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1. 计算:(1) $(-3m -4n)^2 =$
$9m^2+24mn+16n^2$
；(2) $(-3a + b)^2 =$ $9a^2-6ab+b^2$
答案
(1)$9m^2+24mn+16n^2$
(2)$9a^2-6ab+b^2$
(2)$9a^2-6ab+b^2$
解析
【分析】
这两道题均考查完全平方公式的应用，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。解题时首先处理式子中的负号，将原式变形为符合完全平方公式的标准形式，确定公式中对应的$a$、$b$，再代入公式展开计算，计算过程中要注意各项的符号和系数不要出错。
【解析】
(1) 先对原式变形：
$(-3m -4n)^2 = [-(3m+4n)]^2$
根据平方的性质，负数的平方为正，因此原式$=(3m+4n)^2$
代入完全平方和公式展开：
$(3m+4n)^2=(3m)^2 + 2×3m×4n + (4n)^2=9m^2+24mn+16n^2$
(2) 直接把$-3a$看作公式中的第一项，$b$看作公式中的第二项，代入完全平方和公式计算：
$(-3a + b)^2=(-3a)^2 + 2×(-3a)× b + b^2=9a^2-6ab+b^2$
【答案】
(1)$9m^2+24mn+16n^2$；(2)$9a^2-6ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是准确确定公式中对应的项，尤其要注意符号的处理，避免出现漏乘中间项、符号计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查完全平方公式的应用，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。解题时首先处理式子中的负号，将原式变形为符合完全平方公式的标准形式，确定公式中对应的$a$、$b$，再代入公式展开计算，计算过程中要注意各项的符号和系数不要出错。
【解析】
(1) 先对原式变形：
$(-3m -4n)^2 = [-(3m+4n)]^2$
根据平方的性质，负数的平方为正，因此原式$=(3m+4n)^2$
代入完全平方和公式展开：
$(3m+4n)^2=(3m)^2 + 2×3m×4n + (4n)^2=9m^2+24mn+16n^2$
(2) 直接把$-3a$看作公式中的第一项，$b$看作公式中的第二项，代入完全平方和公式计算：
$(-3a + b)^2=(-3a)^2 + 2×(-3a)× b + b^2=9a^2-6ab+b^2$
【答案】
(1)$9m^2+24mn+16n^2$；(2)$9a^2-6ab+b^2$
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是准确确定公式中对应的项，尤其要注意符号的处理，避免出现漏乘中间项、符号计算错误的问题。
【难度系数】
0.8
2. 先化简，再求值：$(2x+3y)^2 - (2x+y)(2x-y)$，其中$x=\dfrac{1}{3}, y=-\dfrac{1}{2}$。
答案
原式$=10y^2+12xy$.
当$x=\dfrac{1}{3},y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=\dfrac{1}{2}$.
当$x=\dfrac{1}{3},y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步：第一步先化简整式，需分别运用完全平方公式展开$(2x+3y)^2$，运用平方差公式展开$(2x+y)(2x-y)$，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将$x$、$y$的取值代入最简整式计算结果，先化简再求值能有效降低计算量，减少出错概率。
【解析】
第一步：利用乘法公式展开并化简
$\begin{aligned}原式&=(2x)^2 + 2·2x·3y + (3y)^2 - [(2x)^2 - y^2]\\&=4x^2 + 12xy + 9y^2 - (4x^2 - y^2)\\&=4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + y^2\\&=10y^2+12xy\end{aligned}$
第二步：代入$x=\dfrac{1}{3}, y=-\dfrac{1}{2}$计算
$\begin{aligned}原式&=10×(-\dfrac{1}{2})^2 + 12×\dfrac{1}{3}×(-\dfrac{1}{2})\\&=10×\dfrac{1}{4} + 4×(-\dfrac{1}{2})\\&=\dfrac{5}{2} -2\\&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$10y^2+12xy$，求值结果为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握整式乘法的两个常用公式，计算时要注意去括号时的符号变化，养成先化简再求值的运算习惯能提升解题准确率和效率。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步：第一步先化简整式，需分别运用完全平方公式展开$(2x+3y)^2$，运用平方差公式展开$(2x+y)(2x-y)$，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将$x$、$y$的取值代入最简整式计算结果，先化简再求值能有效降低计算量，减少出错概率。
【解析】
第一步：利用乘法公式展开并化简
$\begin{aligned}原式&=(2x)^2 + 2·2x·3y + (3y)^2 - [(2x)^2 - y^2]\\&=4x^2 + 12xy + 9y^2 - (4x^2 - y^2)\\&=4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + y^2\\&=10y^2+12xy\end{aligned}$
第二步：代入$x=\dfrac{1}{3}, y=-\dfrac{1}{2}$计算
$\begin{aligned}原式&=10×(-\dfrac{1}{2})^2 + 12×\dfrac{1}{3}×(-\dfrac{1}{2})\\&=10×\dfrac{1}{4} + 4×(-\dfrac{1}{2})\\&=\dfrac{5}{2} -2\\&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$10y^2+12xy$，求值结果为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握整式乘法的两个常用公式，计算时要注意去括号时的符号变化，养成先化简再求值的运算习惯能提升解题准确率和效率。
【难度系数】
0.8
3. 如图,某小区规划在边长为$x$ m的正方形场地上,修建两条宽均为2 m的通道,其余部分种草,以下各选项所列式子不是计算通道所占面积的是 (
A.$2x+2x-2^2$
B.$x^2-(x-2)^2$
C.$2(x+x-2)$
D.$x^2-2x-2x+2^2$
D
)A.$2x+2x-2^2$
B.$x^2-(x-2)^2$
C.$2(x+x-2)$
D.$x^2-2x-2x+2^2$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个式子不是通道所占面积，可通过两种思路计算通道面积，再对比选项：①直接计算：两条通道均为长x、宽2的长方形，面积和为2x+2x，但两条通道交叉处的2×2正方形被重复计算了1次，需减去重叠部分面积；②间接计算：用整个正方形场地的面积减去种草区域的面积，种草区域通过平移可拼成边长为(x-2)的正方形，代入计算即可得到通道面积，最后将各选项化简后和正确结果对比即可。
【解析】
我们先推导通道面积的正确表达式：
方法1（直接法）：
竖直通道面积为2x，水平通道面积为2x，两条通道交叉重叠部分是边长为2的正方形，面积为$2^2$，重复计算了1次，因此通道面积为：
$2x + 2x - 2^2 = 4x - 4$
对选项逐一分析：
A选项：$2x+2x-2^2=4x-4$，是通道面积，不符合题意；
C选项：$2(x+x-2)=2(2x-2)=4x-4$，和直接法结果一致，是通道面积，不符合题意；
方法2（间接法）：
整个正方形场地面积为$x^2$，种草区域平移后为边长$(x-2)$的正方形，面积为$(x-2)^2$，因此通道面积为：
$x^2 - (x-2)^2$
展开计算：$x^2 - (x^2 -4x +4)=4x-4$，和直接法结果一致。
B选项：$x^2-(x-2)^2$，是间接法的通道面积表达式，不符合题意；
D选项：$x^2-2x-2x+2^2=x^2-4x+4=(x-2)^2$，是种草区域的面积，不是通道面积，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，列代数式，面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，既可以用直接法减去重复计算的重叠区域，也可以用间接法结合平移思想简化计算，也可通过整式运算化简式子判断是否等价，解题时注意不要忽略交叉重叠部分的面积。
【难度系数】
0.7
要判断哪个式子不是通道所占面积，可通过两种思路计算通道面积，再对比选项：①直接计算：两条通道均为长x、宽2的长方形，面积和为2x+2x，但两条通道交叉处的2×2正方形被重复计算了1次，需减去重叠部分面积；②间接计算：用整个正方形场地的面积减去种草区域的面积，种草区域通过平移可拼成边长为(x-2)的正方形，代入计算即可得到通道面积，最后将各选项化简后和正确结果对比即可。
【解析】
我们先推导通道面积的正确表达式：
方法1（直接法）：
竖直通道面积为2x，水平通道面积为2x，两条通道交叉重叠部分是边长为2的正方形，面积为$2^2$，重复计算了1次，因此通道面积为：
$2x + 2x - 2^2 = 4x - 4$
对选项逐一分析：
A选项：$2x+2x-2^2=4x-4$，是通道面积，不符合题意；
C选项：$2(x+x-2)=2(2x-2)=4x-4$，和直接法结果一致，是通道面积，不符合题意；
方法2（间接法）：
整个正方形场地面积为$x^2$，种草区域平移后为边长$(x-2)$的正方形，面积为$(x-2)^2$，因此通道面积为：
$x^2 - (x-2)^2$
展开计算：$x^2 - (x^2 -4x +4)=4x-4$，和直接法结果一致。
B选项：$x^2-(x-2)^2$，是间接法的通道面积表达式，不符合题意；
D选项：$x^2-2x-2x+2^2=x^2-4x+4=(x-2)^2$，是种草区域的面积，不是通道面积，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，列代数式，面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，既可以用直接法减去重复计算的重叠区域，也可以用间接法结合平移思想简化计算，也可通过整式运算化简式子判断是否等价，解题时注意不要忽略交叉重叠部分的面积。
【难度系数】
0.7
4.若$(3m+2n)^2=(3m-2n)^2+p$，则$p$的值是（
A.$12mn$
B.$24mn$
C.$6mn$
D.$48mn$
B
）A.$12mn$
B.$24mn$
C.$6mn$
D.$48mn$
答案
B
解析
【分析】
本题可通过完全平方公式展开等式两侧的完全平方式，再通过移项、合并同类项求出p的值。解题时首先回忆完全平方公式的两种形式，分别展开左右两边的平方项，再消去相同项即可得到p的表达式，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分别展开等式两侧的完全平方式：
左边：$(3m+2n)^2=(3m)^2+2×3m×2n+(2n)^2=9m^2+12mn+4n^2$
右边：$(3m-2n)^2=(3m)^2-2×3m×2n+(2n)^2=9m^2-12mn+4n^2$
已知$(3m+2n)^2=(3m-2n)^2+p$，移项得：
$p=(3m+2n)^2-(3m-2n)^2$
将展开后的式子代入：
$p=(9m^2+12mn+4n^2)-(9m^2-12mn+4n^2)$
去括号合并同类项：
$p=9m^2+12mn+4n^2-9m^2+12mn-4n^2=24mn$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.完全平方公式
2.整式的加减运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开规则，注意区分和与差的完全平方展开后中间项的符号，避免计算时符号出错。
【难度系数】
0.8
本题可通过完全平方公式展开等式两侧的完全平方式，再通过移项、合并同类项求出p的值。解题时首先回忆完全平方公式的两种形式，分别展开左右两边的平方项，再消去相同项即可得到p的表达式，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分别展开等式两侧的完全平方式：
左边：$(3m+2n)^2=(3m)^2+2×3m×2n+(2n)^2=9m^2+12mn+4n^2$
右边：$(3m-2n)^2=(3m)^2-2×3m×2n+(2n)^2=9m^2-12mn+4n^2$
已知$(3m+2n)^2=(3m-2n)^2+p$，移项得：
$p=(3m+2n)^2-(3m-2n)^2$
将展开后的式子代入：
$p=(9m^2+12mn+4n^2)-(9m^2-12mn+4n^2)$
去括号合并同类项：
$p=9m^2+12mn+4n^2-9m^2+12mn-4n^2=24mn$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.完全平方公式
2.整式的加减运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开规则，注意区分和与差的完全平方展开后中间项的符号，避免计算时符号出错。
【难度系数】
0.8
5. 若$x^2 +4x -4=0$，则$3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)$的值为
6
。答案
6
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和待求式的特点，不需要先求解x的值，先利用完全平方公式、平方差公式将待求的整式展开、合并同类项，化简后将已知的$x^2+4x=4$整体代入计算即可得到结果，该方法比直接求x再代入更简便。
【解析】
解：先化简代数式$3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)$：
1. 利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，平方差公式展开$(x+1)(x-1)$：
原式$=3(x^2 -4x +4) -6(x^2 -1)$
2. 去括号：
$=3x^2 -12x +12 -6x^2 +6$
3. 合并同类项：
$=-3x^2 -12x +18$
4. 变形构造已知条件的形式，提取公因式$-3$：
$=-3(x^2 +4x) +18$
已知$x^2 +4x -4=0$，可得$x^2 +4x=4$，将其代入上式：
原式$=-3×4 +18 = -12 +18 =6$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的应用和整式化简求值的技巧，解题核心是运用整体代入思想，避免求解x的具体值以降低计算量，熟练掌握两类乘法公式的展开规则是正确化简的前提。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件和待求式的特点，不需要先求解x的值，先利用完全平方公式、平方差公式将待求的整式展开、合并同类项，化简后将已知的$x^2+4x=4$整体代入计算即可得到结果，该方法比直接求x再代入更简便。
【解析】
解：先化简代数式$3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)$：
1. 利用完全平方公式展开$(x-2)^2$，平方差公式展开$(x+1)(x-1)$：
原式$=3(x^2 -4x +4) -6(x^2 -1)$
2. 去括号：
$=3x^2 -12x +12 -6x^2 +6$
3. 合并同类项：
$=-3x^2 -12x +18$
4. 变形构造已知条件的形式，提取公因式$-3$：
$=-3(x^2 +4x) +18$
已知$x^2 +4x -4=0$，可得$x^2 +4x=4$，将其代入上式：
原式$=-3×4 +18 = -12 +18 =6$
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的应用和整式化简求值的技巧，解题核心是运用整体代入思想，避免求解x的具体值以降低计算量，熟练掌握两类乘法公式的展开规则是正确化简的前提。
【难度系数】
0.7
6. 如图,根据阴影部分的面积和图中的面积关系得到的数学公式是 (
A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = a^2 + ab$
C
)A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$a(a + b) = a^2 + ab$
答案
C
解析
【分析】
解题时可以从两个角度计算阴影部分的面积，再利用两个面积表达式相等推导公式：第一步先判断阴影部分的形状，确定它的边长，直接用正方形面积公式写出面积；第二步用大正方形的面积减去空白部分的面积，间接得到阴影部分的面积；第三步联立两个面积表达式，化简后即可得到对应的数学公式，匹配选项即可。
【解析】
1. 直接计算阴影面积：观察图形可知阴影部分是正方形，边长为$a-b$，因此阴影面积为$S=(a-b)^2$。
2. 间接计算阴影面积：整个大正方形的边长为$a$，面积为$a^2$；空白部分是两个长为$a$、宽为$b$的长方形，两个长方形重叠区域是边长为$b$的小正方形，因此空白部分总面积为$ab + ab - b^2=2ab - b^2$。因此阴影面积也可表示为：
$S=a^2 - (2ab - b^2)=a^2 - 2ab + b^2$
3. 联立两个面积表达式可得：$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方差公式；面积法验证恒等式；数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形的面积关系推导代数公式，是数形结合思想的典型应用，解题的关键是准确识别图形各部分的边长、面积组成，避免计算空白面积时漏减重叠部分的面积。
【难度系数】
0.7
解题时可以从两个角度计算阴影部分的面积，再利用两个面积表达式相等推导公式：第一步先判断阴影部分的形状，确定它的边长，直接用正方形面积公式写出面积；第二步用大正方形的面积减去空白部分的面积，间接得到阴影部分的面积；第三步联立两个面积表达式，化简后即可得到对应的数学公式，匹配选项即可。
【解析】
1. 直接计算阴影面积：观察图形可知阴影部分是正方形，边长为$a-b$，因此阴影面积为$S=(a-b)^2$。
2. 间接计算阴影面积：整个大正方形的边长为$a$，面积为$a^2$；空白部分是两个长为$a$、宽为$b$的长方形，两个长方形重叠区域是边长为$b$的小正方形，因此空白部分总面积为$ab + ab - b^2=2ab - b^2$。因此阴影面积也可表示为：
$S=a^2 - (2ab - b^2)=a^2 - 2ab + b^2$
3. 联立两个面积表达式可得：$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方差公式；面积法验证恒等式；数形结合思想
【点评】
本题通过几何图形的面积关系推导代数公式，是数形结合思想的典型应用，解题的关键是准确识别图形各部分的边长、面积组成，避免计算空白面积时漏减重叠部分的面积。
【难度系数】
0.7
7. 如果$x^2+6x+m^2$是完全平方式，那么m的值是
3或-3
.答案
3或-3
解析
【分析】
解决这道题首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方式形如$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，由“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”三部分组成。解题思路为：先将给定式子和完全平方式的结构对应，确定首项对应的量，再根据中间项求出尾项的数值，最后结合常数项是$m^2$的特征求m的取值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：根据完全平方公式$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$，
已知$x^2+6x+m^2$是完全平方式，对比公式可得中间项$2ax=6x$，解得$a=3$，
因此完全平方式的常数项应为$a^2=3^2=9$，即$m^2=9$，
对$m^2=9$开平方得$m=\pm3$。
【答案】
3或-3
【知识点】
1.完全平方公式 2.平方根的性质
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构识别，解题时需注意完全平方式的常数项是平方项，对应的底数存在正负两种可能，避免仅写正数导致漏解。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确完全平方式的结构特征：完全平方式形如$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，由“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”三部分组成。解题思路为：先将给定式子和完全平方式的结构对应，确定首项对应的量，再根据中间项求出尾项的数值，最后结合常数项是$m^2$的特征求m的取值，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：根据完全平方公式$(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$，
已知$x^2+6x+m^2$是完全平方式，对比公式可得中间项$2ax=6x$，解得$a=3$，
因此完全平方式的常数项应为$a^2=3^2=9$，即$m^2=9$，
对$m^2=9$开平方得$m=\pm3$。
【答案】
3或-3
【知识点】
1.完全平方公式 2.平方根的性质
【点评】
本题主要考查完全平方式的结构识别，解题时需注意完全平方式的常数项是平方项，对应的底数存在正负两种可能，避免仅写正数导致漏解。
【难度系数】
0.7
