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6. 小明发现一个规律:两个共顶点且顶角相等的等腰三角形,底角顶点连起来,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形,小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”.
【材料理解】(1)如图①,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有△ABD≌
【深入研究】(2)如图②,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE相交于点P,请判断线段BD和CE的数量关系与位置关系,并说明理由.
【深化模型】(3)如图③,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,BD=12,CD=7,求AD的长.
【材料理解】(1)如图①,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有△ABD≌
△ACE
;线段BD和CE的数量关系是BD=CE
.【深入研究】(2)如图②,△ABC与△ADE都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE相交于点P,请判断线段BD和CE的数量关系与位置关系,并说明理由.
【深化模型】(3)如图③,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,BD=12,CD=7,求AD的长.
答案
6. (1)△ACE BD=CE
(2)BD=CE,BD⊥CE.理由如下:
∵ ∠BAC=∠DAE=90°,
∴ ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
即∠CAE=∠BAD.
在△ABD 和△ACE 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵ ∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE,
∴ ∠BPC=∠BAC=90°.
∴ BD⊥CE.
(3)如图,作∠DBH = ∠ABC = 60°,BD = BH,连接 DH.
∴ △BDH 是等边三角形.
∴ DH=BD,∠BDH=60°.
∵ ∠BDC=60°,
∴ D,C,H三点共线.
∴ BD=DH=CH+CD.
∵ ∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC,
∴ ∠ABD=∠CBH.
又 AB=BC,BD=BH,
∴ △ABD≌△CBH(SAS).
∴ AD=CH.
∴ AD+CD=BD.
∵ BD=12,CD=7,
∴ AD=BD-CD=5.
解析
【分析】
(1) 本题考查手拉手基础全等推导：已知两个共顶点、顶角相等的等腰三角形，先通过角的和差推导一组夹角相等，结合两组对应边相等，用SAS判定全等，再根据全等性质得对应边相等。
(2) 先延续第一问的思路证全等得到BD与CE的数量关系，再利用全等的对应角相等，结合三角形外角性质推导两条线段的夹角等于等腰三角形的顶角90°，即可得到位置关系。
(3) 先根据已知条件判定△ABC是等边三角形，符合手拉手模型的特征，因此构造共顶点B的等边△BDH，通过SAS证△ABD≌△CBH，将AD转化为CH，再结合三点共线的线段和差关系即可求出AD的长度。
【解析】
(1)
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{cases}$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE。
(2) BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠BAD。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE（三角形外角等于不相邻两个内角和），
∴∠BPC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE。
(3) 如图，作∠DBH = ∠ABC = 60°，BD = BH，连接 DH。
∴△BDH是等边三角形，
∴DH=BD，∠BDH=60°。
∵∠BDC=60°，
∴∠BDH=∠BDC，即D、C、H三点共线，
∴DH=CH+CD，即BD=CH+CD。
∵∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBH。
又AB=BC，BD=BH，
∴△ABD≌△CBH(SAS)，
∴AD=CH。
∴AD+CD=BD，
∵BD=12，CD=7，
∴AD=BD-CD=12-7=5。
【答案】
(1)△ACE BD=CE
(2)BD=CE，BD⊥CE。理由如下:
∵ ∠BAC=∠DAE=90°,
∴ ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
即∠CAE=∠BAD.
在△ABD 和△ACE 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵ ∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE,
∴ ∠BPC=∠BAC=90°.
∴ BD⊥CE.
(3)如图,作∠DBH = ∠ABC = 60°,BD = BH,连接 DH.
∴ △BDH 是等边三角形.
∴ DH=BD,∠BDH=60°.
∵ ∠BDC=60°,
∴ D,C,H三点共线.
∴ BD=DH=CH+CD.
∵ ∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC,
∴ ∠ABD=∠CBH.
又 AB=BC,BD=BH,
∴ △ABD≌△CBH(SAS).
∴ AD=CH.
∴ AD+CD=BD.
∵ BD=12,CD=7,
∴ AD=BD-CD=5.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，手拉手全等模型
【点评】
本题围绕“手拉手”全等模型分层设问，从基础模型识别到拓展构造应用，既考查了全等三角形、等边三角形的基础知识点，也考查了构造辅助线建立几何模型的能力，需要熟练掌握共顶点等角的全等构造思路，提升几何转化思维。
【难度系数】
0.6
(1) 本题考查手拉手基础全等推导：已知两个共顶点、顶角相等的等腰三角形，先通过角的和差推导一组夹角相等，结合两组对应边相等，用SAS判定全等，再根据全等性质得对应边相等。
(2) 先延续第一问的思路证全等得到BD与CE的数量关系，再利用全等的对应角相等，结合三角形外角性质推导两条线段的夹角等于等腰三角形的顶角90°，即可得到位置关系。
(3) 先根据已知条件判定△ABC是等边三角形，符合手拉手模型的特征，因此构造共顶点B的等边△BDH，通过SAS证△ABD≌△CBH，将AD转化为CH，再结合三点共线的线段和差关系即可求出AD的长度。
【解析】
(1)
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\begin{cases}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{cases}$，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE。
(2) BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠BAD。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE（三角形外角等于不相邻两个内角和），
∴∠BPC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE。
(3) 如图，作∠DBH = ∠ABC = 60°，BD = BH，连接 DH。
∴△BDH是等边三角形，
∴DH=BD，∠BDH=60°。
∵∠BDC=60°，
∴∠BDH=∠BDC，即D、C、H三点共线，
∴DH=CH+CD，即BD=CH+CD。
∵∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBH。
又AB=BC，BD=BH，
∴△ABD≌△CBH(SAS)，
∴AD=CH。
∴AD+CD=BD，
∵BD=12，CD=7，
∴AD=BD-CD=12-7=5。
【答案】
(1)△ACE BD=CE
(2)BD=CE，BD⊥CE。理由如下:
∵ ∠BAC=∠DAE=90°,
∴ ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
即∠CAE=∠BAD.
在△ABD 和△ACE 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ BD=CE,∠ABD=∠ACE.
∵ ∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE,
∴ ∠BPC=∠BAC=90°.
∴ BD⊥CE.
(3)如图,作∠DBH = ∠ABC = 60°,BD = BH,连接 DH.
∴ △BDH 是等边三角形.
∴ DH=BD,∠BDH=60°.
∵ ∠BDC=60°,
∴ D,C,H三点共线.
∴ BD=DH=CH+CD.
∵ ∠ABC-∠DBC=∠DBH-∠DBC,
∴ ∠ABD=∠CBH.
又 AB=BC,BD=BH,
∴ △ABD≌△CBH(SAS).
∴ AD=CH.
∴ AD+CD=BD.
∵ BD=12,CD=7,
∴ AD=BD-CD=5.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，手拉手全等模型
【点评】
本题围绕“手拉手”全等模型分层设问，从基础模型识别到拓展构造应用，既考查了全等三角形、等边三角形的基础知识点，也考查了构造辅助线建立几何模型的能力，需要熟练掌握共顶点等角的全等构造思路，提升几何转化思维。
【难度系数】
0.6
