你知道古诗词中的这些小数据吗？
凉州词
唐·王之涣
黄河远上白云间，一片孤城万仞山。
羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关。
数学问题：
1.黄河是中国第二长河，发源于青藏高原巴颜喀拉山北麓的约古宗列盆地，自西向东分别流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、陕西、山西、河南及山东9个省（自治区），最后流入渤海。它全长约5 464 km，约为 m（请用科学记数法表示）。

$5.464×10^6$

【分析】
解题首先要明确千米和米的单位换算进率，1km=1000m，先将长度单位从千米换算为米，再根据科学记数法的表示规则（形式为$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为整数）把换算后的大数写成科学记数法的形式即可。具体思路：第一步做单位换算，用5464乘进率1000得到以米为单位的数；第二步确定$a$的值，保证$a$在1到10之间；第三步数出原数小数点向左移动的位数得到$n$的值，最终写出结果。
【解析】
1. 单位换算：因为$1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}=10^3\mathrm{m}$，所以$5464\mathrm{km}=5464×10^3\mathrm{m}=5464000\mathrm{m}$。
2. 转换为科学记数法：科学记数法要求写成$a×10^n$的形式，其中$1≤a＜10$，$n$为整数。把5464000的小数点向左移动6位可得到$5.464$，满足$1≤5.464＜10$，因此$n=6$，即$5464000\mathrm{m}=5.464×10^6\mathrm{m}$。
【答案】
$5.464×10^6$
【知识点】
长度单位换算、科学记数法
【点评】
本题结合古诗词文化背景设置问题，考查基础的单位换算和科学记数法的应用，属于基础题型，解题时牢记单位进率，严格遵循科学记数法的书写规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.85

2. (1)黄河水和白云都是由水分子构成的,已知一个水分子的直径约为0.000 000 4 mm,则数据0.000 000 4可以用科学记数法表示为 ()
A. $0.4×10^{-7}$
B. $4×10^{-6}$
C. $4×10^{-7}$
D. $0.4×10^{-6}$
(2)仞是古代的一种长度单位,已知1仞≈1.85 m,则1仞≈ km.(用科学记数法表示)
(3)据测定,柳絮纤维的直径约为0.000 010 5 m,将数据0.000 010 5用科学记数法表示为$a×10^n$的形式,则$a=$,$n=$.

2. (1)C
(2)$1.85×10^{-3}$
(3)1.05 -5

【分析】
解题前先明确小于1的正数用科学记数法的规则：表示形式为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤a＜10$，$n$为正整数，$n$的取值等于原数左起第一个非零数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）。逐问解题思路如下：
(1) 先定位0.0000004左起第一个非零数字是4，数出它前面的0的总个数，即可确定$a$和指数，匹配选项即可；
(2) 先明确长度单位进率：$1km=1000m$，即$1m=10^{-3}km$，代入数值直接换算为科学记数法形式即可；
(3) 把0.0000105的小数点向右移动，直到得到的数在1~10之间，移动的位数就是$n$的绝对值，因为原数小于1，所以指数为负。
【解析】
(1) 对于0.0000004，左起第一个非零数字4前面共有7个0，满足$1≤a＜10$的$a=4$，指数为-7，因此$0.0000004=4×10^{-7}$，故选C。
(2) 由长度单位进率可知$1m=10^{-3}km$，因此$1.85m=1.85×10^{-3}km$。
(3) 将0.0000105的小数点向右移动5位可得1.05，符合$1≤a＜10$的要求，因此$a=1.05$，原数小于1，指数$n=-5$。
【答案】
(1)C
(2)$1.85×10^{-3}$
(3)1.05；-5
【知识点】
1. 科学记数法表示较小数
2. 长度单位换算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查科学记数法表示小于1的正数的规则，解题关键是牢记$a$的取值范围和指数$n$的确定方法，单位换算类问题要注意进率的准确性。
【难度系数】
0.8

1. 用科学记数法表示下列各数：
(1)$0.000\ 025\ 7=$；
(2)$0.000\ 000\ 23=$；
(3)$0.001\ 02=$.

1. (1)$2.57×10^{-5}$
(2)$2.3×10^{-7}$
(3)$1.02×10^{-3}$

【分析】
我们在用科学记数法表示小于1的正数时，首先要记住固定格式为$a×10^{-n}$，其中有两个核心要求：①$1≤ a＜10$；②$n$是正整数，取值等于原数左边起第一个不为零的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）。解题时先移动原数的小数点，得到符合范围的$a$，移动的位数就是$n$的数值，最后写成规定形式即可。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$（$1≤ a＜10$，$n$为正整数）：
(1) 对于$0.0000257$，将小数点向右移动5位得到$a=2.57$，对应$n=5$，因此结果为$2.57×10^{-5}$；
(2) 对于$0.00000023$，将小数点向右移动7位得到$a=2.3$，对应$n=7$，因此结果为$2.3×10^{-7}$；
(3) 对于$0.00102$，将小数点向右移动3位得到$a=1.02$，对应$n=3$，因此结果为$1.02×10^{-3}$。
【答案】
(1)$2.57×10^{-5}$；(2)$2.3×10^{-7}$；(3)$1.02×10^{-3}$
【知识点】
科学记数法、小于1的正数表示
【点评】
本题属于基础题型，核心考查绝对值小于1的数的科学记数法表示规则，解题关键是准确确定$a$的取值和负指数的数值，做题时注意数清第一个非零数字前的0的个数，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85

2. 把下列科学记数法表示的数还原：
(1) $7.2× 10^{-5} =$ ;
(2) $6.18× 10^{-2} =$ ;
(3) $-1.5× 10^{-4} =$ .

2. (1)0.000 072
(2)0.061 8
(3)-0.000 15

【分析】
要将负指数形式的科学记数法还原为原数，首先明确规则：对于$a×10^{-n}$（$1≤|a|＜10$，$n$为正整数），只需把$a$的小数点向左移动$n$位，位数不够时用0补足，原数的符号保持不变。解题时先确定每个式子中10的指数的绝对值，即小数点需要左移的位数，再按规则操作即可。
【解析】
(1) 对于$7.2× 10^{-5}$，10的指数绝对值为5，把7.2的小数点向左移动5位，不足的位数补0，得到$0.000072$；
(2) 对于$6.18× 10^{-2}$，10的指数绝对值为2，把6.18的小数点向左移动2位，不足的位数补0，得到$0.0618$；
(3) 对于$-1.5× 10^{-4}$，10的指数绝对值为4，先把1.5的小数点向左移动4位补0得到$0.00015$，再保留原负号，得到$-0.00015$。
【答案】
(1)$0.000072$；(2)$0.0618$；(3)$-0.00015$
【知识点】
科学记数法还原；负整数指数幂；小数点移动规则
【点评】
本题属于科学记数法的基础考查题，核心是掌握负指数科学记数法的还原规则，解题时注意数清小数点移动的位数，避免算错0的个数即可。
【难度系数】
0.9

3. 实验测得,某种病毒的直径是120 nm(1 nm = $10^{-9}$ m),120 nm 用科学记数法可表示为 ()

A.$12×10^{-6}$ m
B.$1.2×10^{-7}$ m
C.$1.2×10^{-8}$ m
D.$120×10^{-9}$ m

3. B

【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心要求：一是要完成纳米到米的单位换算，二是要把结果写成符合规范的科学记数法形式。科学记数法表示数的标准形式为$a×10^n$，其中必须满足$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时先换算单位得到以米为单位的数，再调整系数$a$到规定范围，同时对应调整10的指数即可。
【解析】
第一步：进行单位换算
已知$1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}$，因此$120\ \mathrm{nm}=120×10^{-9}\ \mathrm{m}$。
第二步：转化为科学记数法标准形式
科学记数法要求$1≤a＜10$，因此将120改写为$1.2×10^2$，代入得：
$\begin{aligned}120×10^{-9}\ \mathrm{m}&=1.2×10^2×10^{-9}\ \mathrm{m}\\&=1.2×10^{2-9}\ \mathrm{m}\\&=1.2×10^{-7}\ \mathrm{m}\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 科学记数法
2. 长度单位换算
【点评】
本题属于基础考查题，重点考察科学记数法表示较小数的规则，解题时只要牢记科学记数法中$a$的取值范围，正确计算指数即可得分。
【难度系数】
0.8

4. 计算:(1)$(3×10^{-5})×(4.2×10^{-3})$；
(2)$(3×10^{-5})^{3}×(4×10^{4})^{2}÷(6×10^{-2})^{2}$。

4. (1)$1.26×10^{-7}$
(2)$1.2×10^{-2}$

【分析】
解决这类科学记数法的运算问题，核心思路是将系数和10的幂部分分开计算，再合并结果，最后调整为标准科学记数法形式（即$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数）：
1. 纯乘法运算：先将系数相乘，再按同底数幂乘法法则计算10的幂部分，最后合并调整格式即可；
2. 含乘方的混合运算：先按积的乘方、幂的乘方法则计算所有乘方项，再按从左到右的顺序计算乘除，同样分开处理系数和幂的运算，最后调整为标准科学记数法形式。
【解析】
(1) 计算$(3×10^{-5})×(4.2×10^{-3})$
$\begin{aligned}原式&=(3×4.2)×(10^{-5}×10^{-3})\\&=12.6×10^{-5+(-3)}\\&=12.6×10^{-8}\\&=1.26×10^{-7}\end{aligned}$
(2) 计算$(3×10^{-5})^{3}×(4×10^{4})^{2}÷(6×10^{-2})^{2}$
先计算各乘方项：
$\begin{aligned}(3×10^{-5})^3&=3^3×(10^{-5})^3=27×10^{-15}\\(4×10^4)^2&=4^2×(10^4)^2=16×10^8\\(6×10^{-2})^2&=6^2×(10^{-2})^2=36×10^{-4}\end{aligned}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(27×10^{-15})×(16×10^8)÷(36×10^{-4})\\&=(27×16÷36)×(10^{-15}×10^8÷10^{-4})\\&=12×10^{-15+8+4}\\&=12×10^{-3}\\&=1.2×10^{-2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$1.26×10^{-7}$；(2)$1.2×10^{-2}$
【知识点】
科学记数法运算；同底数幂乘除；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是科学记数法的常规运算题，解题关键是掌握系数与幂分开计算的方法，运算时要注意指数的加减符号，最后结果必须调整为符合规范的科学记数法形式，避免出现系数大于等于10的错误。
【难度系数】
0.7