y = \frac{100}{x} $。
当镜片焦距$ x=0.4\ \mathrm{m} $时，代入解析式得：
$ y = \frac{100}{0.4} = 250 $
即该镜片的度数为250度。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在日常生活中的基础应用题型，解题核心是先利用已知条件确定反比例函数的解析式，再代入未知量求值，贴近生活实际，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
