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6. 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)$x^2 -5=4x$;
(2)$4t^2=13-2t$;
(3)$y=6y^2$.
(1)$x^2 -5=4x$;
(2)$4t^2=13-2t$;
(3)$y=6y^2$.
答案
6. (1)$x^2-4x-5=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为1，$-4$，$-5$.
(2)$4t^2+2t-13=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为4，2，$-13$.
(3)$6y^2-y=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为6，$-1$，0.（注：本题若化为一般形式后，二次项系数为负的情况，只要对应三个系数正确即可.）
(2)$4t^2+2t-13=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为4，2，$-13$.
(3)$6y^2-y=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为6，$-1$，0.（注：本题若化为一般形式后，二次项系数为负的情况，只要对应三个系数正确即可.）
解析
【分析】
首先要牢记一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤如下：第一步将方程中所有项都移到等号的左侧，让等号右侧等于0；第二步将左侧的项按照未知数的次数从高到低排列，得到一般形式；第三步对照一般形式，分别找出二次项、一次项、常数项对应的系数，注意系数要包含前面的正负号，如果没有常数项则常数项为0。
【解析】
(1) 对$x^2 -5=4x$进行移项，把$4x$移到等号左侧，整理得$x^2-4x-5=0$：其中二次项为$x^2$，系数为1；一次项为$-4x$，系数为$-4$；常数项为$-5$。
(2) 对$4t^2=13-2t$进行移项，把$13$和$-2t$移到等号左侧，整理得$4t^2+2t-13=0$：其中二次项为$4t^2$，系数为4；一次项为$2t$，系数为2；常数项为$-13$。
(3) 对$y=6y^2$进行移项，把$y$移到等号右侧，整理得$6y^2-y=0$：其中二次项为$6y^2$，系数为6；一次项为$-y$，系数为$-1$；无单独常数项，故常数项为0。
【答案】
(1)$x^2-4x-5=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为1，$-4$，$-5$.
(2)$4t^2+2t-13=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为4，2，$-13$.
(3)$6y^2-y=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为6，$-1$，0.
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简与各项系数的确定，解题时要注意移项需变号，确定系数时要连同项前面的符号一起判断，不要遗漏常数项为0的特殊情况。
【难度系数】
0.8
首先要牢记一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题步骤如下：第一步将方程中所有项都移到等号的左侧，让等号右侧等于0；第二步将左侧的项按照未知数的次数从高到低排列，得到一般形式；第三步对照一般形式，分别找出二次项、一次项、常数项对应的系数，注意系数要包含前面的正负号，如果没有常数项则常数项为0。
【解析】
(1) 对$x^2 -5=4x$进行移项，把$4x$移到等号左侧，整理得$x^2-4x-5=0$：其中二次项为$x^2$，系数为1；一次项为$-4x$，系数为$-4$；常数项为$-5$。
(2) 对$4t^2=13-2t$进行移项，把$13$和$-2t$移到等号左侧，整理得$4t^2+2t-13=0$：其中二次项为$4t^2$，系数为4；一次项为$2t$，系数为2；常数项为$-13$。
(3) 对$y=6y^2$进行移项，把$y$移到等号右侧，整理得$6y^2-y=0$：其中二次项为$6y^2$，系数为6；一次项为$-y$，系数为$-1$；无单独常数项，故常数项为0。
【答案】
(1)$x^2-4x-5=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为1，$-4$，$-5$.
(2)$4t^2+2t-13=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为4，2，$-13$.
(3)$6y^2-y=0$，其中二次项系数、一次项系数及常数项分别为6，$-1$，0.
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简与各项系数的确定，解题时要注意移项需变号，确定系数时要连同项前面的符号一起判断，不要遗漏常数项为0的特殊情况。
【难度系数】
0.8
1. 某潮玩店以每个30元的成本价进购了哪吒创意园生产的某种玩具盲盒，
并以每个60元的价格售出，每日可售出80个. 调查发现，该盲盒的售价每降低
2元，每日可多售出10个. 若潮玩店希望单日利润达到2600元，则需将售价降
低多少元？设降价x元，则可列方程为(
A.$(60-x)(80+\dfrac{x}{2}×10)=2600$
B.$(60-x-30)(80+\dfrac{x}{2}×10)=2600$
C.$(60-x-30)(80+10x)=2600$
D.$(60-2x-30)(80+10x)=2600$
并以每个60元的价格售出，每日可售出80个. 调查发现，该盲盒的售价每降低
2元，每日可多售出10个. 若潮玩店希望单日利润达到2600元，则需将售价降
低多少元？设降价x元，则可列方程为(
B
).A.$(60-x)(80+\dfrac{x}{2}×10)=2600$
B.$(60-x-30)(80+\dfrac{x}{2}×10)=2600$
C.$(60-x-30)(80+10x)=2600$
D.$(60-2x-30)(80+10x)=2600$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这类销售利润列方程的问题，核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售总量”这一等量关系。我们可以分两步推导：第一步先计算降价后单个盲盒的利润，第二步计算降价后的总销售量，最后将两者相乘等于目标总利润2600元即可得到方程。首先，单个利润=实际售价-成本价，原售价60元，降价x元后实际售价为(60-x)元，成本30元，所以单个利润就是(60-x-30)元。然后看销售量，原销量是80个，每降价2元多卖10个，那么降价x元时，一共包含了$\frac{x}{2}$个2元的降价单位，对应的销量增量就是$\frac{x}{2}×10$个，所以总销售量就是$(80+\frac{x}{2}×10)$个。两者相乘就是总利润，对应方程即可选出正确选项。
【解析】
列销售利润问题方程的核心等量关系为：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单个利润}×\mathrm{销售总量}$
1. 计算单个利润：原售价60元，降价x元后实际售价为$(60-x)$元，每个成本30元，因此单个利润为：$60-x-30$（元）
2. 计算销售总量：原每日销量80个，每降价2元多售出10个，降价x元对应的销量增量为$\frac{x}{2}×10$个，因此总销量为：$80+\frac{x}{2}×10$（个）
3. 结合单日利润目标2600元，列方程得：
$(60-x-30)(80+\frac{x}{2}×10)=2600$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 销售利润等量关系
2. 一元二次方程列写
【点评】
本题是销售类列方程的常规题型，解题关键是准确梳理降价幅度与销量增量的对应关系，同时牢记计算单个利润时要减去成本，避免遗漏成本项或搞错销量增量的计算。
【难度系数】
0.7
要解决这类销售利润列方程的问题，核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售总量”这一等量关系。我们可以分两步推导：第一步先计算降价后单个盲盒的利润，第二步计算降价后的总销售量，最后将两者相乘等于目标总利润2600元即可得到方程。首先，单个利润=实际售价-成本价，原售价60元，降价x元后实际售价为(60-x)元，成本30元，所以单个利润就是(60-x-30)元。然后看销售量，原销量是80个，每降价2元多卖10个，那么降价x元时，一共包含了$\frac{x}{2}$个2元的降价单位，对应的销量增量就是$\frac{x}{2}×10$个，所以总销售量就是$(80+\frac{x}{2}×10)$个。两者相乘就是总利润，对应方程即可选出正确选项。
【解析】
列销售利润问题方程的核心等量关系为：$\mathrm{总利润}=\mathrm{单个利润}×\mathrm{销售总量}$
1. 计算单个利润：原售价60元，降价x元后实际售价为$(60-x)$元，每个成本30元，因此单个利润为：$60-x-30$（元）
2. 计算销售总量：原每日销量80个，每降价2元多售出10个，降价x元对应的销量增量为$\frac{x}{2}×10$个，因此总销量为：$80+\frac{x}{2}×10$（个）
3. 结合单日利润目标2600元，列方程得：
$(60-x-30)(80+\frac{x}{2}×10)=2600$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 销售利润等量关系
2. 一元二次方程列写
【点评】
本题是销售类列方程的常规题型，解题关键是准确梳理降价幅度与销量增量的对应关系，同时牢记计算单个利润时要减去成本，避免遗漏成本项或搞错销量增量的计算。
【难度系数】
0.7
2. 若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 -2x + m^2 -1 =0$有一个解是0，则$m=$
$-1$
。答案
2. $-1$
解析
【分析】
解题时分两步思考：第一步，根据方程的解的定义，将x=0代入原方程，得到关于m的方程，求解出m的所有可能值；第二步，结合“一元二次方程”的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此排除不符合条件的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 -2x + m^2 -1 =0$有一个解是0，
∴ 将$x=0$代入方程，得：
$m^2 -1 = 0$，
解得$m=1$或$m=-1$。
又
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$m-1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$，
∴ $m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的解的性质
【点评】
本题属于易错题，核心考查一元二次方程的相关概念和方程解的应用，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接得出m=±1的错误结论，解题时要注意结合题干的限定条件筛选结果。
【难度系数】
0.7
解题时分两步思考：第一步，根据方程的解的定义，将x=0代入原方程，得到关于m的方程，求解出m的所有可能值；第二步，结合“一元二次方程”的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此排除不符合条件的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(m-1)x^2 -2x + m^2 -1 =0$有一个解是0，
∴ 将$x=0$代入方程，得：
$m^2 -1 = 0$，
解得$m=1$或$m=-1$。
又
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$m-1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$，
∴ $m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的解的性质
【点评】
本题属于易错题，核心考查一元二次方程的相关概念和方程解的应用，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接得出m=±1的错误结论，解题时要注意结合题干的限定条件筛选结果。
【难度系数】
0.7
3. 若关于x的一元二次方程$mx^2 + mx = 3x + 12$中不含x的一次项，则此方程的解为
$x=\pm2$
。答案
3. $x=\pm2$
解析
【分析】
首先要将原方程整理为一元二次方程的一般形式，明确“方程不含x的一次项”的含义是x的一次项的系数等于0，同时要注意一元二次方程的二次项系数不能为0，先根据上述条件求出参数m的值，再将m代回原方程求解即可得到方程的解。
【解析】
1. 整理原方程：
将原方程$mx^2 + mx = 3x + 12$移项、合并同类项，可得：
$mx^2 + (m - 3)x - 12 = 0$
2. 求参数m的值：
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$m≠0$；
又因为方程不含x的一次项，所以一次项系数为0，即：
$m - 3 = 0$，解得$m=3$。
3. 代入m求解方程：
把$m=3$代入原方程得：$3x^2 + 3x = 3x + 12$
两边同时减去$3x$，化简得：$3x^2 = 12$
两边同时除以3得：$x^2 = 4$
开平方可得：$x = \pm2$
【答案】
$x=\pm2$
【知识点】
一元二次方程的定义；多项式系数的性质；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解“方程不含某一项”等价于该项的系数为0，同时不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先要将原方程整理为一元二次方程的一般形式，明确“方程不含x的一次项”的含义是x的一次项的系数等于0，同时要注意一元二次方程的二次项系数不能为0，先根据上述条件求出参数m的值，再将m代回原方程求解即可得到方程的解。
【解析】
1. 整理原方程：
将原方程$mx^2 + mx = 3x + 12$移项、合并同类项，可得：
$mx^2 + (m - 3)x - 12 = 0$
2. 求参数m的值：
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$m≠0$；
又因为方程不含x的一次项，所以一次项系数为0，即：
$m - 3 = 0$，解得$m=3$。
3. 代入m求解方程：
把$m=3$代入原方程得：$3x^2 + 3x = 3x + 12$
两边同时减去$3x$，化简得：$3x^2 = 12$
两边同时除以3得：$x^2 = 4$
开平方可得：$x = \pm2$
【答案】
$x=\pm2$
【知识点】
一元二次方程的定义；多项式系数的性质；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解“方程不含某一项”等价于该项的系数为0，同时不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 写出一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两个根分别为－2和3.
答案
4. 依题意，设该方程为$x^2+bx+c=0$. $\because -2$和3是它的两个根，$\therefore \begin{cases}4-2b+c=0,\\9+3b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-1,\\c=-6,\end{cases}$ $\therefore$ 该方程为$x^2-x-6=0$.
解析
【分析】
首先明确题目要求：构造二次项系数为1、两根为-2和3的一元二次方程。我们采用待定系数法求解：第一步，先设出二次项系数为1的一元二次方程的一般形式$x^2+bx+c=0$（$b、c$为待求系数）；第二步，根据一元二次方程根的定义，根代入方程后等式成立，因此将两个根分别代入所设方程，即可得到关于$b、c$的二元一次方程组；第三步，解方程组求出$b、c$的值，代入所设方程就能得到所求方程。
【解析】
依题意，设该一元二次方程为$x^2+bx+c=0$。
$\because -2$和3是方程的两个根，将两根分别代入方程得：
$\begin{cases} (-2)^2 -2b + c = 0 \\ 3^2 +3b + c = 0 \end{cases}$，即$\begin{cases}4-2b+c=0\\9+3b+c=0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$c$，可得$5+5b=0$，解得$b=-1$。
将$b=-1$代入$4-2b+c=0$，得$4+2+c=0$，解得$c=-6$。
将$b=-1、c=-6$代入所设方程，可得所求方程。
【答案】
$x^2 -x -6=0$
【知识点】
一元二次方程根的定义、待定系数法、解二元一次方程组
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题核心是理解方程的根的性质，即根代入原方程等式成立，通过列方程组求解未知系数即可得到结果，是巩固一元二次方程基本概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
首先明确题目要求：构造二次项系数为1、两根为-2和3的一元二次方程。我们采用待定系数法求解：第一步，先设出二次项系数为1的一元二次方程的一般形式$x^2+bx+c=0$（$b、c$为待求系数）；第二步，根据一元二次方程根的定义，根代入方程后等式成立，因此将两个根分别代入所设方程，即可得到关于$b、c$的二元一次方程组；第三步，解方程组求出$b、c$的值，代入所设方程就能得到所求方程。
【解析】
依题意，设该一元二次方程为$x^2+bx+c=0$。
$\because -2$和3是方程的两个根，将两根分别代入方程得：
$\begin{cases} (-2)^2 -2b + c = 0 \\ 3^2 +3b + c = 0 \end{cases}$，即$\begin{cases}4-2b+c=0\\9+3b+c=0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$c$，可得$5+5b=0$，解得$b=-1$。
将$b=-1$代入$4-2b+c=0$，得$4+2+c=0$，解得$c=-6$。
将$b=-1、c=-6$代入所设方程，可得所求方程。
【答案】
$x^2 -x -6=0$
【知识点】
一元二次方程根的定义、待定系数法、解二元一次方程组
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，解题核心是理解方程的根的性质，即根代入原方程等式成立，通过列方程组求解未知系数即可得到结果，是巩固一元二次方程基本概念的典型习题。
【难度系数】
0.8
