1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是
（）

A.$(x+y)(x+y)$
B.$(-x+y)(x-y)$
C.$(-x-y)(y-x)$
D.$(x+y)(-x-y)$

C

【分析】
要判断哪个选项可用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的核心特征：两个二项式相乘，其中一组项完全相同，另一组项互为相反数。我们只需逐一分析每个选项的两个因式是否满足该特征，即可选出正确答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其适用条件为：两个相乘的二项式中，存在完全相同的项，另一组项互为相反数。
对各选项逐一分析：
选项A：$(x+y)(x+y)$，两个因式的两项都完全相同，是完全平方公式的适用形式，不符合平方差公式要求，排除；
选项B：$(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)$，两个因式的两项都互为相反数，无相同项，不符合要求，排除；
选项C：$(-x-y)(y-x)=(-x-y)(-x+y)$，其中相同项为$-x$，相反项为$-y$和$y$，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算；
选项D：$(x+y)(-x-y)=-(x+y)(x+y)$，两个因式的两项都互为相反数，无相同项，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式的特征；多项式乘法
【点评】
本题考查对平方差公式结构的辨识能力，解题的关键是抓住平方差公式“一项相同、一项相反”的核心特点，注意和完全平方公式的结构进行区分。
【难度系数】
0.8

2. 填空：
(1)$(x+2)(x-2)=$ ；
(2)$(5x+2y)(5x-2y)=$ ；
(3)$(a+b)(-a+b)=$ ；
(4)$(2a^2 - b)(-2a^2 - b)=$ 。

(1) $x^2-4$
(2) $25x^2-4y^2$
(3) $b^2-a^2$
(4) $b^2-4a^4$

【分析】
这组题目均考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的内容：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。解题时先找到每个式子中两个因式的相同项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$），再代入公式计算，最后化简得到结果即可。
【解析】
(1) 式子$(x+2)(x-2)$中，相同项是$x$，相反项是$+2$和$-2$，代入平方差公式得：
原式$=x^2 - 2^2 = x^2 - 4$
(2) 式子$(5x+2y)(5x-2y)$中，相同项是$5x$，相反项是$+2y$和$-2y$，代入公式得：
原式$=(5x)^2 - (2y)^2 = 25x^2 - 4y^2$
(3) 先调整式子顺序为$(b+a)(b-a)$，相同项是$b$，相反项是$+a$和$-a$，代入公式得：
原式$=b^2 - a^2$
(4) 先调整式子顺序为$(-b+2a^2)(-b-2a^2)$，相同项是$-b$，相反项是$+2a^2$和$-2a^2$，代入公式得：
原式$=(-b)^2 - (2a^2)^2 = b^2 - 4a^4$
【答案】
(1) $x^2-4$
(2) $25x^2-4y^2$
(3) $b^2-a^2$
(4) $b^2-4a^4$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 积的乘方运算 3. 整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确区分两个因式中的相同项和相反项，计算平方时要注意给系数也平方、字母的指数要乘以2，避免出现系数漏乘、指数计算错误的问题。
【难度系数】
0.9

3. 先化简,再求值:$(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)$,其中$x=1,y=2$.

原式$=5x^2-5y^2$.
当$x=1,y=2$时,原式$=-15$.

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路如下：首先观察式子中的两个乘法项，均符合平方差公式“两数和与两数差的乘积，等于两数的平方差”的结构特征，第一步先利用平方差公式分别展开两个乘积项；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；第三步合并同类项得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：首先利用平方差公式展开各项：
第一个乘积项：$(2x-y)(y+2x)=(2x-y)(2x+y)=(2x)^2 - y^2=4x^2 - y^2$
第二个乘积项：$(2y+x)(2y-x)=(2y)^2 - x^2=4y^2 - x^2$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2 - y^2) - (4y^2 - x^2)\\&=4x^2 - y^2 - 4y^2 + x^2\\&=5x^2 - 5y^2\end{aligned}$
将$x=1,y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×1^2 - 5×2^2\\&=5×1 - 5×4\\&=5 - 20\\&=-15\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$5x^2-5y^2$，求值结果为$-15$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题时需注意两点：一是要将式子调整为平方差公式的标准形式再套用公式，二是去括号时要注意符号变化，代入数值计算时要遵循运算顺序，避免运算错误。
【难度系数】
0.7

4. 某同学化简$a(a+2b)-(a+b)(a-b)$出现了错误，其解答过程如下：
原式$=a^2+2ab-(a^2 - b^2)$ （第一步）
$=a^2+2ab -a^2 -b^2$ （第二步）
$=2ab -b^2$ （第三步）
(1)该同学的解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么？
(2)写出此题正确的解答过程。

(1)第二步. 错误原因是去括号时,括号里的第二项没有改变符号.
(2) 原式$=a^2+2ab-(a^2-b^2)$
$=a^2+2ab-a^2+b^2$
$=2ab+b^2$.

【分析】
解决本题可按步骤逐次验证运算的合理性：首先验证第一步，分别依据单项式乘多项式法则、平方差公式展开两项，判断第一步运算是否正确；再验证第二步，根据去括号法则，括号前为负号时，括号内每一项都要变号，即可找到错误步骤及出错原因；最后按照正确的运算规则，先去括号再合并同类项，就能得到正确的化简结果。
【解析】
(1) 逐步骤核对运算：
第一步：根据单项式乘多项式法则，$a(a+2b)=a^2+2ab$，根据平方差公式，$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，因此第一步运算正确；
第二步：对$-(a^2 - b^2)$去括号时，括号前是负号，去括号后括号内两项都要变号，正确结果应为$-a^2 + b^2$，该同学得到的是$-a^2 - b^2$，因此从第二步开始出错，错误原因是去括号时括号里的第二项没有改变符号。
(2) 正确的解答过程：
原式$=a^2+2ab-(a^2 - b^2)$
$=a^2+2ab - a^2 + b^2$
$=2ab + b^2$
【答案】
(1)第二步. 错误原因是去括号时,括号里的第二项没有改变符号.
(2) 原式$=a^2+2ab-(a^2-b^2)$
$=a^2+2ab-a^2+b^2$
$=2ab+b^2$.
【知识点】
平方差公式，去括号法则，整式化简
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查平方差公式和去括号法则的应用，易错点为去括号时符号处理错误，熟练掌握运算规则是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

5. 下列计算中,错误的有 ()
①$(3a+4)(3a-4)=9a^2-4$;②$(2a^2-b)·(2a^2+b)=4a^2-b^2$;③$(3-x)(x+3)=x^2-9$;④$(-x+y)·(x+y)=-(x-y)·(x+y)=-x^2-y^2$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，核心是找准两个因式中符号相同的项（对应公式里的$a$）和符号相反的项（对应公式里的$b$），再逐一验证4个计算式子是否符合公式规则即可。
【解析】
平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，我们逐个判断：
① 式子$(3a+4)(3a-4)$中，相同项是$3a$，相反项是$4$和$-4$，正确结果应为$(3a)^2 - 4^2=9a^2-16$，原式计算错误；
② 式子$(2a^2-b)(2a^2+b)$中，相同项是$2a^2$，相反项是$b$和$-b$，正确结果应为$(2a^2)^2 - b^2=4a^4 - b^2$，原式计算错误；
③ 式子$(3-x)(x+3)$可变形为$(3-x)(3+x)$，相同项是$3$，相反项是$x$和$-x$，正确结果应为$3^2 - x^2=9 - x^2$，原式计算错误；
④ 式子$(-x+y)(x+y)$可变形为$(y-x)(y+x)$，相同项是$y$，相反项是$x$和$-x$，正确结果应为$y^2 - x^2$；或按题中变形$-(x-y)(x+y)=-(x^2 - y^2)=-x^2 + y^2$，原式计算错误。
综上，4个计算全部错误。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题核心是考查平方差公式的结构特征，解题时要准确区分相同项和相反项，计算时注意不要出现系数未平方、指数运算错误、符号出错等常见问题。
【难度系数】
0.6