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8. 数学活动:探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题,利用角的平分线构造"全等模型"解决问题,事半功倍.
【问题提出】(1)尺规作图:如图①,用直尺和圆规作∠BAC的平分线,说明∠CAD=∠DAB的依据是△AFD≌△AED,这两个三角形全等的判定条件是
【问题探究】(2)①构距离,造全等
如图②,在四边形ABCD中,AB//CD,∠B=90°,∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交于边BC上一点E.过点E作EF⊥AD于点F.若BC=12 cm,则EF=
②巧翻折,造全等
如图③,在△ABC中,AB＜AC,AD是△ABC的角平分线,请说明∠B＞∠C;小明在AC上截取AE = AB.连接DE,则△ABD ≌ △AED(SAS).请继续完成小明的解答.
【问题解决】(3)如图④,在△ABC中,∠A=60°,BE,CF是△ABC的两条角平分线,且BE,CF交于点P.请判断PE与PF之间的数量关系,并说明理由.
【问题提出】(1)尺规作图:如图①,用直尺和圆规作∠BAC的平分线,说明∠CAD=∠DAB的依据是△AFD≌△AED,这两个三角形全等的判定条件是
SSS
.【问题探究】(2)①构距离,造全等
如图②,在四边形ABCD中,AB//CD,∠B=90°,∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交于边BC上一点E.过点E作EF⊥AD于点F.若BC=12 cm,则EF=
6
cm.②巧翻折,造全等
如图③,在△ABC中,AB＜AC,AD是△ABC的角平分线,请说明∠B＞∠C;小明在AC上截取AE = AB.连接DE,则△ABD ≌ △AED(SAS).请继续完成小明的解答.
【问题解决】(3)如图④,在△ABC中,∠A=60°,BE,CF是△ABC的两条角平分线,且BE,CF交于点P.请判断PE与PF之间的数量关系,并说明理由.
答案
8.(1)SSS
(2)①6
②如图,在AC上截取AE=AB,连接DE.
∵ AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BAD=∠EAD.
又 AD=AD,
∴ △ABD≌△AED(SAS).
∴ ∠B=∠AED.
又 ∠AED=∠C+∠CDE,
∴ ∠AED＞∠C.
∴ ∠B＞∠C.
(3)PE=PF.
理由:
∵ ∠A=60°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°.
∵ BE,CF是△ABC的两条角平分线,
∴ ∠CBE+∠BCF=60°.
∴ ∠BPC=180°-∠CBE-∠BCF=120°.
如图,在BC上截取BD=BF,连接PD,则△BFP≌△BDP.
∴ PF=PD,∠BPF=∠BPD.
∵ ∠BPC=120°,
∴ ∠BPF=180°-∠BPC=60°.
∴ ∠BPD=60°.
∴ ∠CPD=120°-∠BPD=60°.
又 ∠CPE=∠BPF=60°,
∴ ∠CPD=∠CPE.
∵ CF是△ABC的角平分线,
∴ ∠DCP=∠ECP.
又 CP=CP,
∴ △CDP≌△CEP(ASA).
∴ PD=PE.
∴ PE=PF.
解析
【分析】
(1) 尺规作∠BAC的平分线时，先以A为圆心画弧得到AF=AE，再分别以E、F为圆心画弧得到FD=ED，AD为两三角形公共边，因此根据三边对应相等即可判定△AFD≌△AED。
(2) ①根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得BE=EF、EC=EF，因此EF是BC的一半，代入BC长度即可求解；②已经构造SAS证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再利用三角形外角大于任意不相邻内角的性质，即可推出∠B＞∠C。
(3) 要证明PE=PF，可通过构造全等三角形转化线段：先根据三角形内角和与角平分线性质求出∠BPC=120°，得到相关角为60°；在BC上截取BD=BF，先证△BFP≌△BDP得到PF=PD，再证△CDP≌△CEP得到PD=PE，即可推出PE=PF。
【解析】
(1) 由尺规作图步骤可知AF=AE，FD=ED，又AD=AD，因此△AFD≌△AED的判定条件为SSS。
(2) ①
∵AB//CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，即EC⊥CD。
∵AE平分∠BAD，EB⊥AB，EF⊥AD，
∴BE=EF；
∵DE平分∠CDA，EC⊥CD，EF⊥AD，
∴EC=EF。
∴BE=EC=EF，又BC=BE+EC=12cm，
∴2EF=12cm，EF=6cm。
②在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD。
又AD=AD，
∴△ABD≌△AED(SAS)。
∴∠B=∠AED。
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CDE，即∠AED＞∠C。
∴∠B＞∠C。
(3) PE=PF，理由如下：
在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠CBE+∠BCF=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°，
∴∠BPF=180°-∠BPC=60°。
在BC上截取BD=BF，连接PD。
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBP=∠DBP，又BP=BP、BF=BD，
∴△BFP≌△BDP(SAS)。
∴PF=PD，∠BPD=∠BPF=60°。
∴∠CPD=120°-60°=60°，又∠CPE=∠BPF=60°（对顶角相等），
∴∠CPD=∠CPE。
∵CF平分∠ACB，
∴∠DCP=∠ECP，又CP=CP，
∴△CDP≌△CEP(ASA)。
∴PD=PE，
∴PE=PF。
【答案】
8.(1)SSS
(2)①6
②如图,在AC上截取AE=AB,连接DE.
∵ AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BAD=∠EAD.
又 AD=AD,
∴ △ABD≌△AED(SAS).
∴ ∠B=∠AED.
又 ∠AED=∠C+∠CDE,
∴ ∠AED＞∠C.
∴ ∠B＞∠C.
(3)PE=PF.
理由:
∵ ∠A=60°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°.
∵ BE,CF是△ABC的两条角平分线,
∴ ∠CBE+∠BCF=60°.
∴ ∠BPC=180°-∠CBE-∠BCF=120°.
如图,在BC上截取BD=BF,连接PD,则△BFP≌△BDP.
∴ PF=PD,∠BPF=∠BPD.
∵ ∠BPC=120°,
∴ ∠BPF=180°-∠BPC=60°.
∴ ∠BPD=60°.
∴ ∠CPD=120°-∠BPD=60°.
又 ∠CPE=∠BPF=60°,
∴ ∠CPD=∠CPE.
∵ CF是△ABC的角平分线,
∴ ∠DCP=∠ECP.
又 CP=CP,
∴ △CDP≌△CEP(ASA).
∴ PD=PE.
∴ PE=PF.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕角平分线的几何应用设置分层问题，从基础的尺规作图原理，到角平分线性质的直接应用，再到构造全等三角形解决角度、线段关系的综合问题，层层递进，重点考查全等三角形的判定方法，以及结合角平分线构造对称全等模型的辅助线思维，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 尺规作∠BAC的平分线时，先以A为圆心画弧得到AF=AE，再分别以E、F为圆心画弧得到FD=ED，AD为两三角形公共边，因此根据三边对应相等即可判定△AFD≌△AED。
(2) ①根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得BE=EF、EC=EF，因此EF是BC的一半，代入BC长度即可求解；②已经构造SAS证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再利用三角形外角大于任意不相邻内角的性质，即可推出∠B＞∠C。
(3) 要证明PE=PF，可通过构造全等三角形转化线段：先根据三角形内角和与角平分线性质求出∠BPC=120°，得到相关角为60°；在BC上截取BD=BF，先证△BFP≌△BDP得到PF=PD，再证△CDP≌△CEP得到PD=PE，即可推出PE=PF。
【解析】
(1) 由尺规作图步骤可知AF=AE，FD=ED，又AD=AD，因此△AFD≌△AED的判定条件为SSS。
(2) ①
∵AB//CD，∠B=90°，
∴∠C=90°，即EC⊥CD。
∵AE平分∠BAD，EB⊥AB，EF⊥AD，
∴BE=EF；
∵DE平分∠CDA，EC⊥CD，EF⊥AD，
∴EC=EF。
∴BE=EC=EF，又BC=BE+EC=12cm，
∴2EF=12cm，EF=6cm。
②在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD。
又AD=AD，
∴△ABD≌△AED(SAS)。
∴∠B=∠AED。
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CDE，即∠AED＞∠C。
∴∠B＞∠C。
(3) PE=PF，理由如下：
在△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠CBE+∠BCF=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°，
∴∠BPF=180°-∠BPC=60°。
在BC上截取BD=BF，连接PD。
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBP=∠DBP，又BP=BP、BF=BD，
∴△BFP≌△BDP(SAS)。
∴PF=PD，∠BPD=∠BPF=60°。
∴∠CPD=120°-60°=60°，又∠CPE=∠BPF=60°（对顶角相等），
∴∠CPD=∠CPE。
∵CF平分∠ACB，
∴∠DCP=∠ECP，又CP=CP，
∴△CDP≌△CEP(ASA)。
∴PD=PE，
∴PE=PF。
【答案】
8.(1)SSS
(2)①6
②如图,在AC上截取AE=AB,连接DE.
∵ AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BAD=∠EAD.
又 AD=AD,
∴ △ABD≌△AED(SAS).
∴ ∠B=∠AED.
又 ∠AED=∠C+∠CDE,
∴ ∠AED＞∠C.
∴ ∠B＞∠C.
(3)PE=PF.
理由:
∵ ∠A=60°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°.
∵ BE,CF是△ABC的两条角平分线,
∴ ∠CBE+∠BCF=60°.
∴ ∠BPC=180°-∠CBE-∠BCF=120°.
如图,在BC上截取BD=BF,连接PD,则△BFP≌△BDP.
∴ PF=PD,∠BPF=∠BPD.
∵ ∠BPC=120°,
∴ ∠BPF=180°-∠BPC=60°.
∴ ∠BPD=60°.
∴ ∠CPD=120°-∠BPD=60°.
又 ∠CPE=∠BPF=60°,
∴ ∠CPD=∠CPE.
∵ CF是△ABC的角平分线,
∴ ∠DCP=∠ECP.
又 CP=CP,
∴ △CDP≌△CEP(ASA).
∴ PD=PE.
∴ PE=PF.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕角平分线的几何应用设置分层问题，从基础的尺规作图原理，到角平分线性质的直接应用，再到构造全等三角形解决角度、线段关系的综合问题，层层递进，重点考查全等三角形的判定方法，以及结合角平分线构造对称全等模型的辅助线思维，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
