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1. 已知实数$a$是一元二次方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的一个根，求代数式$a^2 - 2025a - \frac{a^2 + 1}{2026}$的值.
答案
1. 依题意，$a^2-2026a+1=0$，$\therefore a^2+1=2026a$，$\therefore$ 原式$=a^2-2025a-\dfrac{2026a}{2026}=a^2-2025a-a=a^2-2026a=-1$.
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入方程可得到关于a的等式，再观察所求代数式的结构，发现式中$a^2$、$a^2+1$均可通过所得等式变形后整体替换，无需直接求解a的值，通过降次化简即可快速算出结果，能有效简化运算。
【解析】
解：
∵实数a是一元二次方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的一个根，
∴把$x=a$代入方程得：$a^2 - 2026a + 1 = 0$，
∴$a^2 + 1 = 2026a$，$a^2 - 2026a = -1$，
将$a^2 + 1 = 2026a$代入待求代数式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 2025a - \frac{2026a}{2026}\\&=a^2 - 2025a - a\\&=a^2 - 2026a\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的定义的应用，通过整体代入的方法实现代数式降次，规避了直接求解一元二次方程的复杂运算，是代数式求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根a代入方程可得到关于a的等式，再观察所求代数式的结构，发现式中$a^2$、$a^2+1$均可通过所得等式变形后整体替换，无需直接求解a的值，通过降次化简即可快速算出结果，能有效简化运算。
【解析】
解：
∵实数a是一元二次方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的一个根，
∴把$x=a$代入方程得：$a^2 - 2026a + 1 = 0$，
∴$a^2 + 1 = 2026a$，$a^2 - 2026a = -1$，
将$a^2 + 1 = 2026a$代入待求代数式：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - 2025a - \frac{2026a}{2026}\\&=a^2 - 2025a - a\\&=a^2 - 2026a\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题核心考查一元二次方程根的定义的应用，通过整体代入的方法实现代数式降次，规避了直接求解一元二次方程的复杂运算，是代数式求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。
(1)若$a+c=-b$，求证：$x=1$必是该方程的一个根。
(2)当$a$，$b$，$c$之间满足什么关系时，该方程必有一个根是$x=-1$。
(1)若$a+c=-b$，求证：$x=1$必是该方程的一个根。
(2)当$a$，$b$，$c$之间满足什么关系时，该方程必有一个根是$x=-1$。
答案
2. (1)$\because a+c=-b$，$\therefore a+b+c=0$. 当$x=1$时，$ax^2+bx+c=a+b+c=0$，$\therefore x=1$必是该方程的一个根.
(2)当$x=-1$时，$ax^2+bx+c=a-b+c=0$，$\therefore$ 当$a-b+c=0$时，该方程必有一个根是$x=-1$.
(2)当$x=-1$时，$ax^2+bx+c=a-b+c=0$，$\therefore$ 当$a-b+c=0$时，该方程必有一个根是$x=-1$.
解析
【分析】
解题核心依据是一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。
(1) 要证明x=1是方程的根，只需将x=1代入方程左边，结合已知条件a+c=-b，验证左边计算结果等于右侧的0即可。
(2) 若方程有一个根是x=-1，将x=-1代入原方程，令左边等于0，整理即可得到a、b、c之间的关系。
【解析】
(1) 由已知$a+c=-b$，移项可得$a+b+c=0$。
把$x=1$代入方程左边$ax^2+bx+c$得：
$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c = 0$，与方程右边相等，因此$x=1$是该方程的一个根。
(2) 若$x=-1$是方程的根，将$x=-1$代入原方程$ax^2+bx+c=0$，得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$，
整理得$a - b + c = 0$，即当该式成立时，方程必有一个根是$x=-1$。
【答案】
(1)$\because a+c=-b$，$\therefore a+b+c=0$. 当$x=1$时，$ax^2+bx+c=a+b+c=0$，$\therefore x=1$必是该方程的一个根.
(2)当$a-b+c=0$时，该方程必有一个根是$x=-1$.
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于根的定义的基础应用题型，解题思路直接，核心方法是将目标根代入原方程推导对应结论，计算量小，掌握根的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题核心依据是一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。
(1) 要证明x=1是方程的根，只需将x=1代入方程左边，结合已知条件a+c=-b，验证左边计算结果等于右侧的0即可。
(2) 若方程有一个根是x=-1，将x=-1代入原方程，令左边等于0，整理即可得到a、b、c之间的关系。
【解析】
(1) 由已知$a+c=-b$，移项可得$a+b+c=0$。
把$x=1$代入方程左边$ax^2+bx+c$得：
$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c = 0$，与方程右边相等，因此$x=1$是该方程的一个根。
(2) 若$x=-1$是方程的根，将$x=-1$代入原方程$ax^2+bx+c=0$，得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$，
整理得$a - b + c = 0$，即当该式成立时，方程必有一个根是$x=-1$。
【答案】
(1)$\because a+c=-b$，$\therefore a+b+c=0$. 当$x=1$时，$ax^2+bx+c=a+b+c=0$，$\therefore x=1$必是该方程的一个根.
(2)当$a-b+c=0$时，该方程必有一个根是$x=-1$.
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式代入求值
【点评】
本题属于根的定义的基础应用题型，解题思路直接，核心方法是将目标根代入原方程推导对应结论，计算量小，掌握根的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.85
