11. 如图29.3-9，在$5×3$的网格中，每个小正方形的边长均为1，$\overset{\frown}{ACB}$经过格点A，B，C.
（1）用无刻度的直尺在圆弧上找一点E使得$∠ ABE=45°$（保留作图痕迹）；
（2）求$\overset{\frown}{BE}$与线段BE围成的封闭图形的面积（结果保留$π$）。

解：(1) 如图所示，点E即为所求。

(2) 如图，连接AC，BC.
∵∠ACB=90°,
∴AB 是$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的直径.
如图，取AB的中点O，连接OE，AE.

∴点O 为$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心.
∵∠ABE=45°,
∴△ABE 是等腰直角三角形.
∴OE⊥AB.
∴∠EOB=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=$\sqrt{13}$.
∴OB=OA=OE=$\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{13}}{2}$.
∴$\overset{\frown}{BE}$与线段BE 围成的封闭图形的面积为
$S_{扇形OBE}-S_{△OBE}=\frac{90π×(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}{360}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{13}{16}π-\frac{13}{8}.$

【分析】
（1）要找到满足$∠ ABE=45°$的点E，首先需要确定$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心：根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦为直径，观察网格可得$∠ ACB=90°$，因此AB是圆的直径，AB的中点O就是圆心。再根据圆周角与圆心角的关系，45°的圆周角对应90°的圆心角，过O作AB的垂线，与$\overset{\frown}{ACB}$的交点即为所求的E点。
（2）$\overset{\frown}{BE}$与线段BE围成的封闭图形是弓形，面积等于扇形OBE的面积减去$△ OBE$的面积。首先用勾股定理求出直径AB的长度，得到圆的半径；再由$∠ ABE=45°$推导得圆心角$∠ EOB=90°$，分别代入扇形面积公式和三角形面积公式计算，作差即可得到结果。
【解析】
(1) 先确定$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心为AB的中点O，过O作AB的垂线，与圆弧的交点即为E，作图痕迹如图所示。
(2) 连接AC，BC：
∵$∠ ACB=90°$，
∴AB是$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的直径。
取AB的中点O，则点O为$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心，连接OE，AE。
∵$∠ ABE=45°$，
∴$△ ABE$是等腰直角三角形，
∴$OE⊥ AB$，即$∠ EOB=90°$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
∴半径$OB=OA=OE=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
则所求封闭图形的面积为：
$S=S_{扇形OBE}-S_{△ OBE}=\frac{90π×(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}{360}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}=\frac{13π}{16}-\frac{13}{8}$。
【答案】
(1) 如图所示，点E即为所求。
(2) $\frac{13}{16}π-\frac{13}{8}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题结合网格背景，综合考查了无刻度直尺作图、圆的基本性质以及不规则图形的面积计算，解题关键是准确确定圆弧所在圆的圆心，熟练掌握弓形面积的求解方法，能较好地锻炼学生的几何作图能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

12. 如图29.3-10，在$\odot O$中，已知弦AC，BD相交于点E，连接AD，AC=BD.
（1）求证$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；
（2）若AC⊥BD，$\odot O$的半径为4，求$\overset{\frown}{CD}$的长.

图29.3-10

（1）. 证明：
∵AC=BD，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
∴$\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$。
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
（2）. 解：如图，连接OA，OB，OC，OD，CD，
∵AC⊥BD，
∴∠CED=90°。
∴∠BDC + ∠ACD = 90°。
∴∠BOC + ∠AOD = 2∠BDC + 2∠ACD = 2×90°=180°。
∴∠AOB + ∠COD = 360°−180°=180°。
由第（1）小题，得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠AOB=∠COD=$\frac{1}{2}×180°=90°$。
又⊙O的半径为4，
∴$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{90×π×4}{180}=2π$。

【分析】
（1）要证明弧相等，可先根据同圆中相等的弦对应相等的弧，由已知AC=BD得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，再将两段弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{BC}$，即可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
（2）求弧长需要知道弧对应的圆心角和圆的半径，本题已知半径为4，因此核心是求$\overset{\frown}{CD}$的圆心角。首先连接OA、OB、OC、OD，利用AC⊥BD得到直角，结合圆周角定理推导出两组圆心角的和，再结合（1）中弧相等的结论得到∠COD的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且AC=BD，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
等式两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，可得：
$\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$，
即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，得证。
（2）解：
如图，连接OA，OB，OC，OD，CD，

∵AC⊥BD，
∴∠CED=90°，
在Rt△CED中，∠BDC + ∠ACD = 90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠BOC=2∠BDC，∠AOD=2∠ACD，
∴∠BOC + ∠AOD = 2(∠BDC + ∠ACD) = 2×90°=180°。
∵周角为360°，
∴∠AOB + ∠COD = 360°−(∠BOC + ∠AOD)= 180°。
由（1）可知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，因此∠AOB=∠COD，
∴∠COD=$\frac{1}{2}×180°=90°$。
已知⊙O半径r=4，代入弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数），可得：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{90×π×4}{180}=2π$。
【答案】
（1）证明如下：
∵AC=BD，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
∴$\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$。
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
（2）$\overset{\frown}{CD}$的长为$2π$，辅助线如图：

【知识点】
弦与弧的关系；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题考查圆的基础性质的综合应用，第一问难度较低，直接利用弦与弧的对应关系即可推导；第二问需要结合垂直条件、圆周角与圆心角的关系求出弧对应的圆心角度数，再计算弧长，要求熟练掌握圆中各元素的转化关系。
【难度系数】
0.65