茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号,建成于2007年4月29日,是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一.设A,B两点分别为茗阳阁底座的两端(其中A,B两点均在地面上).因为A,B两点间的实际距离无法直接测量,某学习小组分别设计出了如下两种方案:甲:如图①,在平地上取一个可以直接到达点A,B的点O,连接AO并延长到点C,连接BO并延长到点D,使CO=AO,DO=BO,连接DC,测出DC的长即可.乙:如图②,先确定直线AB,过点B作BD⊥AB,在点D处用测角仪确定∠1=∠2,射线DC交直线AB于点C,最后测量BC的长即可得线段AB的长.

(1)请用所学知识说明甲、乙两种方案的合理性.
(2)如果让你参与测量,你会选择哪一种方案?请说明理由.

(1)甲方案:
在△ABO和△CDO中,
$\begin{cases}OA=OC,\\∠AOB=∠COD,\\OB=OD,\end{cases}$
∴ △ABO≌△CDO(SAS).
∴ AB=CD.
乙方案:
∵ BD⊥AB,
∴ ∠DBA=∠DBC=90°.
在△DBA和△DBC中,
$\begin{cases}∠DBA=∠DBC,\\DB=DB,\\∠1=∠2,\end{cases}$
∴ △DBA≌△DBC(ASA).
∴ AB=CB.
(2)选择甲方案.理由:甲方案使用工具简单,容易操作.(答案不唯一,合理即可)

【分析】
要说明两个方案合理，本质是证明测量得到的线段长度与AB相等，需利用全等三角形对应边相等的性质推导。对于甲方案，已知两组对应边相等，结合对顶角相等，可通过SAS判定三角形全等；对于乙方案，由垂直得到一组对应角相等，结合已知角相等和公共边，可通过ASA判定三角形全等。第二问可从操作难度、工具要求等角度选择方案并说明理由即可。
【解析】
(1) 甲方案合理性证明：
在$△ ABO$和$△ CDO$中，
$\begin{cases}OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD（对顶角相等）,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CDO(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等，得$AB=CD$，因此测量DC的长即可得到AB的长，方案合理。
乙方案合理性证明：
$\because BD⊥ AB$，
$\therefore ∠ DBA=∠ DBC=90°$（垂直的定义），
在$△ DBA$和$△ DBC$中，
$\begin{cases}∠ DBA=∠ DBC,\\DB=DB（公共边）,\\∠1=∠2,\end{cases}$
$\therefore △ DBA≌△ DBC(\mathrm{ASA})$，
根据全等三角形对应边相等，得$AB=CB$，因此测量BC的长即可得到AB的长，方案合理。
(2) 示例：选择甲方案，甲方案不需要作垂直辅助线，测量步骤更简单，实地操作更方便。（答案不唯一，理由合理即可）
【答案】
(1) 甲方案：
在$△ ABO$和$△ CDO$中，
$\begin{cases}OA=OC,\\∠ AOB=∠ COD,\\OB=OD,\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ CDO(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=CD$，故测出DC的长即为AB的长，方案合理。
乙方案：
$\because BD⊥ AB$，
$\therefore ∠ DBA=∠ DBC=90°$。
在$△ DBA$和$△ DBC$中，
$\begin{cases}∠ DBA=∠ DBC,\\DB=DB,\\∠1=∠2,\end{cases}$
$\therefore △ DBA≌△ DBC(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=CB$，故测出BC的长即为AB的长，方案合理。
(2) 选择甲方案。理由：甲方案使用工具简单，容易操作。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查全等三角形的实际应用，要求学生能将实际问题转化为几何全等证明问题，既考查了全等相关基础知识点，也锻炼了知识应用和实践思考能力。
【难度系数】
0.8