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已知压强的计算公式是$p=\frac{F}{S}$.我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是
①当压力$F$一定时，压强$p$是关于受力面积$S$的正比例函数
②当压力$F$一定时，压强$p$是关于受力面积$S$的反比例函数
③当压力$F$一定时，压强$p$随受力面积$S$的减小而减小
④当压力$F$一定时，压强$p$随受力面积$S$的减小而增大
②④
.（填序号）①当压力$F$一定时，压强$p$是关于受力面积$S$的正比例函数
②当压力$F$一定时，压强$p$是关于受力面积$S$的反比例函数
③当压力$F$一定时，压强$p$随受力面积$S$的减小而减小
④当压力$F$一定时，压强$p$随受力面积$S$的减小而增大
答案
②④
解析
【分析】
解题时首先明确控制变量：使用刀具时施加的压力F通常是固定的，结合给出的压强公式$p=\frac{F}{S}$，第一步先判断p和S的函数类型：回忆正比例、反比例函数的定义，若两个变量的乘积为非零常数，则为反比例函数；若比值为非零常数，则为正比例函数，据此可判断①②的对错。第二步结合反比例函数的增减性分析p随S的变化规律：当反比例函数的常数k＞0，且自变量取正值时，自变量减小，函数值增大，据此可判断③④的对错，最终选出正确选项。
【解析】
已知压强公式$p=\frac{F}{S}$，当压力F一定时，F为不为0的常数，可得$p· S=F$（定值），符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的形式，因此压强p是关于受力面积S的反比例函数，故①错误，②正确。
由于压力F是正数，受力面积S也为正数，根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在$x＞0$的范围内，y随x的减小而增大，因此当受力面积S减小时，压强p会增大，使得刀具更锋利，故③错误，④正确。
综上，正确的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
反比例函数的定义、反比例函数的性质、函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的刀具锋利现象，考查反比例函数相关知识在实际问题中的应用，需要我们结合给定公式先判断函数类型，再利用函数增减性分析变量的变化规律，体现了数学知识与生活实际的联系。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确控制变量：使用刀具时施加的压力F通常是固定的，结合给出的压强公式$p=\frac{F}{S}$，第一步先判断p和S的函数类型：回忆正比例、反比例函数的定义，若两个变量的乘积为非零常数，则为反比例函数；若比值为非零常数，则为正比例函数，据此可判断①②的对错。第二步结合反比例函数的增减性分析p随S的变化规律：当反比例函数的常数k＞0，且自变量取正值时，自变量减小，函数值增大，据此可判断③④的对错，最终选出正确选项。
【解析】
已知压强公式$p=\frac{F}{S}$，当压力F一定时，F为不为0的常数，可得$p· S=F$（定值），符合反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的形式，因此压强p是关于受力面积S的反比例函数，故①错误，②正确。
由于压力F是正数，受力面积S也为正数，根据反比例函数的性质，当$k＞0$时，在$x＞0$的范围内，y随x的减小而增大，因此当受力面积S减小时，压强p会增大，使得刀具更锋利，故③错误，④正确。
综上，正确的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
反比例函数的定义、反比例函数的性质、函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的刀具锋利现象，考查反比例函数相关知识在实际问题中的应用，需要我们结合给定公式先判断函数类型，再利用函数增减性分析变量的变化规律，体现了数学知识与生活实际的联系。
【难度系数】
0.8
1. 物理课上，同学用自制密度计测量液体的密度. 当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度$h$(单位：$\mathrm{cm}$)与液体的密度$\rho$(单位：$\mathrm{g/cm^3}$)成反比例函数关系，当密度计悬浮在密度为$1\ \mathrm{g/cm^3}$的水中时，$h=20\ \mathrm{cm}$，则$h$关于$\rho$的函数解析式是
$h=\dfrac{20}{\rho}$
.答案
1. $h=\dfrac{20}{\rho}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出h与ρ成反比例函数关系，回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），因此第一步先设出h关于ρ的含未知系数k的反比例函数解析式；第二步将题目给出的已知对应值$\rho=1$、$h=20$代入所设解析式，即可求出未知系数k的值；最后将k代回原解析式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
解：
∵ 浸在液体中的高度$h$与液体的密度$\rho$成反比例函数关系，
∴ 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k$为常数，$k\ne0$，$\rho＞0$）。
将$\rho=1\ \mathrm{g/cm^3}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1}$，
解得$k=20$。
将$k=20$代入所设解析式，可得$h=\frac{20}{\rho}$。
【答案】
$h=\dfrac{20}{\rho}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的实际应用基础题，解题关键是抓住“成反比例函数关系”的条件设出对应解析式，再代入已知数据求待定系数，掌握反比例函数的基本形式即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出h与ρ成反比例函数关系，回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），因此第一步先设出h关于ρ的含未知系数k的反比例函数解析式；第二步将题目给出的已知对应值$\rho=1$、$h=20$代入所设解析式，即可求出未知系数k的值；最后将k代回原解析式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
解：
∵ 浸在液体中的高度$h$与液体的密度$\rho$成反比例函数关系，
∴ 设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k$为常数，$k\ne0$，$\rho＞0$）。
将$\rho=1\ \mathrm{g/cm^3}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1}$，
解得$k=20$。
将$k=20$代入所设解析式，可得$h=\frac{20}{\rho}$。
【答案】
$h=\dfrac{20}{\rho}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数的实际应用基础题，解题关键是抓住“成反比例函数关系”的条件设出对应解析式，再代入已知数据求待定系数，掌握反比例函数的基本形式即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
2. 某蓄水池的排水管道每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，$6\ \mathrm{h}$恰好可将满池水全部排空.
（1）求蓄水池的容积.
（2）如果增加排水管道，使每小时的排水量达到$Q$(单位：$\mathrm{m}^3$)，那么将满池水排空所需时间$t$(单位：$\mathrm{h}$)将如何变化？写出$t$与$Q$之间的函数解析式.
（3）如果计划在$5\ \mathrm{h}$内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？
（1）求蓄水池的容积.
（2）如果增加排水管道，使每小时的排水量达到$Q$(单位：$\mathrm{m}^3$)，那么将满池水排空所需时间$t$(单位：$\mathrm{h}$)将如何变化？写出$t$与$Q$之间的函数解析式.
（3）如果计划在$5\ \mathrm{h}$内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？
答案
2. 解：（1）
∵某蓄水池的排水管道每小时排水8 m³，6 h恰好可将满池水全部排空，
∴蓄水池的容积为8×6=48(m³).
（2）
∵容积V是定值，增加排水管道，会使每小时的排水量Q增大，将满池水排空所需时间t会减小.
∴排水时间t与每小时排水量Q成反比例函数关系，
函数解析式为$t=\dfrac{48}{Q}(Q＞0)$.
（3）当t=5时，$5=\dfrac{48}{Q}$. 解得$Q=\dfrac{48}{5}$.
∵48＞0，
∴当Q＞0时，t随Q的增大而减小.
∴当t≤5时，$Q≥\dfrac{48}{5}$.
∴每小时排水量至少是$\dfrac{48}{5}\ \mathrm{m}^3$.
∵某蓄水池的排水管道每小时排水8 m³，6 h恰好可将满池水全部排空，
∴蓄水池的容积为8×6=48(m³).
（2）
∵容积V是定值，增加排水管道，会使每小时的排水量Q增大，将满池水排空所需时间t会减小.
∴排水时间t与每小时排水量Q成反比例函数关系，
函数解析式为$t=\dfrac{48}{Q}(Q＞0)$.
（3）当t=5时，$5=\dfrac{48}{Q}$. 解得$Q=\dfrac{48}{5}$.
∵48＞0，
∴当Q＞0时，t随Q的增大而减小.
∴当t≤5时，$Q≥\dfrac{48}{5}$.
∴每小时排水量至少是$\dfrac{48}{5}\ \mathrm{m}^3$.
解析
【分析】
（1）第一问求蓄水池容积，已知每小时排水量和排水总时长，根据“总容积=每小时排水量×排水时间”直接计算即可。
（2）第二问中蓄水池总容积为固定值，每小时排水量Q越大，排空需要的时间t就越短，二者满足反比例关系，用总容积作为定值即可写出t关于Q的函数解析式，注意排水量Q必须为正数。
（3）第三问要求5小时内排空，先将t=5代入第二问得到的函数解析式求出对应Q的值，再结合反比例函数“k＞0时，t随Q的增大而减小”的性质，即可得到满足t≤5时Q的最小值。
【解析】
（1）已知排水管道每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，排空满池水需要$6\ \mathrm{h}$，根据总容积=单位时间排水量×排水时间，可得蓄水池的容积为：$8×6=48(\mathrm{m}^3)$。
（2）由于蓄水池总容积固定为$48\ \mathrm{m}^3$，当每小时排水量Q增大时，排空满池水所需的时间t会减小，t与Q成反比例函数关系，由$Q· t=48$，整理可得函数解析式为：$t=\dfrac{48}{Q}(Q＞0)$。
（3）将$t=5$代入$t=\dfrac{48}{Q}$，得$5=\dfrac{48}{Q}$，解得$Q=\dfrac{48}{5}$。因为反比例函数$t=\dfrac{48}{Q}$中$k=48＞0$，当$Q＞0$时，t随Q的增大而减小，所以要使$t≤5$，则$Q≥\dfrac{48}{5}$，即每小时排水量至少为$\dfrac{48}{5}\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
（1）蓄水池的容积为$48\ \mathrm{m}^3$；
（2）排空时间t随Q的增大而减小，$t$与$Q$的函数解析式为$t=\dfrac{48}{Q}(Q＞0)$；
（3）每小时排水量至少是$\dfrac{48}{5}\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，实际问题函数建模
【点评】
本题结合生活中的排水场景考查反比例函数的相关知识，核心是抓住“蓄水池总容积不变”这一不变量建立数学模型，解题时需注意结合反比例函数的增减性分析最值问题，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）第一问求蓄水池容积，已知每小时排水量和排水总时长，根据“总容积=每小时排水量×排水时间”直接计算即可。
（2）第二问中蓄水池总容积为固定值，每小时排水量Q越大，排空需要的时间t就越短，二者满足反比例关系，用总容积作为定值即可写出t关于Q的函数解析式，注意排水量Q必须为正数。
（3）第三问要求5小时内排空，先将t=5代入第二问得到的函数解析式求出对应Q的值，再结合反比例函数“k＞0时，t随Q的增大而减小”的性质，即可得到满足t≤5时Q的最小值。
【解析】
（1）已知排水管道每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，排空满池水需要$6\ \mathrm{h}$，根据总容积=单位时间排水量×排水时间，可得蓄水池的容积为：$8×6=48(\mathrm{m}^3)$。
（2）由于蓄水池总容积固定为$48\ \mathrm{m}^3$，当每小时排水量Q增大时，排空满池水所需的时间t会减小，t与Q成反比例函数关系，由$Q· t=48$，整理可得函数解析式为：$t=\dfrac{48}{Q}(Q＞0)$。
（3）将$t=5$代入$t=\dfrac{48}{Q}$，得$5=\dfrac{48}{Q}$，解得$Q=\dfrac{48}{5}$。因为反比例函数$t=\dfrac{48}{Q}$中$k=48＞0$，当$Q＞0$时，t随Q的增大而减小，所以要使$t≤5$，则$Q≥\dfrac{48}{5}$，即每小时排水量至少为$\dfrac{48}{5}\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
（1）蓄水池的容积为$48\ \mathrm{m}^3$；
（2）排空时间t随Q的增大而减小，$t$与$Q$的函数解析式为$t=\dfrac{48}{Q}(Q＞0)$；
（3）每小时排水量至少是$\dfrac{48}{5}\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，实际问题函数建模
【点评】
本题结合生活中的排水场景考查反比例函数的相关知识，核心是抓住“蓄水池总容积不变”这一不变量建立数学模型，解题时需注意结合反比例函数的增减性分析最值问题，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
