6. 填空：
(1) $(5a+2b)(\_\_\_\_\_\_)=25a^2-4b^2$；
(2) $(\_\_\_\_\_\_)(a-1)=1-a^2$；
(3) $(-a+\dfrac{1}{2}b)(\_\_\_\_\_\_)=\dfrac{1}{4}b^2-a^2$；
(4) $(-3a-2b)(\_\_\_\_\_\_)=9a^2-4b^2$。

(1) $5a-2b$
(2) $-a-1$
(3) $a+\dfrac{1}{2}b$
(4) $-3a+2b$

【分析】
本题可利用平方差公式的逆运算求解。首先回忆平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，其结构特征为：左边是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方。解题时，先将等式右侧的多项式整理为平方差的形式，再对照左侧已知的因式，区分相同项和相反项，即可推出括号内需要填写的式子，过程中要注意符号的变化。
【解析】
(1) 右侧$25a^2-4b^2=(5a)^2-(2b)^2$，对照左侧已知因式$(5a+2b)$，相同项为$5a$，相反项为$2b$，因此括号内应填与$2b$相反的项组成的二项式，即$5a-2b$。
(2) 右侧$1-a^2=(-1)^2-a^2$，对照左侧已知因式$(a-1)=(-1+a)$，相同项为$-1$，相反项为$a$，因此括号内应填与$a$相反的项组成的二项式，即$-1-a=-a-1$。
(3) 右侧$\dfrac{1}{4}b^2-a^2=(\dfrac{1}{2}b)^2-a^2$，对照左侧已知因式$(-a+\dfrac{1}{2}b)=(\dfrac{1}{2}b-a)$，相同项为$\dfrac{1}{2}b$，相反项为$-a$，因此括号内应填与$-a$相反的项组成的二项式，即$\dfrac{1}{2}b+a=a+\dfrac{1}{2}b$。
(4) 右侧$9a^2-4b^2=(-3a)^2-(2b)^2$，对照左侧已知因式$(-3a-2b)$，相同项为$-3a$，相反项为$-2b$，因此括号内应填与$-2b$相反的项组成的二项式，即$-3a+2b$。
【答案】
(1) $5a-2b$
(2) $-a-1$
(3) $a+\dfrac{1}{2}b$
(4) $-3a+2b$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的逆用，熟练掌握平方差公式“相同项平方减相反项平方”的结构特征是解题的核心，解题时要注意识别相同项和相反项，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.85

7. 已知$\begin{cases}x + y = 2, \\ x - y = -3,\end{cases}$则代数式$x^2 - y^2$的值为（ ）

A.1
B.-1
C.-6
D.6

C

【分析】
解题时先观察所求代数式$x^2-y^2$的结构，它符合平方差公式的形式，因此可先利用平方差公式对其因式分解，转化为含已知条件$x+y$和$x-y$的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需先解方程组求$x$、$y$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$
已知$\begin{cases}x + y = 2, \\ x - y = -3,\end{cases}$，将两个式子的值整体代入计算：
原式$=2×(-3)=-6$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，运用整体代入思想计算，避免了解方程组的繁琐，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8

8. 先化简,再求值:$(x+1)(x-1)+x^2(1-x)+x^3$,其中$x=2.$

原式$=2x^2-1$.
当$x=2$时,原式$=7$.

【分析】
拿到整式化简求值类题目，优先化简再代入计算，既能简化运算也能降低出错率。解题思路如下：第一步先处理乘法运算：第一项$(x+1)(x-1)$符合平方差公式的结构特征，可直接用平方差公式展开；第二项$x^2(1-x)$是单项式乘多项式，按照单项式乘多项式法则展开即可；第二步将展开后的各项去括号，再合并同类项得到最简整式；第三步将$x=2$代入最简整式计算最终数值。
【解析】
解：按照整式运算规则逐步化简：
1. 展开各项：
利用平方差公式得$(x+1)(x-1)=x^2-1$，
利用单项式乘多项式法则得$x^2(1-x)=x^2-x^3$，
因此原式可改写为：
$\begin{aligned}原式&=x^2-1 + x^2 - x^3 + x^3\\\end{aligned}$
2. 合并同类项：
$-x^3$与$+x^3$抵消，$x^2+x^2=2x^2$，因此化简结果为：
$原式=2x^2-1$
3. 代入求值：
将$x=2$代入$2x^2-1$得：
$\begin{aligned}原式&=2×2^2 -1\\&=2×4 -1\\&=8-1\\&=7\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$2x^2-1$，当$x=2$时，原式的值为$7$。
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，重点考查平方差公式的应用以及整式加减的运算法则，熟练掌握相关运算规则、准确识别合并同类项是解题的核心，整体运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9

9. 先化简,再求值:$[(xy+2)(xy-2)-2x^2y^2+4]÷(xy)$,其中$x=10,y=-\dfrac{1}{25}$.

原式$=-xy$.
当$x=10,y=-\dfrac{1}{25}$时,原式$=-10×(-\dfrac{1}{25}) =\dfrac{2}{5}$.

【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题时先观察式子结构：中括号内的$(xy+2)(xy-2)$符合平方差公式的特征，可优先用平方差公式展开简化计算，再合并中括号内的同类项，接着做整式除法运算得到最简结果，最后将$x,y$的值代入最简式计算即可，能避免直接代入带来的繁杂运算。
【解析】
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=[(xy)^2-2^2-2x^2y^2+4]÷(xy)\\=&(x^2y^2-4-2x^2y^2+4)÷(xy)\\=&(-x^2y^2)÷(xy)\\=&-xy\end{aligned}$
当$x=10,y=-\dfrac{1}{25}$时，代入得：
$\mathrm{原式}=-10×(-\dfrac{1}{25})=\dfrac{2}{5}$
【答案】
化简结果为$-xy$，求值结果为$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
平方差公式；整式混合运算；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心是灵活运用平方差公式简化运算过程，解题时需注意运算顺序和符号的处理，代入数值计算时要格外注意负号的运算规则。
【难度系数】
0.75

10. 小明在计算 $3×(4+1)×(4^2+1)$ 时，把3写作$(4-1)$后，得
$3×(4+1)×(4^2+1)$
$=(4-1)×(4+1)×(4^2+1)$
$=(4^2-1)×(4^2+1)$
$=16^2 -1.$
阅读上面的材料后，解答以下问题：
（1）$\frac{1}{2}×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{16}}=\_\_\_\_\_\_;$
（2）计算：$(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}.$

(1) 1
(2) 2

【分析】
观察算式可知，连乘部分都是形如$(1+\frac{1}{2^{2^n}})$的因式，和题干材料的运算结构一致，可利用平方差公式简化计算。解题思路为：通过凑出因式$(1-\frac{1}{2})$，构造平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，逐步递推化简连乘项，最后调整补乘的系数保证原式结果不变，再合并剩余项即可。
【解析】
（1）将$\frac{1}{2}$改写为$(1-\frac{1}{2})$，再逐步应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{16}}\\&=(1-\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{16}}\\&=(1-\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{16}}\\&=(1-\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{16}}\\&=1-\frac{1}{2^{16}}+\frac{1}{2^{16}}\\&=1\end{aligned}$
（2）给连乘部分补乘$2×(1-\frac{1}{2})$（乘积为1，不改变原式大小），再逐步应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2×(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{15}}\\&=2-\frac{2}{2^{16}}+\frac{1}{2^{15}}\\&=2-\frac{1}{2^{15}}+\frac{1}{2^{15}}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{1}$；（2）$\boxed{2}$
【知识点】
平方差公式，凑项巧算，整式乘法
【点评】
本题是平方差公式的拓展应用类题目，核心是要观察算式的结构特征，灵活凑项构造平方差公式的运算形式，将复杂的连乘运算逐步简化，避免直接计算的繁琐，能很好地锻炼对公式的灵活运用能力和巧算思维。
【难度系数】
0.6