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知识点 完全平方公式
1. 符号语言：
2. 文字语言：两个数的
易错提示
1. 公式混淆. 将完全平方公式与平方差公式混淆，如计算$(a+b)^2$时，错误得出$a^2 - b^2$.
2. 系数和符号错误. 运用完全平方公式计算时，中间项的系数或符号出错. 如计算$(2x-3)^2$，错误得出$4x^2 -6x +9$，正确的结果应为$4x^2 -12x +9$.
3. 公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式，也可以表示多项式.
知识点 完全平方公式
1. 符号语言：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
.2. 文字语言：两个数的
和(或差)
的平方，等于它们的平方和
，加上（或减去）它们的积的2倍
.易错提示
1. 公式混淆. 将完全平方公式与平方差公式混淆，如计算$(a+b)^2$时，错误得出$a^2 - b^2$.
2. 系数和符号错误. 运用完全平方公式计算时，中间项的系数或符号出错. 如计算$(2x-3)^2$，错误得出$4x^2 -6x +9$，正确的结果应为$4x^2 -12x +9$.
3. 公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式，也可以表示多项式.
答案
1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
2. 和(或差) 平方和 积的2倍
2. 和(或差) 平方和 积的2倍
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方公式的核心内容：1.符号语言是用字母表示的公式形式，分为两数和的平方、两数差的平方两种情况；2.文字语言对应公式的字面含义，对照展开式的结构对应填空即可，注意不要和平方差公式混淆，明确完全平方展开后有三项，分别是两个数的平方项和乘积的2倍项。
【解析】
1. 完全平方公式的符号语言分为两种形式：两数和的平方为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，两数差的平方为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
2. 对照公式结构分析：两个数的和（或差）的平方，展开后包含三部分，首先是两个数各自平方相加得到的平方和，再加上或减去两个数乘积的2倍，对应填入空缺处即可。
【答案】
1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
2. 和(或差) 平方和 积的2倍
【知识点】
完全平方公式、整式乘法
【点评】
本题考查完全平方公式的基础概念，属于识记类基础题，需要准确掌握公式的符号表达和文字含义，注意区分完全平方公式与平方差公式，避免出现漏写中间项系数、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆完全平方公式的核心内容：1.符号语言是用字母表示的公式形式，分为两数和的平方、两数差的平方两种情况；2.文字语言对应公式的字面含义，对照展开式的结构对应填空即可，注意不要和平方差公式混淆，明确完全平方展开后有三项，分别是两个数的平方项和乘积的2倍项。
【解析】
1. 完全平方公式的符号语言分为两种形式：两数和的平方为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，两数差的平方为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
2. 对照公式结构分析：两个数的和（或差）的平方，展开后包含三部分，首先是两个数各自平方相加得到的平方和，再加上或减去两个数乘积的2倍，对应填入空缺处即可。
【答案】
1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
2. 和(或差) 平方和 积的2倍
【知识点】
完全平方公式、整式乘法
【点评】
本题考查完全平方公式的基础概念，属于识记类基础题，需要准确掌握公式的符号表达和文字含义，注意区分完全平方公式与平方差公式，避免出现漏写中间项系数、符号错误等常见问题。
【难度系数】
0.9
例 先化简,再求值:$[(x-2y)^2+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)]÷(2x)$,其中$x=1,y=-1$.
解:$[(x-2y)^2+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)]÷(2x)$
$=(x^2-4xy+4y^2+x^2-4y^2-4x^2+2xy)÷(2x)$
$=(-2x^2-2xy)÷(2x)$
$=-x-y.$
当$x=1,y=-1$时,原式$=-1-(-1)=0.$
方法点拨 根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后,将$x,y$的值代入计算即可.
解:$[(x-2y)^2+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)]÷(2x)$
$=(x^2-4xy+4y^2+x^2-4y^2-4x^2+2xy)÷(2x)$
$=(-2x^2-2xy)÷(2x)$
$=-x-y.$
当$x=1,y=-1$时,原式$=-1-(-1)=0.$
方法点拨 根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后,将$x,y$的值代入计算即可.
答案
解：$[(x-2y)^2+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)]÷(2x)$
$=(x^2-4xy+4y^2+x^2-4y^2-4x^2+2xy)÷(2x)$
$=(-2x^2-2xy)÷(2x)$
$=-x-y$
当$x=1,y=-1$时，
原式$=-1-(-1)=0$
$=(x^2-4xy+4y^2+x^2-4y^2-4x^2+2xy)÷(2x)$
$=(-2x^2-2xy)÷(2x)$
$=-x-y$
当$x=1,y=-1$时，
原式$=-1-(-1)=0$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的思路解题：首先按照整式混合运算顺序，先计算中括号内的运算：①用完全平方公式展开$(x-2y)^2$；②将$(x-2y)(2y+x)$变形为$(x-2y)(x+2y)$，用平方差公式计算；③用单项式乘多项式法则计算$2x(2x-y)$，注意去括号时符号的变化。之后将上述三项的展开结果合并同类项，再用多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式，最后代入$x$、$y$的数值计算即可得到结果。
【解析】
$[(x-2y)^2+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)]÷(2x)$
$=(x^2-4xy+4y^2+x^2-4y^2-4x^2+2xy)÷(2x)$
$=(-2x^2-2xy)÷(2x)$
$=-x-y$
当$x=1,y=-1$时，
原式$=-1-(-1)=0$
【答案】
$0$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，熟练掌握乘法公式和整式运算法则是解题的核心，运算过程中要注意去括号、合并同类项的符号问题，避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简，再求值”的思路解题：首先按照整式混合运算顺序，先计算中括号内的运算：①用完全平方公式展开$(x-2y)^2$；②将$(x-2y)(2y+x)$变形为$(x-2y)(x+2y)$，用平方差公式计算；③用单项式乘多项式法则计算$2x(2x-y)$，注意去括号时符号的变化。之后将上述三项的展开结果合并同类项，再用多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式，最后代入$x$、$y$的数值计算即可得到结果。
【解析】
$[(x-2y)^2+(x-2y)(2y+x)-2x(2x-y)]÷(2x)$
$=(x^2-4xy+4y^2+x^2-4y^2-4x^2+2xy)÷(2x)$
$=(-2x^2-2xy)÷(2x)$
$=-x-y$
当$x=1,y=-1$时，
原式$=-1-(-1)=0$
【答案】
$0$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，熟练掌握乘法公式和整式运算法则是解题的核心，运算过程中要注意去括号、合并同类项的符号问题，避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.8
把完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2≥0$适当地变形,可以解决很多数学问题.例如:若$a+b=3,ab=1$,求$a^2+b^2$的值.
解:∵ $a+b=3,ab=1$,
∴ $(a+b)^2=9,2ab=2$.
∴ $a^2+b^2+2ab=9$.
∴ $a^2+b^2=7$.
根据上面的解题思路与方法,解答下列问题:
(1)若$x+y=6,x^2+y^2=20$,求$xy$的值;
(2)若$2m+n=3,mn=1$,求$2m-n$的值;
(3)求代数式$a^2-4a+b^2-6b-15$的最小值,并求出此时$a,b$的值.
解:∵ $a+b=3,ab=1$,
∴ $(a+b)^2=9,2ab=2$.
∴ $a^2+b^2+2ab=9$.
∴ $a^2+b^2=7$.
根据上面的解题思路与方法,解答下列问题:
(1)若$x+y=6,x^2+y^2=20$,求$xy$的值;
(2)若$2m+n=3,mn=1$,求$2m-n$的值;
(3)求代数式$a^2-4a+b^2-6b-15$的最小值,并求出此时$a,b$的值.
答案
(1)
∵ $x+y=6$,
∴ $(x+y)^2=36$,
即 $x^2+2xy+y^2=36$.
又 $x^2+y^2=20$,
∴ $20+2xy=36$.
∴ $xy=8$.
(2)
∵ $2m+n=3,mn=1$,
∴ $(2m-n)^2=(2m+n)^2-8mn=3^2-8=1$.
∴ $2m-n=±1$.
(3)$a^2-4a+b^2-6b-15$
$=(a-2)^2+(b-3)^2-28$.
∵ $(a-2)^2≥0,(b-3)^2≥0$,
∴ 当$(a-2)^2=0,(b-3)^2=0$时,$a^2-4a+b^2-6b-15$取得最小值,最小值为-28.
此时 $a-2=0,b-3=0$,
解得 $a=2,b=3$.
∵ $x+y=6$,
∴ $(x+y)^2=36$,
即 $x^2+2xy+y^2=36$.
又 $x^2+y^2=20$,
∴ $20+2xy=36$.
∴ $xy=8$.
(2)
∵ $2m+n=3,mn=1$,
∴ $(2m-n)^2=(2m+n)^2-8mn=3^2-8=1$.
∴ $2m-n=±1$.
(3)$a^2-4a+b^2-6b-15$
$=(a-2)^2+(b-3)^2-28$.
∵ $(a-2)^2≥0,(b-3)^2≥0$,
∴ 当$(a-2)^2=0,(b-3)^2=0$时,$a^2-4a+b^2-6b-15$取得最小值,最小值为-28.
此时 $a-2=0,b-3=0$,
解得 $a=2,b=3$.
解析
【分析】
本题围绕完全平方公式的变形应用展开，解题思路如下：(1)已知两数和与两数平方和，可先将两数和的完全平方展开，代入已知条件即可求出两数乘积；(2)要求两数差的值，可先计算差的平方，利用“两数差的平方=两数和的平方-4倍两数乘积”的变形关系，代入已知计算后开方即可；(3)求代数式最值时，可通过配方法将含a、含b的项分别配成完全平方形式，再结合平方的非负性确定最小值及对应a、b的取值。
【解析】
(1)
∵ $x+y=6$，
∴ $(x+y)^2=36$，
即 $x^2+2xy+y^2=36$。
又
∵ $x^2+y^2=20$，
∴ $20+2xy=36$，
∴ $xy=8$。
(2)
∵ $2m+n=3,mn=1$，
∴ $(2m-n)^2=(2m+n)^2-8mn=3^2-8×1=1$，
∴ $2m-n=\pm1$。
(3)对代数式配方变形：
$a^2-4a+b^2-6b-15$
$=(a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)-4-9-15$
$=(a-2)^2+(b-3)^2-28$
∵ $(a-2)^2≥0,(b-3)^2≥0$，
∴ 当$(a-2)^2=0$且$(b-3)^2=0$时，代数式取得最小值，
此时最小值为$0+0-28=-28$，
由$a-2=0$解得$a=2$，由$b-3=0$解得$b=3$。
【答案】
(1)$xy=8$；(2)$2m-n=\pm1$；(3)最小值为$-28$，此时$a=2,b=3$
【知识点】
完全平方公式，配方法，代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活变形能力，熟练掌握和的平方、差的平方之间的转换规律是解题基础，配方法是求解二次类代数式最值的常用方法，解题过程体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题围绕完全平方公式的变形应用展开，解题思路如下：(1)已知两数和与两数平方和，可先将两数和的完全平方展开，代入已知条件即可求出两数乘积；(2)要求两数差的值，可先计算差的平方，利用“两数差的平方=两数和的平方-4倍两数乘积”的变形关系，代入已知计算后开方即可；(3)求代数式最值时，可通过配方法将含a、含b的项分别配成完全平方形式，再结合平方的非负性确定最小值及对应a、b的取值。
【解析】
(1)
∵ $x+y=6$，
∴ $(x+y)^2=36$，
即 $x^2+2xy+y^2=36$。
又
∵ $x^2+y^2=20$，
∴ $20+2xy=36$，
∴ $xy=8$。
(2)
∵ $2m+n=3,mn=1$，
∴ $(2m-n)^2=(2m+n)^2-8mn=3^2-8×1=1$，
∴ $2m-n=\pm1$。
(3)对代数式配方变形：
$a^2-4a+b^2-6b-15$
$=(a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)-4-9-15$
$=(a-2)^2+(b-3)^2-28$
∵ $(a-2)^2≥0,(b-3)^2≥0$，
∴ 当$(a-2)^2=0$且$(b-3)^2=0$时，代数式取得最小值，
此时最小值为$0+0-28=-28$，
由$a-2=0$解得$a=2$，由$b-3=0$解得$b=3$。
【答案】
(1)$xy=8$；(2)$2m-n=\pm1$；(3)最小值为$-28$，此时$a=2,b=3$
【知识点】
完全平方公式，配方法，代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活变形能力，熟练掌握和的平方、差的平方之间的转换规律是解题基础，配方法是求解二次类代数式最值的常用方法，解题过程体现了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
