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9. 某单位冬天储备了一定质量的煤，每天所用煤的吨数$y$与所用天数$x$满足函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$），其图象是一段曲线，如图27.3-2所示，且曲线的端点分别是点$A(100,0.5)$，$B(m,0.25)$。
（1）求$k$，$m$的值；
（2）若煤的使用时间不超过160天，求每天最少要用多少吨煤。
（1）求$k$，$m$的值；
（2）若煤的使用时间不超过160天，求每天最少要用多少吨煤。
答案
9. 解：（1）$0.5×100=50$，$k=50$，$y=\frac{50}{x}$。
把$y=0.25$，$x=m$代入$y=\frac{50}{x}$，
得$m=\frac{50}{0.25}=200$。
（2）当$x=160$时，$y=\frac{5}{16}$，
由题图，可知若煤的使用时间不超过 160 天，
则每天至少要用$\frac{5}{16}$吨煤。
把$y=0.25$，$x=m$代入$y=\frac{50}{x}$，
得$m=\frac{50}{0.25}=200$。
（2）当$x=160$时，$y=\frac{5}{16}$，
由题图，可知若煤的使用时间不超过 160 天，
则每天至少要用$\frac{5}{16}$吨煤。
解析
【分析】
（1）已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$A(100,0.5)$，直接将点A的坐标代入函数解析式，即可求出$k$的值，确定反比例函数的表达式；再将点$B(m,0.25)$代入已求出的反比例函数解析式，就能解出$m$的值。
（2）“使用时间不超过160天”即$x≤160$，由$k=50＞0$可知，该反比例函数在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，因此当$x$取最大值160时，$y$取得最小值，代入解析式计算即可得到每天最少用煤量。
【解析】
解：（1）$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象经过点$A(100,0.5)$
$\therefore$ 将$x=100$，$y=0.5$代入解析式得：
$0.5=\frac{k}{100}$，解得$k=100×0.5=50$
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{50}{x}$
又$\because$ 点$B(m,0.25)$在函数$y=\frac{50}{x}$的图象上
$\therefore$ 将$x=m$，$y=0.25$代入得：
$0.25=\frac{50}{m}$，解得$m=\frac{50}{0.25}=200$
（2）由题意得使用天数$x≤160$
$\because k=50＞0$，$\therefore$ 在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
$\therefore$ 当$x$取最大值160时，$y$取得最小值
将$x=160$代入$y=\frac{50}{x}$得：
$y=\frac{50}{160}=\frac{5}{16}$
即每天最少要用$\frac{5}{16}$吨煤。
【答案】
（1）$k=50$，$m=200$；
（2）每天最少要用$\frac{5}{16}$吨煤。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活用煤的实际场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先利用已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解最值，注重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$A(100,0.5)$，直接将点A的坐标代入函数解析式，即可求出$k$的值，确定反比例函数的表达式；再将点$B(m,0.25)$代入已求出的反比例函数解析式，就能解出$m$的值。
（2）“使用时间不超过160天”即$x≤160$，由$k=50＞0$可知，该反比例函数在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，因此当$x$取最大值160时，$y$取得最小值，代入解析式计算即可得到每天最少用煤量。
【解析】
解：（1）$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象经过点$A(100,0.5)$
$\therefore$ 将$x=100$，$y=0.5$代入解析式得：
$0.5=\frac{k}{100}$，解得$k=100×0.5=50$
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{50}{x}$
又$\because$ 点$B(m,0.25)$在函数$y=\frac{50}{x}$的图象上
$\therefore$ 将$x=m$，$y=0.25$代入得：
$0.25=\frac{50}{m}$，解得$m=\frac{50}{0.25}=200$
（2）由题意得使用天数$x≤160$
$\because k=50＞0$，$\therefore$ 在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
$\therefore$ 当$x$取最大值160时，$y$取得最小值
将$x=160$代入$y=\frac{50}{x}$得：
$y=\frac{50}{160}=\frac{5}{16}$
即每天最少要用$\frac{5}{16}$吨煤。
【答案】
（1）$k=50$，$m=200$；
（2）每天最少要用$\frac{5}{16}$吨煤。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活用煤的实际场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先利用已知点求出函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解最值，注重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 已知某盐场晒出了3 000 t盐，该盐场决定把盐全部运走.
（1）求运走所需的时间t（单位：天）与运走速度v（单位：t/天）之间的函数解析式.
（2）若该盐场有工人80名，每天最多可运走500 t盐，则预计最快可在几天内将盐运完？
（3）在第（2）小题的条件下，若该盐场的工人工作了3天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐场决定在2天内把剩下的盐全部运走（每人每天运盐量不变），则至少需要从其他盐场调来多少名工人？
（1）求运走所需的时间t（单位：天）与运走速度v（单位：t/天）之间的函数解析式.
（2）若该盐场有工人80名，每天最多可运走500 t盐，则预计最快可在几天内将盐运完？
（3）在第（2）小题的条件下，若该盐场的工人工作了3天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐场决定在2天内把剩下的盐全部运走（每人每天运盐量不变），则至少需要从其他盐场调来多少名工人？
答案
（1） 盐的总量是定值，可以用反比例函数描述t与v之间的关系.其函数解析式为$t=\frac{3000}{v}(v＞0)$.
（2） 当v=500时，$t=\frac{3000}{500}=6$，
∴预计最快可在6天内将盐运完.
（3） 设需要从其他盐场调来x名工人.由题意，得$3×500+2×\frac{500}{80}×(80+x)=3000$，解方程，得x=40.故至少需要从其他盐场调来40名工人.
（2） 当v=500时，$t=\frac{3000}{500}=6$，
∴预计最快可在6天内将盐运完.
（3） 设需要从其他盐场调来x名工人.由题意，得$3×500+2×\frac{500}{80}×(80+x)=3000$，解方程，得x=40.故至少需要从其他盐场调来40名工人.
解析
【分析】
（1）根据“运输总量=运输速度×运输时间”的基本等量关系，已知盐的总质量为固定值3000t，变形即可得到t与v的函数关系，注意运输速度为正数，需标注v＞0的取值范围。
（2）要求最快运完的时间，对应运输速度取最大值，即题中给出的每天最多运500t，将v=500代入第一问得到的函数解析式，即可计算出最短时间。
（3）先计算前3天的运输总量，再求出单人每天的运输效率，设调来x名工人，根据“前3天运输量+后2天运输量=总运输量”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到需要调来的工人数。
【解析】
（1）由运输总量=运输速度×运输时间，可得$vt=3000$，变形得函数解析式为：$\boldsymbol{t=\frac{3000}{v}(v＞0)}$。
（2）最快运输速度取最大值$v=500\ \mathrm{t/天}$，代入解析式得：
$t=\frac{3000}{500}=6$（天）
（3）设需要从其他盐场调来$x$名工人。
单人每天的运盐量为$\frac{500}{80}\ \mathrm{t}$，根据题意列方程：
$3×500+2×\frac{500}{80}×(80+x)=3000$
解方程：
$1500+\frac{25}{2}(80+x)=3000$
$\frac{25}{2}(80+x)=1500$
$80+x=120$
$x=40$
【答案】
（1）$t=\frac{3000}{v}(v＞0)$
（2）预计最快可在6天内将盐运完
（3）至少需要从其他盐场调来40名工人
【知识点】
反比例函数应用、一元一次方程应用、实际问题建模
【点评】
本题以盐场运盐的实际场景为背景，分层设置问题，既考查了反比例函数解析式的求解，也考查了一元一次方程在实际问题中的应用，能够有效检验学生提取等量关系、建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）根据“运输总量=运输速度×运输时间”的基本等量关系，已知盐的总质量为固定值3000t，变形即可得到t与v的函数关系，注意运输速度为正数，需标注v＞0的取值范围。
（2）要求最快运完的时间，对应运输速度取最大值，即题中给出的每天最多运500t，将v=500代入第一问得到的函数解析式，即可计算出最短时间。
（3）先计算前3天的运输总量，再求出单人每天的运输效率，设调来x名工人，根据“前3天运输量+后2天运输量=总运输量”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到需要调来的工人数。
【解析】
（1）由运输总量=运输速度×运输时间，可得$vt=3000$，变形得函数解析式为：$\boldsymbol{t=\frac{3000}{v}(v＞0)}$。
（2）最快运输速度取最大值$v=500\ \mathrm{t/天}$，代入解析式得：
$t=\frac{3000}{500}=6$（天）
（3）设需要从其他盐场调来$x$名工人。
单人每天的运盐量为$\frac{500}{80}\ \mathrm{t}$，根据题意列方程：
$3×500+2×\frac{500}{80}×(80+x)=3000$
解方程：
$1500+\frac{25}{2}(80+x)=3000$
$\frac{25}{2}(80+x)=1500$
$80+x=120$
$x=40$
【答案】
（1）$t=\frac{3000}{v}(v＞0)$
（2）预计最快可在6天内将盐运完
（3）至少需要从其他盐场调来40名工人
【知识点】
反比例函数应用、一元一次方程应用、实际问题建模
【点评】
本题以盐场运盐的实际场景为背景，分层设置问题，既考查了反比例函数解析式的求解，也考查了一元一次方程在实际问题中的应用，能够有效检验学生提取等量关系、建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
