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1. 下列各组中的两个图形中,属于全等形的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
解题首先要明确全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，判断核心是两个图形的形状、大小均完全相同，经过平移、旋转、翻折等变换后可以完全重合。接下来我们逐个分析选项，验证每组的两个图形是否满足上述特征即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：两个三角形内的阴影部分形状、大小均不相同，无法完全重合，不属于全等形；
选项B：左侧圆内部是水平分割线加菱形，右侧是竖直分割线加正方形，分割方式和内部图形均不同，无法完全重合，不属于全等形；
选项C：左侧心形绕中心旋转180°后，可以和右侧心形完全重合，形状、大小都完全相同，属于全等形；
选项D：两个三角形大小明显不同，无法完全重合，不属于全等形。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
全等形的概念
【点评】
本题属于全等形相关的基础题，解题关键是紧扣全等形“形状、大小完全相同，可完全重合”的特征，不要被图形的摆放方向误导，图形经过旋转、翻折后只要能重合，就属于全等形。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，判断核心是两个图形的形状、大小均完全相同，经过平移、旋转、翻折等变换后可以完全重合。接下来我们逐个分析选项，验证每组的两个图形是否满足上述特征即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：两个三角形内的阴影部分形状、大小均不相同，无法完全重合，不属于全等形；
选项B：左侧圆内部是水平分割线加菱形，右侧是竖直分割线加正方形，分割方式和内部图形均不同，无法完全重合，不属于全等形；
选项C：左侧心形绕中心旋转180°后，可以和右侧心形完全重合，形状、大小都完全相同，属于全等形；
选项D：两个三角形大小明显不同，无法完全重合，不属于全等形。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
全等形的概念
【点评】
本题属于全等形相关的基础题，解题关键是紧扣全等形“形状、大小完全相同，可完全重合”的特征，不要被图形的摆放方向误导，图形经过旋转、翻折后只要能重合，就属于全等形。
【难度系数】
0.8
2. 数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务,善思小组想到了以下方案:如图,用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点O固定,只要测得C,D之间的距离,就可知道内径AB的长度.此方案依据的数学定理或基本事实是 (
A.边角边
B.角边角
C.边边边
D.两点之间,线段最短
A
)A.边角边
B.角边角
C.边边边
D.两点之间,线段最短
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先提取题目中的已知条件：O是AD、BC的中点，因此可得OA=OD、OB=OC；AD与BC交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC。要得到AB和CD的等量关系，需证明△AOB和△DOC全等，我们已经得到两组边对应相等，且两边的夹角（对顶角）相等，对应全等三角形的边角边判定定理，即可选出正确答案。
【解析】
已知O是AD、BC的中点，因此：
$OA=OD$，$OB=OC$，
又
∵AD和BC相交于点O，根据对顶角相等，可得：
$∠ AOB=∠ DOC$，
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ DOC$（SAS，即边角边），
根据全等三角形对应边相等，可得$AB=CD$，因此测量CD的长度即可得到AB的长度，依据的是边角边判定定理。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形判定，对顶角性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的判定，解题时只需从实际场景中提取相等的边和角，匹配对应的全等判定定理即可作答，能让学生体会到数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.8
解题时先提取题目中的已知条件：O是AD、BC的中点，因此可得OA=OD、OB=OC；AD与BC交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC。要得到AB和CD的等量关系，需证明△AOB和△DOC全等，我们已经得到两组边对应相等，且两边的夹角（对顶角）相等，对应全等三角形的边角边判定定理，即可选出正确答案。
【解析】
已知O是AD、BC的中点，因此：
$OA=OD$，$OB=OC$，
又
∵AD和BC相交于点O，根据对顶角相等，可得：
$∠ AOB=∠ DOC$，
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ DOC$（SAS，即边角边），
根据全等三角形对应边相等，可得$AB=CD$，因此测量CD的长度即可得到AB的长度，依据的是边角边判定定理。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形判定，对顶角性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的判定，解题时只需从实际场景中提取相等的边和角，匹配对应的全等判定定理即可作答，能让学生体会到数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.8
3. 如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是60 cm,当小明从水平位置CD上升15 cm时,这时小红离地面的高度是 (
A.35 cm
B.40 cm
C.45 cm
D.50 cm
C
)A.35 cm
B.40 cm
C.45 cm
D.50 cm
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件，O是跷跷板中点可得OC=OD，我们可以通过作垂直于水平位置CD的辅助线，构造出两个直角三角形，利用对顶角相等、直角相等以及OC=OD证明两个三角形全等，即可得出小明上升的高度与小红下降的高度相等，再用支点到地面的高度减去小红下降的高度，就能得到小红离地面的高度。
【解析】
解：
∵O是跷跷板的中点，
∴OC=OD。
过点F作FH⊥CD于点H，过点G作GM⊥CD于点M，
则∠FHO=∠GMO=90°，
在△FHO和△GMO中：
$\{\begin{array}{l}∠ FHO=∠ GMO\\ ∠ FOH=∠ GOM(\mathrm{对顶角相等})\\ OC=OD\end{array} $
∴△FHO≌△GMO（AAS），
∴FH=GM。
已知小明从水平位置上升15cm，即FH=15cm，因此GM=15cm。
∵水平位置CD到地面的高度与支点O到地面的高度相等，为60cm，小红位置在CD下方15cm处，
∴小红离地面的高度为：$60-15=45$（cm）。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题结合生活中常见的跷跷板场景考查全等三角形的实际应用，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，明确上下升降高度的关系，将生活问题转化为几何问题求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件，O是跷跷板中点可得OC=OD，我们可以通过作垂直于水平位置CD的辅助线，构造出两个直角三角形，利用对顶角相等、直角相等以及OC=OD证明两个三角形全等，即可得出小明上升的高度与小红下降的高度相等，再用支点到地面的高度减去小红下降的高度，就能得到小红离地面的高度。
【解析】
解：
∵O是跷跷板的中点，
∴OC=OD。
过点F作FH⊥CD于点H，过点G作GM⊥CD于点M，
则∠FHO=∠GMO=90°，
在△FHO和△GMO中：
$\{\begin{array}{l}∠ FHO=∠ GMO\\ ∠ FOH=∠ GOM(\mathrm{对顶角相等})\\ OC=OD\end{array} $
∴△FHO≌△GMO（AAS），
∴FH=GM。
已知小明从水平位置上升15cm，即FH=15cm，因此GM=15cm。
∵水平位置CD到地面的高度与支点O到地面的高度相等，为60cm，小红位置在CD下方15cm处，
∴小红离地面的高度为：$60-15=45$（cm）。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题结合生活中常见的跷跷板场景考查全等三角形的实际应用，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，明确上下升降高度的关系，将生活问题转化为几何问题求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知$AB// CD$，要使$△ ABF ≌ △ DEF$，只需添加一个条件：
AF=DF（答案不唯一）
.（写出一个即可）答案
4.答案不唯一,如AF=DF
解析
【分析】
首先从已知条件$AB// CD$入手，根据平行线的性质可得到两组内错角相等，再结合两个三角形的对顶角相等，可推出$△ ABF$和$△ DEF$已经有三组角对应相等。根据全等三角形的判定定理，AAS、ASA都需要至少一组边对应相等，因此只需补充任意一组对应边相等的条件，即可判定两个三角形全等。
【解析】
$\because AB// CD$
$\therefore ∠ BAF=∠ D$，$∠ ABF=∠ DEF$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ AFB=∠ DFE$（对顶角相等）
此时两个三角形已有三组角对应相等，只需添加一组对应边相等即可判定全等：
若添加$AF=DF$，可根据AAS（两角及其中一角的对边对应相等）判定$△ ABF ≌ △ DEF$；也可添加$AB=DE$（ASA判定）、$BF=EF$（AAS判定）等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AF=DF$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查全等三角形判定的灵活应用，解题时先梳理已知条件得到已有的相等量，再结合判定定理补充缺失的对应边即可，需注意添加的边必须是两个三角形的对应边。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件$AB// CD$入手，根据平行线的性质可得到两组内错角相等，再结合两个三角形的对顶角相等，可推出$△ ABF$和$△ DEF$已经有三组角对应相等。根据全等三角形的判定定理，AAS、ASA都需要至少一组边对应相等，因此只需补充任意一组对应边相等的条件，即可判定两个三角形全等。
【解析】
$\because AB// CD$
$\therefore ∠ BAF=∠ D$，$∠ ABF=∠ DEF$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ AFB=∠ DFE$（对顶角相等）
此时两个三角形已有三组角对应相等，只需添加一组对应边相等即可判定全等：
若添加$AF=DF$，可根据AAS（两角及其中一角的对边对应相等）判定$△ ABF ≌ △ DEF$；也可添加$AB=DE$（ASA判定）、$BF=EF$（AAS判定）等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$AF=DF$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查全等三角形判定的灵活应用，解题时先梳理已知条件得到已有的相等量，再结合判定定理补充缺失的对应边即可，需注意添加的边必须是两个三角形的对应边。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在$△ MPN$中,H是高MQ和NR的交点,且$PM=HN$,若$MH=3$,$PQ=2$,则QN的长为
5
.答案
5.5
解析
【分析】
首先根据高的定义得到多个直角，利用直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等推出∠PMQ=∠HNQ，再结合已知PM=HN，可通过AAS证明△PMQ和△HNQ全等，利用全等三角形对应边相等的性质，得到PQ=HQ、MQ=QN，最后结合已知线段长度计算QN即可。
【解析】
解：
∵MQ、NR是△MPN的高，
∴∠MQP=∠MQN=∠NRP=90°，
∴∠P + ∠PMQ = 90°，∠P + ∠HNQ = 90°，
∴∠PMQ=∠HNQ（同角的余角相等）。
在△PMQ和△HNQ中：
$\{\begin{array}{l}∠MQP=∠HQN=90° \\∠PMQ=∠HNQ \\PM=HN\end{array} $
∴△PMQ≌△HNQ（AAS），
∴PQ=HQ，MQ=QN。
已知MH=3，PQ=2，
∴HQ=2，
∴MQ=MH + HQ=3 + 2=5，
∴QN=MQ=5。
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等；高的定义
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题型，解题核心是结合高的性质推导相等角，进而证明三角形全等，再通过全等的对应边相等转化线段关系求出结果，能很好地考查学生对全等三角形知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据高的定义得到多个直角，利用直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等推出∠PMQ=∠HNQ，再结合已知PM=HN，可通过AAS证明△PMQ和△HNQ全等，利用全等三角形对应边相等的性质，得到PQ=HQ、MQ=QN，最后结合已知线段长度计算QN即可。
【解析】
解：
∵MQ、NR是△MPN的高，
∴∠MQP=∠MQN=∠NRP=90°，
∴∠P + ∠PMQ = 90°，∠P + ∠HNQ = 90°，
∴∠PMQ=∠HNQ（同角的余角相等）。
在△PMQ和△HNQ中：
$\{\begin{array}{l}∠MQP=∠HQN=90° \\∠PMQ=∠HNQ \\PM=HN\end{array} $
∴△PMQ≌△HNQ（AAS），
∴PQ=HQ，MQ=QN。
已知MH=3，PQ=2，
∴HQ=2，
∴MQ=MH + HQ=3 + 2=5，
∴QN=MQ=5。
【答案】
5
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等；高的定义
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题型，解题核心是结合高的性质推导相等角，进而证明三角形全等，再通过全等的对应边相等转化线段关系求出结果，能很好地考查学生对全等三角形知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ CAB=2∠ B$,按如图所示的方式作射线$AM$交$BC$于点$M$,若$S_{△ ABM}=6$,则$S_{△ ABC}=$
9
.答案
6.9
解析
【分析】
解题时首先结合直角三角形两锐角互余的性质，根据∠CAB与∠B的倍数关系求出两个锐角的度数；再根据尺规作图痕迹判断AM是∠CAB的角平分线，推导得到角的等量关系，进而得出CM与BM的长度比；最后利用同高三角形的面积比等于底边长的比，先求出△ACM的面积，再加和得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 求△ABC的锐角度数：
在Rt△ABC中，∠C=90°，因此∠CAB+∠B=90°。
已知∠CAB=2∠B，代入得2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°，∠CAB=60°。
2. 判断AM的性质：
由作图痕迹可知，AM是∠CAB的角平分线，因此∠CAM=∠MAB=½∠CAB=30°。
3. 推导线段比例关系：
因为∠MAB=∠B=30°，所以AM=BM。
在Rt△ACM中，∠CAM=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CM=½AM，因此CM=½BM，即BM:CM=2:1。
4. 计算面积：
△ABM和△ACM以BM、CM为底时，高均为点A到BC的距离（即AC），同高三角形的面积比等于底边长的比，因此$S_{△ ABM}:S_{△ ACM}=BM:CM=2:1$。
已知$S_{△ ABM}=6$，可得$S_{△ ACM}=6÷2=3$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ ACM}=6+3=9$。
【答案】
9
【知识点】
直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了直角三角形的角度计算、角平分线的尺规作图识别以及三角形面积与底边的比例关系，解题的关键是准确判断AM的性质，推导得到边的比例关系，整体解题思路清晰，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合直角三角形两锐角互余的性质，根据∠CAB与∠B的倍数关系求出两个锐角的度数；再根据尺规作图痕迹判断AM是∠CAB的角平分线，推导得到角的等量关系，进而得出CM与BM的长度比；最后利用同高三角形的面积比等于底边长的比，先求出△ACM的面积，再加和得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 求△ABC的锐角度数：
在Rt△ABC中，∠C=90°，因此∠CAB+∠B=90°。
已知∠CAB=2∠B，代入得2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°，∠CAB=60°。
2. 判断AM的性质：
由作图痕迹可知，AM是∠CAB的角平分线，因此∠CAM=∠MAB=½∠CAB=30°。
3. 推导线段比例关系：
因为∠MAB=∠B=30°，所以AM=BM。
在Rt△ACM中，∠CAM=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CM=½AM，因此CM=½BM，即BM:CM=2:1。
4. 计算面积：
△ABM和△ACM以BM、CM为底时，高均为点A到BC的距离（即AC），同高三角形的面积比等于底边长的比，因此$S_{△ ABM}:S_{△ ACM}=BM:CM=2:1$。
已知$S_{△ ABM}=6$，可得$S_{△ ACM}=6÷2=3$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABM}+S_{△ ACM}=6+3=9$。
【答案】
9
【知识点】
直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了直角三角形的角度计算、角平分线的尺规作图识别以及三角形面积与底边的比例关系，解题的关键是准确判断AM的性质，推导得到边的比例关系，整体解题思路清晰，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
7. 如图①,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,且∠B+∠D=180°.
(1)求证$CB=CD$.
(2)如图②,其余条件不变,若$∠ACD=90°$,$AB=CD$,则$∠D=$
(3)如图③,其余条件不变,若$∠BAD=120°$,请判断$AB$,$AD$,$AC$的数量关系,并说明理由.
(1)求证$CB=CD$.
(2)如图②,其余条件不变,若$∠ACD=90°$,$AB=CD$,则$∠D=$
60°
.(3)如图③,其余条件不变,若$∠BAD=120°$,请判断$AB$,$AD$,$AC$的数量关系,并说明理由.
答案
7.(1)如图,过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.
∵ AC平分∠BAD,
∴ CE=CF.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°, ∠CDF + ∠ADC=180°,
∴ ∠B=∠CDF.
∵ ∠CEB=∠CFD=90°,
∴ △CBE≌△CDF(AAS).
∴ CB=CD.
(2)60°
(3)AB+AD=AC.理由如下:
如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD于点F,则∠AEC=∠AFC=90°.
∵ AC平分∠BAD,
∴ CE=CF, ∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}×120°=60°$.
又 AC=AC,
∴ Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
∴ AE=AF.
∵ ∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠EBC=180°,
∴ ∠EBC=∠D.
∵ ∠CEB=∠CFD=90°,
∴ △CBE≌△CDF(AAS).
∴ BE=DF.
∴ AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE.
∵ ∠EAC=60°, ∠CEA=90°,
∴ ∠ACE=30°.
∴ AC=2AE.
∴ AB+AD=AC.
解析
【分析】
(1) 要证CB=CD，可通过证明两边所在三角形全等实现。已知AC是角平分线，根据角平分线性质，过C向AB、AD作垂线可得两条相等的垂线段；再结合∠B+∠D=180°可推出∠B=∠CDF，用AAS证明△CBE≌△CDF即可得证。
(2) 由(1)得CB=CD，结合AB=CD可知AB=CB，即△ABC为等腰三角形；设角平分线分出的角为x，结合直角三角形两锐角互余、三角形内角和为180°列方程，即可求出∠D的度数。
(3) 要推导AB、AD、AC的数量关系，同样过C作角两边的垂线构造全等三角形，先证Rt△ACE≌Rt△ACF得AE=AF，再证△CBE≌△CDF得BE=DF，将AB+AD转化为2AE；最后结合∠BAD=120°，利用含30°角的直角三角形的性质得AC=2AE，即可推出三者关系。
【解析】
(1) 证明：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，∠CDF + ∠ADC=180°，
∴ ∠B=∠CDF。
在△CBE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠CEB=∠CFD=90°\\∠B=∠CDF\\CE=CF\end{array} $
∴ △CBE≌△CDF(AAS)，
∴ CB=CD。
(2) 由(1)知CB=CD，
∵ AB=CD，
∴ AB=CB，即∠BAC=∠BCA，
设∠BAC=∠DAC=x，则∠BCA=x，
∵ ∠ACD=90°，
∴ ∠D=90°-x，
又
∵ ∠B+∠D=180°，
∴ ∠B=90°+x，
在△ABC中，x+x+90°+x=180°，解得x=30°，
∴ ∠D=90°-30°=60°。
(3) 结论：AB+AD=AC，理由如下：
过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD于点F，则∠AEC=∠AFC=90°，
∵ AC平分∠BAD，
∴ CE=CF，∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
在Rt△ACE和Rt△ACF中：
$\{\begin{array}{l}AC=AC\\CE=CF\end{array} $
∴ Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴ AE=AF。
∵ ∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴ ∠EBC=∠D，
在△CBE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠CEB=∠CFD=90°\\∠EBC=∠D\\CE=CF\end{array} $
∴ △CBE≌△CDF(AAS)，
∴ BE=DF。
∴ AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE，
在Rt△ACE中，∠EAC=60°，
∴ ∠ACE=30°，
∴ AC=2AE，
∴ AB+AD=AC。
【答案】
(1) 如图,过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.
∵ AC平分∠BAD,
∴ CE=CF.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°, ∠CDF + ∠ADC=180°,
∴ ∠B=∠CDF.
∵ ∠CEB=∠CFD=90°,
∴ △CBE≌△CDF(AAS).
∴ CB=CD.
(2) $\boldsymbol{60°}$
(3) $AB+AD=AC$.理由如下:
如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD于点F,则∠AEC=∠AFC=90°.
∵ AC平分∠BAD,
∴ CE=CF, ∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}×120°=60°$.
又 AC=AC,
∴ Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
∴ AE=AF.
∵ ∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠EBC=180°,
∴ ∠EBC=∠D.
∵ ∠CEB=∠CFD=90°,
∴ △CBE≌△CDF(AAS).
∴ BE=DF.
∴ AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE.
∵ ∠EAC=60°, ∠CEA=90°,
∴ ∠ACE=30°.
∴ AC=2AE.
∴ AB+AD=AC.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题为几何综合题，核心解题技巧是“遇角平分线作双垂线”构造全等三角形，通过全等实现边角的等量转化，考察了辅助线构造能力和等量代换的数学思想，是角平分线相关证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要证CB=CD，可通过证明两边所在三角形全等实现。已知AC是角平分线，根据角平分线性质，过C向AB、AD作垂线可得两条相等的垂线段；再结合∠B+∠D=180°可推出∠B=∠CDF，用AAS证明△CBE≌△CDF即可得证。
(2) 由(1)得CB=CD，结合AB=CD可知AB=CB，即△ABC为等腰三角形；设角平分线分出的角为x，结合直角三角形两锐角互余、三角形内角和为180°列方程，即可求出∠D的度数。
(3) 要推导AB、AD、AC的数量关系，同样过C作角两边的垂线构造全等三角形，先证Rt△ACE≌Rt△ACF得AE=AF，再证△CBE≌△CDF得BE=DF，将AB+AD转化为2AE；最后结合∠BAD=120°，利用含30°角的直角三角形的性质得AC=2AE，即可推出三者关系。
【解析】
(1) 证明：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，
∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，∠CDF + ∠ADC=180°，
∴ ∠B=∠CDF。
在△CBE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠CEB=∠CFD=90°\\∠B=∠CDF\\CE=CF\end{array} $
∴ △CBE≌△CDF(AAS)，
∴ CB=CD。
(2) 由(1)知CB=CD，
∵ AB=CD，
∴ AB=CB，即∠BAC=∠BCA，
设∠BAC=∠DAC=x，则∠BCA=x，
∵ ∠ACD=90°，
∴ ∠D=90°-x，
又
∵ ∠B+∠D=180°，
∴ ∠B=90°+x，
在△ABC中，x+x+90°+x=180°，解得x=30°，
∴ ∠D=90°-30°=60°。
(3) 结论：AB+AD=AC，理由如下：
过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD于点F，则∠AEC=∠AFC=90°，
∵ AC平分∠BAD，
∴ CE=CF，∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
在Rt△ACE和Rt△ACF中：
$\{\begin{array}{l}AC=AC\\CE=CF\end{array} $
∴ Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴ AE=AF。
∵ ∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴ ∠EBC=∠D，
在△CBE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠CEB=∠CFD=90°\\∠EBC=∠D\\CE=CF\end{array} $
∴ △CBE≌△CDF(AAS)，
∴ BE=DF。
∴ AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE，
在Rt△ACE中，∠EAC=60°，
∴ ∠ACE=30°，
∴ AC=2AE，
∴ AB+AD=AC。
【答案】
(1) 如图,过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.
∵ AC平分∠BAD,
∴ CE=CF.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°, ∠CDF + ∠ADC=180°,
∴ ∠B=∠CDF.
∵ ∠CEB=∠CFD=90°,
∴ △CBE≌△CDF(AAS).
∴ CB=CD.
(2) $\boldsymbol{60°}$
(3) $AB+AD=AC$.理由如下:
如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD于点F,则∠AEC=∠AFC=90°.
∵ AC平分∠BAD,
∴ CE=CF, ∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}×120°=60°$.
又 AC=AC,
∴ Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).
∴ AE=AF.
∵ ∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠EBC=180°,
∴ ∠EBC=∠D.
∵ ∠CEB=∠CFD=90°,
∴ △CBE≌△CDF(AAS).
∴ BE=DF.
∴ AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE.
∵ ∠EAC=60°, ∠CEA=90°,
∴ ∠ACE=30°.
∴ AC=2AE.
∴ AB+AD=AC.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题为几何综合题，核心解题技巧是“遇角平分线作双垂线”构造全等三角形，通过全等实现边角的等量转化，考察了辅助线构造能力和等量代换的数学思想，是角平分线相关证明的典型题型。
【难度系数】
0.6
