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4. 设计一块面积为30 m²的矩形草坪，如果矩形草坪的一边长为x m，它的邻边长为y m，那么y与x的函数关系的图象大致是（
C
）。答案
4. C
解析
【分析】
首先根据矩形面积公式推导y与x的函数关系式，再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后根据函数类型和取值范围匹配对应的函数图象：
1. 矩形面积=邻边长度乘积，由此可得xy=30，变形可得函数解析式；
2. 边长为正数，因此x的取值范围是x＞0，对应的y值也为正数，函数图象只能在第一象限；
3. 该函数是反比例函数，图象为双曲线的一支，由此排除不符合的选项即可。
【解析】
解：已知矩形面积为30 m²，一边长为x m，邻边长为y m，根据矩形面积公式：
$x · y = 30$
整理得y与x的函数关系式为：
$y = \frac{30}{x}$
∵x是矩形的边长，长度为正数，
∴x＞0，
因此该函数是k=30＞0的反比例函数，图象为第一象限内的双曲线分支。
对选项逐一判断：
A选项：包含第三象限的图象，对应x＜0的情况，不符合实际意义，排除；
B选项：图象为直线，属于一次函数图象，不符合反比例函数特征，排除；
C选项：为第一象限内的双曲线分支，符合$y=\frac{30}{x}(x＞0)$的图象特征，正确；
D选项：图象为圆弧类曲线，不是反比例函数的双曲线图象，排除。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际生活中的矩形面积问题考查反比例函数的图象，解题关键是先推导函数解析式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略x＞0的限制选错选项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
首先根据矩形面积公式推导y与x的函数关系式，再结合实际意义确定自变量x的取值范围，最后根据函数类型和取值范围匹配对应的函数图象：
1. 矩形面积=邻边长度乘积，由此可得xy=30，变形可得函数解析式；
2. 边长为正数，因此x的取值范围是x＞0，对应的y值也为正数，函数图象只能在第一象限；
3. 该函数是反比例函数，图象为双曲线的一支，由此排除不符合的选项即可。
【解析】
解：已知矩形面积为30 m²，一边长为x m，邻边长为y m，根据矩形面积公式：
$x · y = 30$
整理得y与x的函数关系式为：
$y = \frac{30}{x}$
∵x是矩形的边长，长度为正数，
∴x＞0，
因此该函数是k=30＞0的反比例函数，图象为第一象限内的双曲线分支。
对选项逐一判断：
A选项：包含第三象限的图象，对应x＜0的情况，不符合实际意义，排除；
B选项：图象为直线，属于一次函数图象，不符合反比例函数特征，排除；
C选项：为第一象限内的双曲线分支，符合$y=\frac{30}{x}(x＞0)$的图象特征，正确；
D选项：图象为圆弧类曲线，不是反比例函数的双曲线图象，排除。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际生活中的矩形面积问题考查反比例函数的图象，解题关键是先推导函数解析式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略x＞0的限制选错选项，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙两地相距100 km，汽车由甲地行驶到乙地所用时间 y（单位：h）与行驶速度 x（单位：km/h）之间的函数图象大致是（
B
）。答案
5. B
解析
【分析】
解题时先结合行程问题的数量关系推导函数关系式，再根据实际意义确定自变量的取值范围，最后匹配对应函数图象即可。首先根据“路程=速度×时间”的关系，已知路程固定为100km，可推出时间y和速度x的函数关系；其次速度是实际物理量，取值必须为正数，因此函数图象仅能出现在第一象限；最后结合函数类型为反比例函数，对应图象特征选择正确选项。
【解析】
根据行程公式：$ \mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间} $，已知甲乙两地路程为100km，可得：
$ x· y=100 $，变形得函数关系式为 $ y=\frac{100}{x} $。
由于汽车行驶速度x为正数，即 $ x＞0 $，因此对应的时间y也为正数，该函数图象是反比例函数在第一象限的分支，只有选项B符合特征。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象
【点评】
本题将函数知识与实际行程问题结合，解题的关键是先推导函数类型，再结合实际意义排除不符合取值范围的图象，避免忽略自变量取值范围误选错误选项。
【难度系数】
0.8
解题时先结合行程问题的数量关系推导函数关系式，再根据实际意义确定自变量的取值范围，最后匹配对应函数图象即可。首先根据“路程=速度×时间”的关系，已知路程固定为100km，可推出时间y和速度x的函数关系；其次速度是实际物理量，取值必须为正数，因此函数图象仅能出现在第一象限；最后结合函数类型为反比例函数，对应图象特征选择正确选项。
【解析】
根据行程公式：$ \mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间} $，已知甲乙两地路程为100km，可得：
$ x· y=100 $，变形得函数关系式为 $ y=\frac{100}{x} $。
由于汽车行驶速度x为正数，即 $ x＞0 $，因此对应的时间y也为正数，该函数图象是反比例函数在第一象限的分支，只有选项B符合特征。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象
【点评】
本题将函数知识与实际行程问题结合，解题的关键是先推导函数类型，再结合实际意义排除不符合取值范围的图象，避免忽略自变量取值范围误选错误选项。
【难度系数】
0.8
6. 某食堂购入大米400 kg，若平均每天消耗x kg，则能吃y天，下列说法错误的是（
A.若$x=8$，则$y=50$
B.若$y=40$，则$x=10$
C.若$x$减小，则$y$也减小
D.若$x$减小一半，则$y$增大一倍
C
）。A.若$x=8$，则$y=50$
B.若$y=40$，则$x=10$
C.若$x$减小，则$y$也减小
D.若$x$减小一半，则$y$增大一倍
答案
6. C
解析
【分析】
首先根据“大米总质量=每天消耗质量×可食用天数”的等量关系，可得出x与y的关系式为$xy=400$，即$y=\frac{400}{x}$，二者成反比例关系。接下来只需将各选项的数值代入关系式验证，或结合反比例函数$k＞0$时的增减性判断选项正误即可。
【解析】
由题意得，大米总质量固定为400kg，因此$x· y=400$，变形可得$y=\frac{400}{x}\ (x＞0,y＞0)$，x与y成反比例关系：
选项A：将$x=8$代入$y=\frac{400}{x}$，得$y=\frac{400}{8}=50$，说法正确，不符合题意；
选项B：将$y=40$代入$x=\frac{400}{y}$，得$x=\frac{400}{40}=10$，说法正确，不符合题意；
选项C：因为x、y乘积为定值400，当x减小时，y必然增大，该说法错误，符合题意；
选项D：若x减小一半，即新的消耗量为$\frac{1}{2}x$，代入得新的天数$y'=\frac{400}{\frac{1}{2}x}=2×\frac{400}{x}=2y$，即y增大一倍，说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题核心是先根据总量不变确定两个变量的反比例关系，再结合反比例性质逐一判断选项即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先根据“大米总质量=每天消耗质量×可食用天数”的等量关系，可得出x与y的关系式为$xy=400$，即$y=\frac{400}{x}$，二者成反比例关系。接下来只需将各选项的数值代入关系式验证，或结合反比例函数$k＞0$时的增减性判断选项正误即可。
【解析】
由题意得，大米总质量固定为400kg，因此$x· y=400$，变形可得$y=\frac{400}{x}\ (x＞0,y＞0)$，x与y成反比例关系：
选项A：将$x=8$代入$y=\frac{400}{x}$，得$y=\frac{400}{8}=50$，说法正确，不符合题意；
选项B：将$y=40$代入$x=\frac{400}{y}$，得$x=\frac{400}{40}=10$，说法正确，不符合题意；
选项C：因为x、y乘积为定值400，当x减小时，y必然增大，该说法错误，符合题意；
选项D：若x减小一半，即新的消耗量为$\frac{1}{2}x$，代入得新的天数$y'=\frac{400}{\frac{1}{2}x}=2×\frac{400}{x}=2y$，即y增大一倍，说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题核心是先根据总量不变确定两个变量的反比例关系，再结合反比例性质逐一判断选项即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
7. 将油箱加满油后，汽车可行驶的总路程$s$(单位：km)与平均耗油量$a$(单位：L/km)之间满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$($k$是常数，$k≠0$). 已知某汽车油箱加满油后，以平均耗油量为0.1 L/km的速度行驶，可行驶700 km.
(1) 求该汽车可行驶的总路程$s$与平均耗油量$a$之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2) 当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满后该汽车可以行驶多少千米？
(1) 求该汽车可行驶的总路程$s$与平均耗油量$a$之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2) 当平均耗油量为0.08 L/km时，油箱加满后该汽车可以行驶多少千米？
答案
7. 解：(1) 由题意，得 $k=0.1×700=70$，
$\therefore s$ 关于 $a$ 的函数解析式为 $s=\dfrac{70}{a}$.
(2) 当 $a=0.08$ 时，$s=\dfrac{70}{0.08}=875$.
故当平均耗油量为 0.08 L/km 时，油箱加满后该汽车可以行驶 875 km.
$\therefore s$ 关于 $a$ 的函数解析式为 $s=\dfrac{70}{a}$.
(2) 当 $a=0.08$ 时，$s=\dfrac{70}{0.08}=875$.
故当平均耗油量为 0.08 L/km 时，油箱加满后该汽车可以行驶 875 km.
解析
【分析】
第(1)问：题目已经明确给出s与a的反比例函数关系形式为$s=\frac{k}{a}$，要确定完整的函数解析式，只需要求出常数k的值即可。我们已知当平均耗油量$a=0.1\ \mathrm{L/km}$时，可行驶路程$s=700\ \mathrm{km}$，将这组对应值代入函数表达式就能计算出k，进而得到函数解析式。
第(2)问：在得到s与a的函数解析式后，要求平均耗油量为$0.08\ \mathrm{L/km}$时的行驶路程，只需将$a=0.08$代入已求得的解析式，计算出对应的s值即可。
【解析】
(1) 由题意，将$a=0.1$，$s=700$代入$s=\frac{k}{a}$，可得：
$k=sa=0.1×700=70$
$\therefore$ s与a的函数解析式为 $s=\dfrac{70}{a}$。
(2) 将$a=0.08$代入$s=\dfrac{70}{a}$，得：
$s=\dfrac{70}{0.08}=875$
【答案】
(1) $s=\dfrac{70}{a}$；(2) $\boxed{875\ \mathrm{km}}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合汽车油耗的生活场景考查反比例函数的基础应用，核心考点是待定系数法求函数解析式、代入自变量求对应函数值，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
第(1)问：题目已经明确给出s与a的反比例函数关系形式为$s=\frac{k}{a}$，要确定完整的函数解析式，只需要求出常数k的值即可。我们已知当平均耗油量$a=0.1\ \mathrm{L/km}$时，可行驶路程$s=700\ \mathrm{km}$，将这组对应值代入函数表达式就能计算出k，进而得到函数解析式。
第(2)问：在得到s与a的函数解析式后，要求平均耗油量为$0.08\ \mathrm{L/km}$时的行驶路程，只需将$a=0.08$代入已求得的解析式，计算出对应的s值即可。
【解析】
(1) 由题意，将$a=0.1$，$s=700$代入$s=\frac{k}{a}$，可得：
$k=sa=0.1×700=70$
$\therefore$ s与a的函数解析式为 $s=\dfrac{70}{a}$。
(2) 将$a=0.08$代入$s=\dfrac{70}{a}$，得：
$s=\dfrac{70}{0.08}=875$
【答案】
(1) $s=\dfrac{70}{a}$；(2) $\boxed{875\ \mathrm{km}}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合汽车油耗的生活场景考查反比例函数的基础应用，核心考点是待定系数法求函数解析式、代入自变量求对应函数值，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 某公园“水上滑梯”的侧面示意图如图 27.3-1 所示，其中 BC 段可看成是双曲线的一部分，建立平面直角坐标系.其中，矩形 AOFH 表示上行的阶梯，OA = 3 m，AB//OD，且 AB = 2 m，出口点 C 距水面的距离 CD 为 1 m，则 B，C 之间的水平距离 DE 的长度为
图 27.3-1
4 m
.图 27.3-1
答案
8. 4 m
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先BC段为双曲线的一部分，属于反比例函数图象，因此第一步需要先确定反比例函数的解析式：先根据已知的OA、AB长度得到B点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的k值；第二步，已知C点的纵坐标（CD的长度），将其代入反比例函数解析式求出C点的横坐标；最后用C点的横坐标减去B点的横坐标，即可得到B、C之间的水平距离DE的长度。
【解析】
设BC段所在双曲线的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0, x＞0 $）。
1. 求点B的坐标：
已知$ OA=3\ \mathrm{m} $，$ AB// OD $，$ AB=2\ \mathrm{m} $，因此点B的横坐标为2，纵坐标为3，即$ B(2,3) $。
2. 求反比例函数解析式：
将$ B(2,3) $代入$ y=\frac{k}{x} $，得$ 3=\frac{k}{2} $，解得$ k=6 $，因此反比例函数解析式为$ y=\frac{6}{x} $（$ x＞0 $）。
3. 求点C的横坐标：
已知出口C距水面的距离$ CD=1\ \mathrm{m} $，即点C的纵坐标为1，将$ y=1 $代入$ y=\frac{6}{x} $，得$ 1=\frac{6}{x} $，解得$ x=6 $，即点C的横坐标为6。
4. 计算DE的长度：
DE为B、C两点的水平距离，即两点横坐标的差：$ DE=6-2=4\ \mathrm{m} $。
【答案】
4 m
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题结合生活中的水上滑梯场景考查反比例函数的实际应用，解题的核心是准确找到反比例函数上已知坐标的点求出解析式，再结合点的坐标特征求解对应线段长度，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先BC段为双曲线的一部分，属于反比例函数图象，因此第一步需要先确定反比例函数的解析式：先根据已知的OA、AB长度得到B点的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的k值；第二步，已知C点的纵坐标（CD的长度），将其代入反比例函数解析式求出C点的横坐标；最后用C点的横坐标减去B点的横坐标，即可得到B、C之间的水平距离DE的长度。
【解析】
设BC段所在双曲线的反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0, x＞0 $）。
1. 求点B的坐标：
已知$ OA=3\ \mathrm{m} $，$ AB// OD $，$ AB=2\ \mathrm{m} $，因此点B的横坐标为2，纵坐标为3，即$ B(2,3) $。
2. 求反比例函数解析式：
将$ B(2,3) $代入$ y=\frac{k}{x} $，得$ 3=\frac{k}{2} $，解得$ k=6 $，因此反比例函数解析式为$ y=\frac{6}{x} $（$ x＞0 $）。
3. 求点C的横坐标：
已知出口C距水面的距离$ CD=1\ \mathrm{m} $，即点C的纵坐标为1，将$ y=1 $代入$ y=\frac{6}{x} $，得$ 1=\frac{6}{x} $，解得$ x=6 $，即点C的横坐标为6。
4. 计算DE的长度：
DE为B、C两点的水平距离，即两点横坐标的差：$ DE=6-2=4\ \mathrm{m} $。
【答案】
4 m
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题结合生活中的水上滑梯场景考查反比例函数的实际应用，解题的核心是准确找到反比例函数上已知坐标的点求出解析式，再结合点的坐标特征求解对应线段长度，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
